🚀

Η Επιτάχυνση — Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

α = Δυ/Δt, επιταχυνόμενη και επιβραδυνόμενη κίνηση, υ = υ₀ + αt, διαγράμματα υ-t και α-t

Τι σημαίνει «0–100 km/h σε 5 δευτερόλεπτα»;

Στις διαφημίσεις αυτοκινήτων το πιο «καυτό» νούμερο δεν είναι η τελική ταχύτητα, αλλά το πόσο γρήγορα φτάνει το αυτοκίνητο στα 100 km/h. Αυτό που μετράει εκεί δεν είναι η ταχύτητα αλλά ο ρυθμός μεταβολής της: η επιτάχυνση. Εδώ θα τη μάθεις, μαζί με την εξίσωση που δίνει την ταχύτητα κάθε στιγμή και το πώς «φαίνεται» στα διαγράμματα.

Η επιτάχυνση

Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η ταχύτητα μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό — δηλαδή με σταθερή επιτάχυνση:

$\alpha = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \text{σταθερή}$

Η μονάδα της, το $1 \ \text{m/s}^2$ , διαβάζεται «κάθε δευτερόλεπτο η ταχύτητα αλλάζει κατά 1 m/s». Αν η $\upsilon$ αυξάνεται, η κίνηση είναι επιταχυνόμενη· αν μειώνεται, είναι ομαλά επιβραδυνόμενη και στις εξισώσεις το $\alpha$ μπαίνει με αρνητικό πρόσημο.

Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος. Στην επιταχυνόμενη κίνηση είναι ομόρροπη της ταχύτητας, στην επιβραδυνόμενη αντίρροπη. Γι' αυτό το πρόσημο της $\alpha$ μόνο του δεν αρκεί: αυτό που κρίνει αν το κινητό «πατάει γκάζι» ή «φρενάρει» είναι αν $\upsilon$ και $\alpha$ έχουν το ίδιο πρόσημο.

Η εξίσωση της ταχύτητας

Αν τη στιγμή $t = 0$ η ταχύτητα είναι $\upsilon_0$ και η επιτάχυνση σταθερή, τότε σε χρόνο $t$ η ταχύτητα έχει αλλάξει κατά $\Delta\upsilon = \alpha t$ :

$\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$

Στην επιβραδυνόμενη κίνηση, με $\alpha$ το μέτρο της επιβράδυνσης, γράφουμε $\upsilon = \upsilon_0 - \alpha t$ . Το κινητό σταματά όταν $\upsilon = 0$ , δηλαδή τη στιγμή $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ .

$\alpha = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t}, \qquad \upsilon = \upsilon_0 + \alpha t, \qquad t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο επιταχύνεται ομαλά από $0$ σε $100 \ \text{km/h}$ σε $5 \ \text{s}$ . Η επιτάχυνσή του είναι περίπου:

Τα διαγράμματα υ-t και α-t

Διάγραμμα υ-t: ευθεία γραμμή. Η κλίση της είναι η επιτάχυνση, $\alpha = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t}$ . Με $\upsilon > 0$ , γραμμή που ανεβαίνει σημαίνει επιταχυνόμενη κίνηση και γραμμή που κατεβαίνει επιβραδυνόμενη· το σημείο όπου η γραμμή συναντά τον άξονα $t$ είναι η στιγμή που το κινητό σταματά.
Διάγραμμα α-t: οριζόντια γραμμή στο ύψος $\alpha$ . Το εμβαδόν κάτω από αυτήν ισούται με τη μεταβολή της ταχύτητας, $\Delta\upsilon = \alpha \Delta t$ — όχι με την ίδια την ταχύτητα.

Κόλπο μνήμης

φαντάσου μια σκάλα $x \to \upsilon \to \alpha$ . Για να ανέβεις ένα σκαλί (από το $x$ -t στην $\upsilon$ , από το $\upsilon$ -t στην $\alpha$ ) παίρνεις κλίση. Για να κατέβεις (από το $\alpha$ -t στο $\Delta\upsilon$ , από το $\upsilon$ -t στο $\Delta x$ ) παίρνεις εμβαδόν.

Γρήγορος έλεγχος

Κινητό έχει αρχική ταχύτητα $3 \ \text{m/s}$ και στο διάγραμμα α-t η επιτάχυνση είναι σταθερή $2 \ \text{m/s}^2$ (ομόρροπη της ταχύτητας) για $5 \ \text{s}$ . Η ταχύτητά του στο τέλος είναι:

Ήξερες ότι;

Στις 10 Δεκεμβρίου 1954 ο γιατρός της αμερικανικής αεροπορίας John Paul Stapp επιβραδύνθηκε πάνω σε έλκηθρο με πυραύλους από περίπου $1000 \ \text{km/h}$ σε ακινησία μέσα σε λιγότερο από ενάμιση δευτερόλεπτο, δεχόμενος στιγμιαία επιβράδυνση πάνω από $40g$ ( $g \approx 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ ). Τα πειράματά του έδειξαν πόση επιβράδυνση αντέχει το ανθρώπινο σώμα και βοήθησαν να καθιερωθούν οι ζώνες ασφαλείας στα αυτοκίνητα.

Μέθοδος: ασκήσεις με την επιτάχυνση

Μετάτρεψε όλες τις ταχύτητες σε m/s ( $\div 3{,}6$ ).
Όρισε θετική φορά τη φορά κίνησης και γράψε την $\upsilon_0$ .
Αποφάσισε αν η κίνηση είναι επιταχυνόμενη ( $+\alpha$ ) ή επιβραδυνόμενη ( $-\alpha$ , με $\alpha$ το μέτρο).
Γράψε $\upsilon = \upsilon_0 \pm \alpha t$ και λύσε για τον άγνωστο ( $\upsilon$ , $\alpha$ ή $t$ ).
Σε επιβραδυνόμενη κίνηση βρες πρώτα $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ : για $t > t_{\sigma\tau}$ το κινητό είναι ήδη ακίνητο.

Παράδειγμα (επιταχυνόμενη): Μοτοσικλέτα κινείται με $\upsilon_0 = 36 \ \text{km/h}$ και επιταχύνεται ομαλά. Μετά από $4 \ \text{s}$ η ταχύτητά της είναι $72 \ \text{km/h}$ . α) Βρες την επιτάχυνση. β) Ποια θα είναι η ταχύτητά της τη στιγμή $t = 6 \ \text{s}$ ;

Λύση: Σε S.I.: $\upsilon_0 = 10 \ \text{m/s}$ και $\upsilon = 20 \ \text{m/s}$ .

α) $\alpha = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t} = \frac{20 - 10}{4} = 2{,}5 \ \text{m/s}^2$ .

β) $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t = 10 + 2{,}5 \cdot 6 = 25 \ \text{m/s} = 90 \ \text{km/h}$ .

Παράδειγμα (επιβραδυνόμενη): Τρένο κινείται με $\upsilon_0 = 30 \ \text{m/s}$ και φρενάρει με σταθερή επιβράδυνση μέτρου $\alpha = 1{,}5 \ \text{m/s}^2$ . α) Ποια είναι η ταχύτητά του μετά από $10 \ \text{s}$ ; β) Πότε σταματά; γ) Ποια είναι η ταχύτητά του τη στιγμή $t = 25 \ \text{s}$ ;

Λύση: α) $\upsilon = 30 - 1{,}5 \cdot 10 = 15 \ \text{m/s}$ .

β) $0 = 30 - 1{,}5\,t \Rightarrow t_{\sigma\tau} = 20 \ \text{s}$ .

γ) Επειδή $25 \ \text{s} > t_{\sigma\tau}$ , το τρένο έχει ήδη σταματήσει: $\upsilon = 0$ . Αν έβαζες τυφλά στον τύπο θα έβρισκες $30 - 37{,}5 = -7{,}5 \ \text{m/s}$ , σαν να έκανε όπισθεν — παράλογο!

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα υ-t η ταχύτητα μειώνεται γραμμικά από $12 \ \text{m/s}$ σε $4 \ \text{m/s}$ σε $2 \ \text{s}$ . Η επιτάχυνση είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Αυτοκίνητο ξεκινά από ηρεμία τη στιγμή $t = 0$ και επιταχύνεται ομαλά με $\alpha_1 = 3 \ \text{m/s}^2$ για $6 \ \text{s}$ . Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για $10 \ \text{s}$ και τέλος φρενάρει με σταθερή επιβράδυνση μέχρι να σταματήσει τη στιγμή $t = 25 \ \text{s}$ .

Δεδομένα: $\upsilon_0 = 0$ , $\alpha_1 = 3 \ \text{m/s}^2$ , $t_1 = 6 \ \text{s}$ , ΕΟΚ για $10 \ \text{s}$ , στάση τη στιγμή $t = 25 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) η μέγιστη ταχύτητα, β) η επιβράδυνση στην τελευταία φάση, γ) η ταχύτητα τις στιγμές $t = 4 \ \text{s}$ και $t = 22 \ \text{s}$ , δ) το διάγραμμα α-t (ποιοτικά).

Λύση: α) $\upsilon_{max} = \alpha_1 t_1 = 3 \cdot 6 = 18 \ \text{m/s}$ .

β) Η ΕΟΚ τελειώνει τη στιγμή $t = 16 \ \text{s}$ , οπότε το φρενάρισμα διαρκεί $25 - 16 = 9 \ \text{s}$ : $\alpha_3 = \frac{0 - 18}{9} = -2 \ \text{m/s}^2$ (μέτρο $2 \ \text{m/s}^2$ ).

γ) $\upsilon(4) = 3 \cdot 4 = 12 \ \text{m/s}$ . Τη στιγμή $t = 22 \ \text{s}$ φρενάρει εδώ και $6 \ \text{s}$ : $\upsilon = 18 - 2 \cdot 6 = 6 \ \text{m/s}$ .

δ) Στο α-t: $+3 \ \text{m/s}^2$ από $0$ έως $6 \ \text{s}$ , $0$ από $6$ έως $16 \ \text{s}$ και $-2 \ \text{m/s}^2$ από $16$ έως $25 \ \text{s}$ . Έλεγχος με εμβαδά: $3 \cdot 6 - 2 \cdot 9 = 0$ , όσο και η συνολική $\Delta\upsilon$ ✔

Απάντηση: α) $18 \ \text{m/s}$ β) $2 \ \text{m/s}^2$ γ) $12 \ \text{m/s}$ και $6 \ \text{m/s}$ δ) τρία οριζόντια τμήματα.

Πρόκληση

Ποιο φτάνει πρώτο στα 30 m/s; Αυτοκίνητο Α ξεκινά από ηρεμία με $\alpha_A = 4 \ \text{m/s}^2$ . Την ίδια στιγμή αυτοκίνητο Β, που ήδη κινείται με $\upsilon_{0B} = 10 \ \text{m/s}$ , επιταχύνεται με $\alpha_B = 2 \ \text{m/s}^2$ . α) Ποια στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα; β) Ποιο φτάνει πρώτο στα $30 \ \text{m/s}$ και πόσο νωρίτερα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $4t = 10 + 2t \Rightarrow t = 5 \ \text{s}$ (και τα δύο κινούνται τότε με $20 \ \text{m/s}$ ).

β) Α: $30 = 4t_A \Rightarrow t_A = 7{,}5 \ \text{s}$ . Β: $30 = 10 + 2t_B \Rightarrow t_B = 10 \ \text{s}$ . Το Α φτάνει πρώτο, $2{,}5 \ \text{s}$ νωρίτερα, παρότι ξεκίνησε από στάση: μετράει ο ρυθμός αύξησης της ταχύτητας, όχι το «κεφάλι» που είχε το Β.

Απάντηση: α) $t = 5 \ \text{s}$ β) το Α, $2{,}5 \ \text{s}$ νωρίτερα.

Συνηθισμένα λάθη

Επιτάχυνση = ταχύτητα: μεγάλη ταχύτητα δεν σημαίνει μεγάλη επιτάχυνση (αεροπλάνο σε σταθερή πτήση: $\upsilon$ τεράστια, $\alpha = 0$ ). Διόρθωση: η $\alpha$ μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα.
Αρνητική $\alpha$ σημαίνει πάντα φρενάρισμα: αν και η $\upsilon$ είναι αρνητική, το κινητό επιταχύνεται. Διόρθωση: σύγκρινε τα πρόσημα των $\upsilon$ και $\alpha$ .
Τύπος μετά τη στάση: Διόρθωση: υπολόγισε πρώτα $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ .
Εμβαδόν α-t = ταχύτητα: δίνει τη μεταβολή $\Delta\upsilon$ . Διόρθωση: πρόσθεσε την αρχική ταχύτητα $\upsilon_0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Επιτάχυνση $\alpha = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t}$ , σε $\text{m/s}^2$ · στην ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι σταθερή.
Επιταχυνόμενη: $\alpha$ ομόρροπη της $\upsilon$ · επιβραδυνόμενη: αντίρροπη.
Ταχύτητα: $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$ (με $-\alpha$ στην επιβραδυνόμενη)· στάση τη στιγμή $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ .
Κλίση υ-t = $\alpha$ · εμβαδόν α-t = $\Delta\upsilon$ .

Η επιτάχυνση

\alpha = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \text{σταθερή}

Η μονάδα της, το

1 \ \text{m/s}^2

, διαβάζεται «κάθε δευτερόλεπτο η ταχύτητα αλλάζει κατά 1 m/s». Αν η

\upsilon

αυξάνεται, η κίνηση είναι επιταχυνόμενη· αν μειώνεται, είναι ομαλά επιβραδυνόμενη και στις εξισώσεις το

\alpha

μπαίνει με αρνητικό πρόσημο.

Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος. Στην επιταχυνόμενη κίνηση είναι ομόρροπη της ταχύτητας, στην επιβραδυνόμενη αντίρροπη. Γι' αυτό το πρόσημο της

\alpha

μόνο του δεν αρκεί: αυτό που κρίνει αν το κινητό «πατάει γκάζι» ή «φρενάρει» είναι αν

\upsilon

και

\alpha

έχουν το ίδιο πρόσημο.