📐

Βασικές Συναρτήσεις

f(x)=αx+β, f(x)=αx², f(x)=α/x — μονοτονία, ακρότατα, συμμετρίες

Γιατί τα πιάτα δορυφορικής έχουν αυτό το σχήμα;

Η τομή ενός πιάτου δορυφορικής είναι παραβολή: όλα τα σήματα που πέφτουν παράλληλα ανακλώνται στο ίδιο σημείο, τον δέκτη. Η τροχιά μιας μπάλας είναι επίσης παραβολή, η ταρίφα ενός ταξί ευθεία, και ο χρόνος μιας διαδρομής σε σχέση με την ταχύτητα υπερβολή. Τρεις γραφικές παραστάσεις — ένας ολόκληρος κόσμος.

Η ευθεία f(x) = αx + β

Η γραφική παράσταση της $f(x) = \alpha x + \beta$ είναι ευθεία με κλίση (συντελεστή διεύθυνσης) $\alpha$ που τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, \beta)$ .

Αν $\alpha > 0$ : η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
Αν $\alpha < 0$ : η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .
Αν $\alpha = 0$ : σταθερή συνάρτηση $f(x) = \beta$ , οριζόντια ευθεία.

Η κλίση είναι $\alpha = \varepsilon\varphi\omega$ , όπου $\omega$ η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα $x'x$ . Δύο ευθείες με την ίδια κλίση είναι παράλληλες.

Ειδική περίπτωση: για $\beta = 0$ έχουμε την $y = \alpha x$ , που περνά από την αρχή των αξόνων και εκφράζει τα ανάλογα ποσά.

Η y=αx περνά από το (0,0) — ανάλογα ποσά. Η y=α/x είναι υπερβολή — αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

Κλίση από δύο σημεία και σχετική θέση ευθειών

Αν η ευθεία $y = \alpha x + \beta$ διέρχεται από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \neq x_2$ , η κλίση της είναι

$\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

δηλαδή «πόσο μεταβάλλεται το $y$ για κάθε μονάδα που προχωρά το $x$ ».

Για δύο ευθείες $y = \alpha_1 x + \beta_1$ και $y = \alpha_2 x + \beta_2$ :

$\alpha_1 = \alpha_2$ και $\beta_1 \neq \beta_2$ : παράλληλες
$\alpha_1 = \alpha_2$ και $\beta_1 = \beta_2$ : ταυτίζονται
$\alpha_1 \neq \alpha_2$ : τέμνονται σε ένα σημείο, που βρίσκεται λύνοντας την $\alpha_1 x + \beta_1 = \alpha_2 x + \beta_2$

Η κατακόρυφη ευθεία $x = x_0$ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης και δεν έχει κλίση.

Μετακίνησε τα δύο σημεία και δες την κλίση και το β να αλλάζουν· με «Παράλληλη» η νέα ευθεία κρατά την ίδια κλίση.

Μέθοδος: εξίσωση ευθείας από δεδομένα

Γράψε τη ζητούμενη ευθεία ως $y = \alpha x + \beta$ .
Βρες την κλίση $\alpha$ : από δύο σημεία με τον τύπο της κλίσης, από παράλληλη ευθεία (ίδια κλίση) ή από τη γωνία ( $\alpha = \varepsilon\varphi\omega$ ).
Βρες το $\beta$ αντικαθιστώντας ένα γνωστό σημείο: $M(x_0, y_0)$ ανήκει στην ευθεία $\iff y_0 = \alpha x_0 + \beta$ .
Επαλήθευσε με το δεύτερο σημείο, αν υπάρχει.

Παράδειγμα: α) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $A(1, 2)$ και $B(3, 4)$ , καθώς και η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα $x'x$ . β) Να βρεθεί η παράλληλή της που διέρχεται από το σημείο $\Gamma(2, -1)$ .

Λύση: α) Κλίση: $\alpha = \frac{4 - 2}{3 - 1} = 1$ . Από το $A$ : $2 = 1 \cdot 1 + \beta \iff \beta = 1$ , άρα $y = x + 1$ . Έλεγχος με το $B$ : $3 + 1 = 4$ ✓. Αφού $\varepsilon\varphi\omega = 1$ , η γωνία είναι $\omega = 45°$ .

β) Παράλληλη σημαίνει ίδια κλίση: $y = x + \beta$ . Από το $\Gamma$ : $-1 = 2 + \beta \iff \beta = -3$ , άρα $y = x - 3$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $(0, 3)$ και $(2, -1)$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = (\lambda - 2)x + \lambda + 1$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ .

α) Να βρεθεί το $\lambda$ ώστε η $C_f$ να διέρχεται από το σημείο $(1, 5)$ .

β) Για την τιμή αυτή, να βρεθούν η μονοτονία της $f$ και τα σημεία τομής της $C_f$ με τους άξονες.

γ) Για ποια τιμή του $\lambda$ η $C_f$ είναι παράλληλη στην ευθεία $y = 3x - 1$ ;

δ) Για ποιες τιμές του $\lambda$ η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και για ποια είναι σταθερή;

Λύση:

α) $f(1) = 5 \iff (\lambda - 2) + \lambda + 1 = 5 \iff 2\lambda - 1 = 5 \iff \lambda = 3$ .

β) Για $\lambda = 3$ : $f(x) = x + 4$ , με κλίση $1 > 0$ , άρα γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Τομή με τον $y'y$ : $f(0) = 4$ , σημείο $(0, 4)$ . Τομή με τον $x'x$ : $x + 4 = 0 \iff x = -4$ , σημείο $(-4, 0)$ .

γ) Παράλληλες $\iff$ ίσες κλίσεις: $\lambda - 2 = 3 \iff \lambda = 5$ . Τότε $f(x) = 3x + 6$ και, αφού $6 \neq -1$ , οι ευθείες δεν ταυτίζονται.

δ) Γνησίως φθίνουσα $\iff \lambda - 2 < 0 \iff \lambda < 2$ . Σταθερή $\iff \lambda - 2 = 0 \iff \lambda = 2$ , οπότε $f(x) = 3$ .

Απάντηση: α) $\lambda = 3$ , β) γνησίως αύξουσα, σημεία $(0, 4)$ και $(-4, 0)$ , γ) $\lambda = 5$ , δ) $\lambda < 2$ και $\lambda = 2$ αντίστοιχα.

Γρήγορος έλεγχος

Για ποιες τιμές του $\lambda$ η $f(x) = (1 - \lambda)x + 2$ είναι γνησίως φθίνουσα;

Μονοτονία, ακρότατα, συμμετρίες

Γνησίως αύξουσα σε διάστημα $\Delta$ : για $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$ . Γνησίως φθίνουσα: για $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) > f(x_2)$ .

Μέγιστο στο $x_0$ : $f(x) \le f(x_0)$ για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού. Ελάχιστο: $f(x) \ge f(x_0)$ .

Άρτια συνάρτηση: $f(-x) = f(x)$ — γραφική παράσταση συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$ .

Περιττή συνάρτηση: $f(-x) = -f(x)$ — γραφική παράσταση συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων $O$ .

Η παραβολή f(x) = αx²

Η γραφική παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το $O(0,0)$ και άξονα συμμετρίας τον $y'y$ (η $f$ είναι άρτια!).

Αν $\alpha > 0$ : «χαμογελάει» — ελάχιστο στο $x = 0$ , φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$ , αύξουσα στο $[0, +\infty)$ .
Αν $\alpha < 0$ : «κατσουφιάζει» — μέγιστο στο $x = 0$ , αύξουσα στο $(-\infty, 0]$ , φθίνουσα στο $[0, +\infty)$ .

Η υπερβολή f(x) = α/x

Ορίζεται για $x \neq 0$ . Η γραφική της παράσταση είναι υπερβολή με ασύμπτωτες τους δύο άξονες. Είναι περιττή (συμμετρία ως προς το $O$ ). Εκφράζει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά: διπλασιάζεις το $x$ και το $y$ υποδιπλασιάζεται — το γινόμενο $xy = \alpha$ μένει σταθερό.

Πείραξε τα α, β, γ και δες πώς μετακινούνται κορυφή και ρίζες της παραβολής y=αx²+βx+γ.

Η γενική παραβολή f(x) = αx² + βx + γ

Με «συμπλήρωση τετραγώνου» η $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ ( $\alpha \neq 0$ ) γράφεται ως μετατοπισμένη $\alpha x^2$ . Άρα η γραφική της παράσταση είναι η παραβολή $y = \alpha x^2$ απλώς μετακινημένη: ίδιο «άνοιγμα», κορυφή το σημείο $K$ και άξονας συμμετρίας η κατακόρυφη ευθεία $x = -\frac{\beta}{2\alpha}$ .

Αν $\alpha > 0$ : ελάχιστο στη θέση $x = -\frac{\beta}{2\alpha}$ με τιμή $-\frac{\Delta}{4\alpha}$ .
Αν $\alpha < 0$ : μέγιστο στην ίδια θέση, με την ίδια τιμή.

Οι τετμημένες των σημείων τομής με τον $x'x$ (αν $\Delta > 0$ ) είναι οι ρίζες $x_{1,2}$ του τριωνύμου.

Ήξερες ότι;

Ο Γαλιλαίος απέδειξε στο βιβλίο του «Δύο νέες επιστήμες» (1638) ότι ένα σώμα που εκτοξεύεται οριζόντια διαγράφει παραβολή, αγνοώντας την αντίσταση του αέρα. Ως τότε πολλοί πίστευαν ότι το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και μετά «πέφτει» κατακόρυφα.

$K\left(-\frac{\beta}{2\alpha}, \; -\frac{\Delta}{4\alpha}\right), \qquad \Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma, \qquad x = -\frac{\beta}{2\alpha} \text{ ο άξονας συμμετρίας}$

Κόλπο μνήμης

Η κορυφή βρίσκεται στη μέση των ριζών. Το άθροισμα των ριζών είναι $-\frac{\beta}{\alpha}$ , άρα το μέσο τους είναι $-\frac{\beta}{2\alpha}$ — ο άξονας συμμετρίας. Αν ξεχάσεις τον τύπο, βρες τις ρίζες και πάρε το ημιάθροισμά τους.

Παράδειγμα: Να μελετηθεί η $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.

Λύση: Είναι $\alpha = -2 < 0$ , άρα η παραβολή έχει μέγιστο. Θέση κορυφής: $x_K = -\frac{\beta}{2\alpha} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$ .

Τιμή: $f(1) = -2 + 4 + 1 = 3$ , δηλαδή κορυφή $K(1, 3)$ — επαλήθευση με $-\frac{\Delta}{4\alpha} = -\frac{16 + 8}{-8} = 3$ ✓

Μονοτονία: γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, 1]$ , γνησίως φθίνουσα στο $[1, +\infty)$ . Μέγιστη τιμή το $3$ για $x = 1$ , και άξονας συμμετρίας η ευθεία $x = 1$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η παραβολή $y = 2x^2 - 8x + 3$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία:

Πρόκληση

Έχεις $40$ m συρματόπλεγμα και θέλεις να περιφράξεις ορθογώνιο κήπο δίπλα σε έναν τοίχο (ο τοίχος είναι η μία πλευρά, δεν θέλει φράχτη). Ποιες διαστάσεις δίνουν το μεγαλύτερο εμβαδόν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $x$ οι δύο πλευρές κάθετες στον τοίχο και $y$ η πλευρά απέναντι από τον τοίχο. Το συρματόπλεγμα: $2x + y = 40$ , άρα $y = 40 - 2x$ με $0 < x < 20$ . Το εμβαδόν:

$E(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$

Είναι παραβολή με $\alpha = -2 < 0$ , άρα έχει μέγιστο στην κορυφή:

$x = -\frac{\beta}{2\alpha} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10, \qquad E(10) = 10 \cdot 20 = 200$

Τότε $y = 40 - 20 = 20$ . Έλεγχος με το κόλπο των ριζών: $E(x) = 0$ για $x = 0$ και $x = 20$ , μέσο το $10$ ✓

Απάντηση: $10$ m $\times$ $20$ m (η μεγάλη πλευρά παράλληλα στον τοίχο), εμβαδόν $200\ \text{m}^2$ .

Πριν από κάθε μελέτη συνάρτησης, κοίτα ΠΡΩΤΑ το πρόσημο του $\alpha$ — σου λέει αμέσως μονοτονία και είδος ακρότατου χωρίς πράξεις. Για συμμετρίες, υπολόγισε το $f(-x)$ και σύγκρινε: ίδιο με $f(x)$ → άρτια (συμμετρία στον $y'y$ ), αντίθετο → περιττή (συμμετρία στο $O$ ). Στις εξετάσεις η τεκμηρίωση « $f(-x) = \ldots = f(x)$ » γραμμένη αναλυτικά παίρνει όλες τις μονάδες.

Συνηθισμένα λάθη

Αντιστρέφουν τον τύπο της κλίσης σε $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ . Σωστό: διαφορά των $y$ προς διαφορά των $x$ , με την ίδια σειρά σημείων πάνω και κάτω.
Κρίνουν τη μονοτονία από το $\beta$ αντί από την κλίση $\alpha$ . Το $\beta$ δείχνει μόνο πού τέμνεται ο $y'y$ .
Θεωρούν παράλληλες τις $y = 2x + 1$ και $y = -2x + 1$ . Παράλληλες σημαίνει ίσες κλίσεις, όχι αντίθετες.
Για την τομή με τον $x'x$ θέτουν $x = 0$ . Για τον $x'x$ θέτεις $y = 0$ , για τον $y'y$ θέτεις $x = 0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$f(x) = \alpha x + \beta$ : ευθεία με κλίση $\alpha = \varepsilon\varphi\omega$ που τέμνει τον $y'y$ στο $(0, \beta)$
$\alpha > 0$ : γνησίως αύξουσα, $\alpha < 0$ : γνησίως φθίνουσα, $\alpha = 0$ : σταθερή
Κλίση από δύο σημεία: $\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ · παράλληλες ευθείες $\iff$ ίσες κλίσεις
Άρτια: $f(-x) = f(x)$ , συμμετρία ως προς τον $y'y$ · περιττή: $f(-x) = -f(x)$ , συμμετρία ως προς το $O$
Παραβολή $y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ : κορυφή $K\left(-\frac{\beta}{2\alpha}, -\frac{\Delta}{4\alpha}\right)$

Η ευθεία f(x) = αx + β

Η γραφική παράσταση της

f(x) = \alpha x + \beta

είναι ευθεία με κλίση (συντελεστή διεύθυνσης)

\alpha

που τέμνει τον άξονα

y'y

στο σημείο

(0, \beta)

Αν

\alpha > 0

: η

f

είναι γνησίως αύξουσα στο

\mathbb{R}

Αν

\alpha < 0

: η

f

είναι γνησίως φθίνουσα στο

\mathbb{R}

Αν

\alpha = 0

: σταθερή συνάρτηση

f(x) = \beta

, οριζόντια ευθεία.

Η κλίση είναι

\alpha = \varepsilon\varphi\omega

, όπου

\omega

η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα

x'x

. Δύο ευθείες με την ίδια κλίση είναι παράλληλες.

Ειδική περίπτωση: για

\beta = 0

έχουμε την

y = \alpha x

, που περνά από την αρχή των αξόνων και εκφράζει τα ανάλογα ποσά.

Η παραβολή f(x) = αx²

Η γραφική παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το

O(0,0)

και άξονα συμμετρίας τον

y'y

(η

f

είναι άρτια!).

Αν

\alpha > 0

: «χαμογελάει» — ελάχιστο στο

x = 0

, φθίνουσα στο

(-\infty, 0]

, αύξουσα στο

[0, +\infty)

Αν

\alpha < 0

: «κατσουφιάζει» — μέγιστο στο

x = 0

, αύξουσα στο

(-\infty, 0]

, φθίνουσα στο

[0, +\infty)

Η υπερβολή f(x) = α/x

Ορίζεται για

x \neq 0

. Η γραφική της παράσταση είναι υπερβολή με ασύμπτωτες τους δύο άξονες. Είναι περιττή (συμμετρία ως προς το

O

). Εκφράζει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά: διπλασιάζεις το

x

και το

y

υποδιπλασιάζεται — το γινόμενο

xy = \alpha

μένει σταθερό.