📈

Συναρτήσεις y = αx και y = αx + β

Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση, κλίση ευθείας

Γιατί με νοιάζει;

Ένα γυμναστήριο ζητά $20$ € εγγραφή και $15$ € τον μήνα· ένα άλλο δεν έχει εγγραφή αλλά ζητά $20$ € τον μήνα. Ποιο συμφέρει; Το κόστος για $x$ μήνες είναι $y = 15x + 20$ και $y = 20x$ — δύο ευθείες. Αν τις σχεδιάσεις, η απάντηση φαίνεται με μια ματιά: τέμνονται στους $4$ μήνες. Για λιγότερους μήνες συμφέρει το δεύτερο, για περισσότερους το πρώτο.

Η έννοια της συνάρτησης

Συνάρτηση λέγεται μια σχέση που σε κάθε τιμή του $x$ αντιστοιχίζει ακριβώς μία τιμή του $y$ . Π.χ. αν ένα παγωτό κοστίζει 2 €, το κόστος $y$ για $x$ παγωτά είναι $y = 2x$ — για κάθε πλήθος, μία ακριβώς τιμή.

Οργανώνουμε τα ζεύγη $(x, y)$ σε πίνακα τιμών:

Για $y = 2x$ : όταν $x = 0, 1, 2, 3$ τότε $y = 0, 2, 4, 6$ .

Κάθε ζεύγος γίνεται σημείο στο καρτεσιανό επίπεδο: το $x$ είναι η τετμημένη (οριζόντια) και το $y$ η τεταγμένη (κατακόρυφη). Ενώνοντας τα σημεία, βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Ήξερες ότι;

Το επίπεδο με τους δύο άξονες λέγεται καρτεσιανό από τον Γάλλο φιλόσοφο και μαθηματικό Ρενέ Ντεκάρτ (Descartes, στα λατινικά Cartesius). Το $1637$ , στο έργο του «Η Γεωμετρία», έδειξε πώς μια εξίσωση μπορεί να γίνει γραμμή και μια γραμμή εξίσωση. Την ίδια εποχή, ανεξάρτητα, το ίδιο ανακάλυψε και ο Πιερ ντε Φερμά.

Τεταρτημόρια και σημεία πάνω στους άξονες

Οι δύο άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια, που αριθμούνται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού:

1ο: $x > 0$ , $y > 0$ · 2ο: $x < 0$ , $y > 0$
3ο: $x < 0$ , $y < 0$ · 4ο: $x > 0$ , $y < 0$

Ένα σημείο πάνω στον άξονα $x'x$ έχει $y = 0$ , π.χ. $(3, 0)$ · πάνω στον άξονα $y'y$ έχει $x = 0$ , π.χ. $(0, -2)$ .

Και ο κανόνας που λύνει τις περισσότερες ασκήσεις: ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο της.

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο $A(-3, 2)$ ;

Κόλπο μνήμης

Στο σημείο $(x, y)$ σκέψου «πρώτα διάδρομος, μετά σκάλα»: πρώτα κινείσαι οριζόντια κατά $x$ , μετά κατακόρυφα κατά $y$ . Και για την ευθεία $y = \alpha x + \beta$ , διαβάζοντας από αριστερά προς τα δεξιά: $\alpha > 0$ σημαίνει ανηφόρα, $\alpha < 0$ κατηφόρα, $\alpha = 0$ ίσιωμα.

Η συνάρτηση y = αx — ευθεία από την αρχή

Όταν τα ποσά $x, y$ είναι ανάλογα, συνδέονται με τη σχέση $y = \alpha x$ . Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ .

Ο αριθμός $\alpha$ λέγεται κλίση της ευθείας και δείχνει πόσο «ανηφορική» είναι: όσο μεγαλύτερο το $|\alpha|$ , τόσο πιο απότομη η ευθεία. Για κάθε σημείο της (εκτός του $O$ ) ισχύει $\alpha = \frac{y}{x}$ .

Αν $\alpha > 0$ , η ευθεία ανεβαίνει προς τα δεξιά.
Αν $\alpha < 0$ , η ευθεία κατεβαίνει προς τα δεξιά.

Σύρε τον συντελεστή α και δες την ευθεία y = αx να αλλάζει κλίση — και σύγκρινέ τη με την υπερβολή y = α/x των αντιστρόφως ανάλογων ποσών.

$y = \alpha x: \;\text{ευθεία από το } O(0,0), \;\; \alpha = \frac{y}{x} \qquad y = \alpha x + \beta: \;\text{τέμνει τον } y'y \text{ στο } (0, \beta)$

Η συνάρτηση y = αx + β

Η γραφική παράσταση της $y = \alpha x + \beta$ είναι ευθεία παράλληλη προς την $y = \alpha x$ , μετατοπισμένη κατά $\beta$ μονάδες κατακόρυφα. Έχει την ίδια κλίση $\alpha$ , αλλά δεν περνά από την αρχή: τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, \beta)$ .

Για να τη σχεδιάσουμε αρκούν δύο σημεία — τα βολικότερα είναι οι τομές με τους άξονες: για $x = 0$ βρίσκουμε το $y$ , και για $y = 0$ λύνουμε την εξίσωση $\alpha x + \beta = 0$ . Δύο ευθείες με την ίδια κλίση $\alpha$ είναι παράλληλες.

Μέθοδος: οι τρεις βασικές ερωτήσεις

Ανήκει το σημείο $(x_0, y_0)$ ; Αντικατέστησε $x = x_0$ στον τύπο και έλεγξε αν βγαίνει $y = y_0$ .
Βρες έναν άγνωστο συντελεστή: αν η ευθεία περνά από γνωστό σημείο, βάλε τις συντεταγμένες του στον τύπο και λύσε την εξίσωση που προκύπτει.
Σχεδίασε την ευθεία: βρες δύο σημεία — τις τομές με τους άξονες ( $x = 0$ για τον $y'y$ , $y = 0$ για τον $x'x$ ) — και ένωσέ τα.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Η ευθεία $y = \alpha x$ περνά από το σημείο $A(2, 6)$ . (α) Βρες το $\alpha$ . (β) Για την ευθεία $y = 3x - 6$ , βρες τα σημεία τομής με τους άξονες.

(α) Το $A$ ανήκει στην ευθεία, άρα $6 = \alpha \cdot 2 \Rightarrow \alpha = 3$ .

(β) Για $x = 0$ : $y = 3 \cdot 0 - 6 = -6$ , άρα τέμνει τον $y'y$ στο $(0, -6)$ .

Για $y = 0$ : $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ , άρα τέμνει τον $x'x$ στο $(2, 0)$ .

Οι ευθείες $y = 3x$ και $y = 3x - 6$ έχουν ίδια κλίση 3, άρα είναι παράλληλες.

Γρήγορος έλεγχος

Ανήκει το σημείο $(2, 1)$ στην ευθεία $y = 3x - 5$ ;

Παράδειγμα 2 (καθημερινό): Ένα ταξί χρεώνει $3$ € «σημαία» και $0{,}8$ € για κάθε χιλιόμετρο. (α) Να γραφεί το κόστος $y$ ως συνάρτηση των χιλιομέτρων $x$ . (β) Πόσο κοστίζει μια διαδρομή $10$ km; (γ) Πόσα km διανύσαμε αν πληρώσαμε $15$ €; (δ) Είναι τα ποσά $x$ , $y$ ανάλογα;

(α) $y = 0{,}8x + 3$ — ευθεία με κλίση $0{,}8$ που τέμνει τον $y'y$ στο $(0, 3)$ .

(β) $y = 0{,}8 \cdot 10 + 3 = 8 + 3 = 11$ €.

(γ) $15 = 0{,}8x + 3 \Rightarrow 0{,}8x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{0{,}8} = 15$ km.

(δ) Όχι. Για $10$ km πληρώνουμε $11$ €, για $20$ km $0{,}8 \cdot 20 + 3 = 19$ € — όχι το διπλάσιο. Η ευθεία δεν περνά από το $O$ , αφού $\beta = 3 \neq 0$ .

Παράδειγμα 3 (τύπου διαγωνίσματος): (α) Η ευθεία $y = \alpha x + 3$ περνά από το σημείο $A(2, 7)$ . Να βρεθεί το $\alpha$ . (β) Να βρεθεί η ευθεία που είναι παράλληλη στην $y = -2x + 1$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, 4)$ .

(α) Το $A$ ανήκει στην ευθεία, άρα οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν:

$7 = \alpha \cdot 2 + 3 \Rightarrow 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 2$

Η ευθεία είναι $y = 2x + 3$ .

(β) Παράλληλη σημαίνει ίδια κλίση: $\alpha = -2$ . Τέμνει τον $y'y$ στο $(0, 4)$ , άρα $\beta = 4$ . Η ζητούμενη ευθεία είναι $y = -2x + 4$ — κατεβαίνει προς τα δεξιά, αφού $\alpha < 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η ευθεία $y = 3x - 6$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο:

Γρήγορος έλεγχος

Ποια ευθεία είναι παράλληλη προς την $y = 2x - 5$ ;

Πρόκληση

Οι ευθείες $y = 2x + 1$ και $y = -x + 7$ τέμνονται στο σημείο $A$ . Η πρώτη τέμνει τον άξονα $x'x$ στο $B$ και η δεύτερη στο $\Gamma$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Σημείο $A$ : στην τομή τα $y$ είναι ίσα: $2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ , και $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ . Άρα $A(2, 5)$ . (Έλεγχος στη δεύτερη: $-2 + 7 = 5$ ✓.)

Σημεία $B$ , $\Gamma$ : βάζουμε $y = 0$ . Πρώτη: $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0{,}5$ , άρα $B(-0{,}5, 0)$ . Δεύτερη: $-x + 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ , άρα $\Gamma(7, 0)$ .

Εμβαδόν: η βάση $B\Gamma$ πάνω στον $x'x$ έχει μήκος $7 - (-0{,}5) = 7{,}5$ και το ύψος είναι η απόσταση του $A$ από τον $x'x$ , δηλαδή $5$ :

$E = \frac{7{,}5 \cdot 5}{2} = 18{,}75 \text{ τετραγωνικές μονάδες}$

Για να βρεις την κλίση από δύο σημεία της ευθείας, σκέψου «πόσο ανέβηκε προς πόσο προχώρησε»: $\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Και στο σχεδιασμό, μην υπολογίζεις πέντε σημεία — δύο αρκούν, και οι τομές με τους άξονες (βάλε $x = 0$ και μετά $y = 0$ ) είναι πάντα οι πιο γρήγορες.

Συνηθισμένα λάθη

Αντιστροφή συντεταγμένων: στο $(2, 7)$ το $2$ είναι το $x$ και το $7$ το $y$ — όχι ανάποδα.
Τομή με τον $x'x$ βάζοντας $x = 0$ : στον $x'x$ μηδενίζεται το $y$ , όχι το $x$ .
«Κάθε ευθεία είναι ανάλογα ποσά»: μόνο η $y = \alpha x$ (που περνά από το $O$ ) περιγράφει ανάλογα ποσά· η $y = \alpha x + \beta$ με $\beta \neq 0$ όχι.
Κλίση με ανακατεμένη σειρά: στο $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ αφαιρείς με την ίδια σειρά πάνω και κάτω, π.χ. $\frac{9 - 5}{3 - 1}$ , όχι $\frac{9 - 5}{1 - 3}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Συνάρτηση: σε κάθε $x$ αντιστοιχεί ακριβώς ένα $y$ .
$y = \alpha x$ : ευθεία από το $O(0, 0)$ · ανάλογα ποσά · $\alpha = \frac{y}{x}$ .
$y = \alpha x + \beta$ : ευθεία με κλίση $\alpha$ που τέμνει τον $y'y$ στο $(0, \beta)$ .
$\alpha > 0$ ανεβαίνει, $\alpha < 0$ κατεβαίνει · ίδιο $\alpha$ $\Rightarrow$ παράλληλες.
Σημείο ανήκει $\iff$ οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο · τομές: $x = 0$ για $y'y$ , $y = 0$ για $x'x$ .

Η έννοια της συνάρτησης

Συνάρτηση λέγεται μια σχέση που σε κάθε τιμή του

x

αντιστοιχίζει ακριβώς μία τιμή του

y

. Π.χ. αν ένα παγωτό κοστίζει 2 €, το κόστος

y

για

x

παγωτά είναι

y = 2x

— για κάθε πλήθος, μία ακριβώς τιμή.

Οργανώνουμε τα ζεύγη

(x, y)

σε πίνακα τιμών:

Για

y = 2x

: όταν

x = 0, 1, 2, 3

τότε

y = 0, 2, 4, 6

Κάθε ζεύγος γίνεται σημείο στο καρτεσιανό επίπεδο: το

x

είναι η τετμημένη (οριζόντια) και το

y

η τεταγμένη (κατακόρυφη). Ενώνοντας τα σημεία, βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.