🏋️

Η Ισχύς

P = W/t, P = F·υ, μονάδα Watt, κιλοβατώρα, ίππος

Δύο αυτοκίνητα ανεβαίνουν την ίδια ανηφόρα. Γιατί το ένα φτάνει πρώτο;

Η ανηφόρα είναι ίδια και το ύψος ίδιο, οπότε — αν τα αυτοκίνητα έχουν ίδια μάζα — ο κινητήρας καθενός προσφέρει περίπου την ίδια ενέργεια. Αυτό που τα ξεχωρίζει είναι πόσο γρήγορα την προσφέρει: η ισχύς. Είναι ο αριθμός που βλέπεις σε κάθε ηλεκτρική συσκευή (π.χ. «2000 W») και στα αυτοκίνητα (σε ίππους). Εδώ θα μάθεις να την υπολογίζεις με δύο τρόπους.

Ισχύς: πόσο γρήγορα γίνεται η δουλειά

Δύο γερανοί σηκώνουν το ίδιο φορτίο στο ίδιο ύψος — ίδιο έργο. Αλλά ο ένας το κάνει σε 10 s και ο άλλος σε 100 s: διαφέρουν σε ισχύ, τον ρυθμό παραγωγής έργου:

$P = \frac{W}{t}$

Μονάδα το Watt ( $1 \ \text{W} = 1 \ \text{J/s}$ ). Όταν δύναμη $F$ κινεί σώμα με σταθερή ταχύτητα $\upsilon$ στην κατεύθυνσή της, η ισχύς της είναι:

$P = F \cdot \upsilon$

Αυτός ο τύπος εξηγεί γιατί το αυτοκίνητο «δυσκολεύεται» στις μεγάλες ταχύτητες: για ίδια ισχύ κινητήρα, μεγαλύτερη $\upsilon$ σημαίνει μικρότερη διαθέσιμη δύναμη.

$P = \frac{W}{t}, \qquad P = F \cdot \upsilon, \qquad 1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$

Από το $P = \frac{W}{t}$ στο $P = F\upsilon$

Αν η δύναμη $F$ είναι ομόρροπη της μετατόπισης και το σώμα διανύει απόσταση $x$ σε χρόνο $t$ με σταθερή ταχύτητα:

$P = \frac{W}{t} = \frac{F x}{t} = F \cdot \frac{x}{t} = F\upsilon$

Αν η ταχύτητα δεν είναι σταθερή, το $\frac{W}{t}$ δίνει τη μέση ισχύ, ενώ το $F\upsilon$ με τη στιγμιαία ταχύτητα δίνει τη στιγμιαία ισχύ.

Η κιλοβατώρα ( $\text{kWh}$ ) του λογαριασμού ρεύματος είναι μονάδα ενέργειας, όχι ισχύος: είναι η ενέργεια που καταναλώνει συσκευή $1 \ \text{kW}$ σε μία ώρα, $1 \ \text{kWh} = 1000 \ \text{W} \cdot 3600 \ \text{s} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ .

Ήξερες ότι;

Η μονάδα ισχύος πήρε το όνομά της από τον Σκωτσέζο μηχανικό Τζέιμς Βατ. Για να «πουλήσει» τις ατμομηχανές του, τις σύγκρινε με τα άλογα που αντικαθιστούσαν και καθιέρωσε τον ίππο ως μονάδα ισχύος. Ο μετρικός ίππος που βλέπεις στα αυτοκίνητα είναι περίπου $735 \ \text{W}$ , άρα ένα αυτοκίνητο «100 ίππων» αποδίδει έως περίπου $74 \ \text{kW}$ .

Παράδειγμα (ισχύς γερανού): Γερανός ανυψώνει φορτίο μάζας $200 \ \text{kg}$ κατά $15 \ \text{m}$ με σταθερή ταχύτητα σε $30 \ \text{s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Πόση είναι η ισχύς του;

Λύση: Με σταθερή ταχύτητα η δύναμη του γερανού ισούται με το βάρος: $F = mg = 2000 \ \text{N}$ . Έργο: $W = F h = 2000 \cdot 15 = 30000 \ \text{J}$ .

$P = \frac{W}{t} = \frac{30000}{30} = 1000 \ \text{W} = 1 \ \text{kW}$

Επαλήθευση με $P = F\upsilon$ : $\upsilon = \frac{15}{30} = 0{,}5 \ \text{m/s}$ , άρα $P = 2000 \cdot 0{,}5 = 1000 \ \text{W}$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ο κινητήρας αυτοκινήτου αποδίδει σταθερή ισχύ $60 \ \text{kW}$ ενώ το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα $30 \ \text{m/s}$ . Η δύναμη που ασκεί ο κινητήρας είναι:

Μέθοδος: ασκήσεις ισχύος

Βρες τη δύναμη που μας ενδιαφέρει — συχνά από ισορροπία: σταθερή ταχύτητα σημαίνει δύναμη κίνησης ίση με τις αντιστάσεις, ή $F = mg$ για ανύψωση.
Αν δίνονται έργο (ή ενέργεια) και χρόνος: $P = \frac{W}{t}$ .
Αν δίνεται ταχύτητα: $P = F\upsilon$ , με την ταχύτητα σε m/s.
Μετατροπές: $1 \ \text{kW} = 1000 \ \text{W}$ , 1 ίππος $\approx 735 \ \text{W}$ , $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ .
Για ενέργεια από ισχύ: $W = P \cdot t$ .

Παράδειγμα (λογαριασμός ρεύματος): Ηλεκτρικό σίδερο ισχύος $2000 \ \text{W}$ λειτουργεί $30$ λεπτά. α) Πόση ενέργεια καταναλώνει σε J και σε kWh; β) Πόσο κοστίζει, αν η κιλοβατώρα χρεώνεται 0,20 ευρώ;

Λύση: α) $W = Pt = 2000 \cdot 1800 = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ , δηλαδή $2 \ \text{kW} \cdot 0{,}5 \ \text{h} = 1 \ \text{kWh}$ .

β) Κόστος: $1 \cdot 0{,}20 = 0{,}20$ ευρώ.

Γρήγορος έλεγχος

Μαθητής μάζας $50 \ \text{kg}$ ανεβαίνει τρέχοντας σκάλα ύψους $6 \ \text{m}$ σε $10 \ \text{s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Η μέση ισχύς που αναπτύσσει για την άνοδο είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Η κιλοβατώρα (kWh) είναι μονάδα:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Αυτοκίνητο μάζας $m = 1000 \ \text{kg}$ κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα $\upsilon = 25 \ \text{m/s}$ . Η συνολική αντίσταση (αέρας και τριβές) είναι $F_\alpha = 800 \ \text{N}$ .

Δεδομένα: $m = 1000 \ \text{kg}$ , $\upsilon = 25 \ \text{m/s}$ , $F_\alpha = 800 \ \text{N}$ .

Ζητούμενα: α) η δύναμη κίνησης από τον κινητήρα, β) η ισχύς του κινητήρα σε kW και σε ίππους, γ) η ενέργεια που προσφέρει ο κινητήρας σε $10$ λεπτά, δ) αν η ισχύς μείνει ίδια και η αντίσταση αυξηθεί σε $1000 \ \text{N}$ (π.χ. λόγω αντίθετου ανέμου), ποια θα είναι η νέα σταθερή ταχύτητα;

Λύση: α) Σταθερή ταχύτητα $\Rightarrow \Sigma F = 0 \Rightarrow F = F_\alpha = 800 \ \text{N}$ .

β) $P = F\upsilon = 800 \cdot 25 = 20\,000 \ \text{W} = 20 \ \text{kW}$ , δηλαδή περίπου $\frac{20\,000}{735} \approx 27$ ίπποι.

γ) $W = Pt = 20\,000 \cdot 600 = 1{,}2 \times 10^{7} \ \text{J}$ .

δ) $\upsilon' = \frac{P}{F'} = \frac{20\,000}{1000} = 20 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $800 \ \text{N}$ β) $20 \ \text{kW}$ , περίπου 27 ίπποι γ) $1{,}2 \times 10^{7} \ \text{J}$ δ) $20 \ \text{m/s}$ .

Πρόκληση

Το μυστικό του ανελκυστήρα. Θάλαμος ανελκυστήρα μάζας $500 \ \text{kg}$ μεταφέρει $6$ επιβάτες των $75 \ \text{kg}$ από το ισόγειο στον 5ο όροφο ( $15 \ \text{m}$ ) με σταθερή ταχύτητα σε $20 \ \text{s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Πόση ισχύ πρέπει να αναπτύσσει ο κινητήρας; β) Ένα αντίβαρο μάζας $700 \ \text{kg}$ , δεμένο στο άλλο άκρο του συρματόσχοινου, κατεβαίνει όσο ο θάλαμος ανεβαίνει. Πόση ισχύ χρειάζεται τώρα; (Αγνόησε τριβές και τη μάζα του συρματόσχοινου.)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Συνολική μάζα θαλάμου με επιβάτες $500 + 450 = 950 \ \text{kg}$ , ταχύτητα $\upsilon = \frac{15}{20} = 0{,}75 \ \text{m/s}$ .

(α) Χωρίς αντίβαρο: $F = 9500 \ \text{N}$ και $P = F\upsilon = 9500 \cdot 0{,}75 = 7125 \ \text{W} \approx 7{,}1 \ \text{kW}$ .

(β) Το αντίβαρο κατεβαίνει $15 \ \text{m}$ και το βάρος του παράγει θετικό έργο $7000 \cdot 15 = 105\,000 \ \text{J}$ . Ο θάλαμος χρειάζεται $9500 \cdot 15 = 142\,500 \ \text{J}$ . Ο κινητήρας δίνει μόνο τη διαφορά, $37\,500 \ \text{J}$ σε $20 \ \text{s}$ : $P = 1875 \ \text{W} \approx 1{,}9 \ \text{kW}$ .

Απάντηση: α) περίπου $7{,}1 \ \text{kW}$ β) περίπου $1{,}9 \ \text{kW}$ — γι' αυτό οι ανελκυστήρες έλξης έχουν αντίβαρο.

Συνηθισμένα λάθη

kWh ως ισχύς: η κιλοβατώρα είναι ενέργεια. Διόρθωση: $W = Pt$ , $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ .
km/h στο $P = F\upsilon$ : Διόρθωση: η ταχύτητα μπαίνει σε m/s, αλλιώς το αποτέλεσμα δεν βγαίνει σε W.
Ισχύς = δύναμη: μεγάλη ισχύς δεν σημαίνει μεγάλη δύναμη· για σταθερή $P$ , μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μικρότερη δύναμη.
Λεπτά αντί για δευτερόλεπτα: Διόρθωση: μετάτρεψε τον χρόνο σε s ( $\times 60$ ) πριν διαιρέσεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ισχύς: ο ρυθμός παραγωγής έργου, $P = \frac{W}{t}$ , σε W ( $1 \ \text{W} = 1 \ \text{J/s}$ ).
Με σταθερή ταχύτητα ομόρροπη της δύναμης: $P = F\upsilon$ .
$1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ είναι μονάδα ενέργειας· 1 ίππος $\approx 735 \ \text{W}$ .
Για σταθερή ισχύ, μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μικρότερη δύναμη.

🏋️

Η Ισχύς

P = W/t, P = F·υ, μονάδα Watt, κιλοβατώρα, ίππος

Δύο αυτοκίνητα ανεβαίνουν την ίδια ανηφόρα. Γιατί το ένα φτάνει πρώτο;

Ισχύς: πόσο γρήγορα γίνεται η δουλειά

$P = \frac{W}{t}$

$P = F \cdot \upsilon$

$P = \frac{W}{t}, \qquad P = F \cdot \upsilon, \qquad 1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$

Από το $P = \frac{W}{t}$ στο $P = F\upsilon$

Αν η δύναμη $F$ είναι ομόρροπη της μετατόπισης και το σώμα διανύει απόσταση $x$ σε χρόνο $t$ με σταθερή ταχύτητα:

$P = \frac{W}{t} = \frac{F x}{t} = F \cdot \frac{x}{t} = F\upsilon$

Ήξερες ότι;

$P = \frac{W}{t} = \frac{30000}{30} = 1000 \ \text{W} = 1 \ \text{kW}$

Επαλήθευση με $P = F\upsilon$ : $\upsilon = \frac{15}{30} = 0{,}5 \ \text{m/s}$ , άρα $P = 2000 \cdot 0{,}5 = 1000 \ \text{W}$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: ασκήσεις ισχύος

Βρες τη δύναμη που μας ενδιαφέρει — συχνά από ισορροπία: σταθερή ταχύτητα σημαίνει δύναμη κίνησης ίση με τις αντιστάσεις, ή $F = mg$ για ανύψωση.
Αν δίνονται έργο (ή ενέργεια) και χρόνος: $P = \frac{W}{t}$ .
Αν δίνεται ταχύτητα: $P = F\upsilon$ , με την ταχύτητα σε m/s.
Μετατροπές: $1 \ \text{kW} = 1000 \ \text{W}$ , 1 ίππος $\approx 735 \ \text{W}$ , $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ .
Για ενέργεια από ισχύ: $W = P \cdot t$ .

Λύση: α) $W = Pt = 2000 \cdot 1800 = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ , δηλαδή $2 \ \text{kW} \cdot 0{,}5 \ \text{h} = 1 \ \text{kWh}$ .

β) Κόστος: $1 \cdot 0{,}20 = 0{,}20$ ευρώ.

Γρήγορος έλεγχος

Η κιλοβατώρα (kWh) είναι μονάδα:

Δεδομένα: $m = 1000 \ \text{kg}$ , $\upsilon = 25 \ \text{m/s}$ , $F_\alpha = 800 \ \text{N}$ .

Λύση: α) Σταθερή ταχύτητα $\Rightarrow \Sigma F = 0 \Rightarrow F = F_\alpha = 800 \ \text{N}$ .

β) $P = F\upsilon = 800 \cdot 25 = 20\,000 \ \text{W} = 20 \ \text{kW}$ , δηλαδή περίπου $\frac{20\,000}{735} \approx 27$ ίπποι.

γ) $W = Pt = 20\,000 \cdot 600 = 1{,}2 \times 10^{7} \ \text{J}$ .

δ) $\upsilon' = \frac{P}{F'} = \frac{20\,000}{1000} = 20 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $800 \ \text{N}$ β) $20 \ \text{kW}$ , περίπου 27 ίπποι γ) $1{,}2 \times 10^{7} \ \text{J}$ δ) $20 \ \text{m/s}$ .

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Συνολική μάζα θαλάμου με επιβάτες $500 + 450 = 950 \ \text{kg}$ , ταχύτητα $\upsilon = \frac{15}{20} = 0{,}75 \ \text{m/s}$ .

(α) Χωρίς αντίβαρο: $F = 9500 \ \text{N}$ και $P = F\upsilon = 9500 \cdot 0{,}75 = 7125 \ \text{W} \approx 7{,}1 \ \text{kW}$ .

Απάντηση: α) περίπου $7{,}1 \ \text{kW}$ β) περίπου $1{,}9 \ \text{kW}$ — γι' αυτό οι ανελκυστήρες έλξης έχουν αντίβαρο.

Συνηθισμένα λάθη

kWh ως ισχύς: η κιλοβατώρα είναι ενέργεια. Διόρθωση: $W = Pt$ , $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ .
km/h στο $P = F\upsilon$ : Διόρθωση: η ταχύτητα μπαίνει σε m/s, αλλιώς το αποτέλεσμα δεν βγαίνει σε W.
Ισχύς = δύναμη: μεγάλη ισχύς δεν σημαίνει μεγάλη δύναμη· για σταθερή $P$ , μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μικρότερη δύναμη.
Λεπτά αντί για δευτερόλεπτα: Διόρθωση: μετάτρεψε τον χρόνο σε s ( $\times 60$ ) πριν διαιρέσεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ισχύς: ο ρυθμός παραγωγής έργου, $P = \frac{W}{t}$ , σε W ( $1 \ \text{W} = 1 \ \text{J/s}$ ).
Με σταθερή ταχύτητα ομόρροπη της δύναμης: $P = F\upsilon$ .
$1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6} \ \text{J}$ είναι μονάδα ενέργειας· 1 ίππος $\approx 735 \ \text{W}$ .
Για σταθερή ισχύ, μεγαλύτερη ταχύτητα σημαίνει μικρότερη δύναμη.

Η Ισχύς

Δύο αυτοκίνητα ανεβαίνουν την ίδια ανηφόρα. Γιατί το ένα φτάνει πρώτο;

Ισχύς: πόσο γρήγορα γίνεται η δουλειά

Από το P=WtP = \frac{W}{t}P=tW​ στο P=FυP = F\upsilonP=Fυ

Μέθοδος: ασκήσεις ισχύος

Η Ισχύς

Δύο αυτοκίνητα ανεβαίνουν την ίδια ανηφόρα. Γιατί το ένα φτάνει πρώτο;

Ισχύς: πόσο γρήγορα γίνεται η δουλειά

Από το P=WtP = \frac{W}{t}P=tW​ στο P=FυP = F\upsilonP=Fυ

Μέθοδος: ασκήσεις ισχύος

Από το $P = \frac{W}{t}$ στο $P = F\upsilon$

Από το $P = \frac{W}{t}$ στο $P = F\upsilon$