🌀

Η Έννοια της Δύναμης & ο Νόμος του Hooke

Δύναμη ως διάνυσμα, F = kΔl, σταθερά ελατηρίου, όριο ελαστικότητας, δυναμόμετρο

Τι κοινό έχουν η ανάρτηση του αυτοκινήτου, το τραμπολίνο και η κρεμαστή ζυγαριά του μανάβη;

Όλα «δουλεύουν» με ελατήρια που τεντώνονται ή συμπιέζονται ανάλογα με τη δύναμη. Αυτή η απλή αναλογία, ο νόμος του Hooke, μας δίνει ένα ολόκληρο όργανο μέτρησης: το δυναμόμετρο. Εδώ θα τη μάθεις, ξεκινώντας από το τι ακριβώς είναι μια δύναμη και πώς τη μετράμε.

Η έννοια της δύναμης

Η δύναμη περιγράφει την αλληλεπίδραση δύο σωμάτων: μπορεί να παραμορφώσει ένα σώμα ή να αλλάξει την κινητική του κατάσταση. Είναι διανυσματικό μέγεθος με μονάδα το Newton ( $1 \ \text{N}$ ).

Για να την περιγράψεις πλήρως χρειάζεσαι μέτρο, διεύθυνση και φορά, καθώς και το σημείο εφαρμογής της — γι' αυτό τη σχεδιάζουμε ως βέλος. Αναγνωρίζουμε μια δύναμη από τα αποτελέσματά της: τη στατική επίδραση (παραμόρφωση, π.χ. τέντωμα ελατηρίου) και τη δυναμική (μεταβολή της ταχύτητας). Τη στατική επίδραση τη χρησιμοποιούμε για να μετράμε δυνάμεις.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια πρόταση για τη δύναμη είναι σωστή;

Ο νόμος του Hooke

Όταν ασκούμε δύναμη σε ένα ελατήριο, αυτό παραμορφώνεται: επιμηκύνεται αν το τραβήξουμε, συσπειρώνεται αν το πιέσουμε. Ο Robert Hooke ανακάλυψε ότι η παραμόρφωση δεν είναι τυχαία — ακολουθεί έναν απλό νόμο:

Η παραμόρφωση $\Delta l$ του ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης $F$ που την προκαλεί.

Η σταθερά αναλογίας $k$ λέγεται σταθερά του ελατηρίου, μετριέται σε $N/m$ και εκφράζει πόσο «σκληρό» είναι το ελατήριο: μεγάλο $k$ σημαίνει ότι χρειάζεται μεγάλη δύναμη για μικρή παραμόρφωση. Το διάγραμμα $F$ – $\Delta l$ είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων, με κλίση $k$ .

Ο νόμος ισχύει όσο δεν ξεπερνάμε το όριο ελαστικότητας — αν τραβήξουμε υπερβολικά, το ελατήριο παραμορφώνεται μόνιμα και παύει να υπακούει στη σχέση.

$F = k \cdot \Delta l$

Κόλπο μνήμης

διάβασε τη μονάδα του $k$ σαν τιμή. Το $k = 200 \ \text{N/m}$ σημαίνει «κάθε μέτρο παραμόρφωσης κοστίζει 200 N», δηλαδή κάθε εκατοστό 2 N. Σκληρό ελατήριο = «ακριβό» τέντωμα (ανάρτηση αυτοκινήτου)· μαλακό ελατήριο = «φτηνό» τέντωμα (ελατήριο στυλό).

Τράβηξε το ελατήριο και παρατήρησε: όσο μεγαλύτερη η παραμόρφωση $\Delta l$, τόσο μεγαλύτερη η δύναμη που ασκεί το ελατήριο — πάντα ανάλογη, όπως προβλέπει ο νόμος του Hooke!

Το δυναμόμετρο

Ο νόμος του Hooke μάς χαρίζει ένα όργανο μέτρησης: το δυναμόμετρο. Είναι ένα ελατήριο μέσα σε σωλήνα με βαθμολογημένη κλίμακα σε Newton. Επειδή η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης, ίσες δυνάμεις δίνουν ίσες μετατοπίσεις του δείκτη — γι' αυτό η κλίμακα έχει ισαπέχουσες χαραγές.

Με το δυναμόμετρο μετράμε το βάρος ενός σώματος (το κρεμάμε), τη δύναμη που χρειάζεται για να σύρουμε ένα κιβώτιο, ακόμα και τη δύναμη της τριβής. Προσοχή μόνο να μην ξεπεράσουμε το μέγιστο της κλίμακας — πέρα από το όριο ελαστικότητας το όργανο καταστρέφεται.

Ήξερες ότι;

Ο Ρόμπερτ Χουκ δημοσίευσε τον νόμο του το 1676 ως… γρίφο: το αναγραμματισμένο «ceiiinosssttuv». Έτσι «κατοχύρωνε» την ανακάλυψη χωρίς να την αποκαλύψει στους ανταγωνιστές του. Τη λύση την έδωσε το 1678: «Ut tensio, sic vis», δηλαδή «όπως η επιμήκυνση, έτσι και η δύναμη».

Άσκηση: Ελατήριο δυναμομέτρου επιμηκύνεται κατά $\Delta l_1 = 5\ cm$ όταν του ασκούμε δύναμη $F_1 = 10\ N$ . (α) Ποια είναι η σταθερά $k$ του ελατηρίου; (β) Πόση μάζα πρέπει να κρεμάσουμε ώστε η επιμήκυνση να γίνει $\Delta l_2 = 8\ cm$ ; Δίνεται $g = 10\ m/s^2$ .

Λύση:

(α) Από τον νόμο του Hooke: $k = \frac{F_1}{\Delta l_1} = \frac{10}{0{,}05} = 200\ N/m$ .

(β) Η απαιτούμενη δύναμη είναι $F_2 = k \cdot \Delta l_2 = 200 \cdot 0{,}08 = 16\ N$ . Το βάρος του σώματος πρέπει να ισούται με αυτή: $mg = 16\ N \Rightarrow m = \frac{16}{10} = 1{,}6\ kg$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ελατήριο με σταθερά $k = 200\ N/m$ επιμηκύνεται κατά $\Delta l = 10\ cm$ . Πόση δύναμη ασκείται σε αυτό;

Μέθοδος: ασκήσεις με ελατήρια

Ξεχώρισε το μήκος $l$ από την παραμόρφωση $\Delta l = |l - l_0|$ , όπου $l_0$ το φυσικό μήκος.
Μετάτρεψε σε S.I. (cm σε m).
Βρες τη δύναμη του ελατηρίου από την ισορροπία του σώματος (π.χ. για κρεμασμένο σώμα $F_{\varepsilon\lambda} = mg$ ).
Εφάρμοσε $F = k\Delta l$ για τον άγνωστο ( $k$ ή $\Delta l$ ).
Αν δίνεται διάγραμμα $F$ – $\Delta l$ , το $k$ είναι η κλίση: $k = \frac{F}{\Delta l}$ από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.

Παράδειγμα (διάγραμμα F–Δl): Στο διάγραμμα $F$ – $\Delta l$ ενός ελατηρίου η ευθεία περνά από την αρχή των αξόνων και από το σημείο ( $\Delta l = 4 \ \text{cm}$ , $F = 6 \ \text{N}$ ). Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι $l_0 = 20 \ \text{cm}$ . α) Βρες τη σταθερά $k$ . β) Πόσο θα είναι το μήκος του ελατηρίου όταν το τεντώνει δύναμη $9 \ \text{N}$ ;

Λύση: α) Κλίση: $k = \frac{6}{0{,}04} = 150 \ \text{N/m}$ .

β) $\Delta l = \frac{F}{k} = \frac{9}{150} = 0{,}06 \ \text{m} = 6 \ \text{cm}$ . Το μήκος είναι $l = l_0 + \Delta l = 20 + 6 = 26 \ \text{cm}$ — όχι $6 \ \text{cm}$ : ο νόμος δίνει την επιμήκυνση, όχι το μήκος.

Γρήγορος έλεγχος

Ελατήριο με φυσικό μήκος $20 \ \text{cm}$ αποκτά μήκος $25 \ \text{cm}$ όταν του ασκείται δύναμη $10 \ \text{N}$ . Η σταθερά του είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε κατακόρυφο ελατήριο φυσικού μήκους $l_0 = 40 \ \text{cm}$ κρεμάμε σώμα μάζας $m_1 = 0{,}6 \ \text{kg}$ και, όταν ισορροπεί, το μήκος του ελατηρίου γίνεται $l_1 = 43 \ \text{cm}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ).

Δεδομένα: $l_0 = 0{,}40 \ \text{m}$ , $l_1 = 0{,}43 \ \text{m}$ , $m_1 = 0{,}6 \ \text{kg}$ .

Ζητούμενα: α) η σταθερά $k$ του ελατηρίου, β) το μήκος του αν κρεμάσουμε επιπλέον δεύτερο σώμα μάζας $m_2 = 1 \ \text{kg}$ , γ) η μέγιστη μάζα που μπορούμε να κρεμάσουμε αν το όριο ελαστικότητας αντιστοιχεί σε παραμόρφωση $12 \ \text{cm}$ .

Λύση: α) $\Delta l_1 = 43 - 40 = 3 \ \text{cm} = 0{,}03 \ \text{m}$ και, από την ισορροπία, $F_1 = m_1 g = 6 \ \text{N}$ . Άρα $k = \frac{6}{0{,}03} = 200 \ \text{N/m}$ .

β) Νέο βάρος $(0{,}6 + 1) \cdot 10 = 16 \ \text{N}$ , άρα $\Delta l_2 = \frac{16}{200} = 0{,}08 \ \text{m} = 8 \ \text{cm}$ και $l_2 = 40 + 8 = 48 \ \text{cm}$ .

γ) $F_{max} = k\Delta l_{max} = 200 \cdot 0{,}12 = 24 \ \text{N}$ , άρα $m_{max} = \frac{24}{10} = 2{,}4 \ \text{kg}$ .

Απάντηση: α) $200 \ \text{N/m}$ β) $48 \ \text{cm}$ γ) $2{,}4 \ \text{kg}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Στο διάγραμμα $F$ – $\Delta l$ δύο ελατηρίων Α και Β, η ευθεία του Α είναι πιο απότομη. Αν ασκήσουμε την ίδια δύναμη και στα δύο:

Πρόκληση

Κόψε το ελατήριο στη μέση. Ελατήριο σταθεράς $k = 100 \ \text{N/m}$ κρέμεται κατακόρυφα και στην κάτω άκρη του δένουμε σώμα μάζας $1 \ \text{kg}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). (α) Πόση είναι η επιμήκυνση; (β) Κόβουμε το ελατήριο ακριβώς στη μέση και κρεμάμε το ίδιο σώμα από το ένα μισό. Πόση είναι τώρα η σταθερά και η επιμήκυνση; (γ) Αν κρεμάσουμε το σώμα από δύο ολόκληρα όμοια ελατήρια δίπλα-δίπλα, πόσο θα επιμηκυνθεί το καθένα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Ισορροπία: $F_{\varepsilon\lambda} = w = 10 \ \text{N}$ , άρα $\Delta l = \frac{10}{100} = 0{,}1 \ \text{m} = 10 \ \text{cm}$ .

(β) Στο ολόκληρο ελατήριο κάθε κομμάτι του δέχεται την ίδια δύναμη $10 \ \text{N}$ , και κάθε μισό τεντώνεται τα μισά: $5 \ \text{cm}$ . Άρα το μισό ελατήριο θέλει $10 \ \text{N}$ για $0{,}05 \ \text{m}$ : $k' = \frac{10}{0{,}05} = 200 \ \text{N/m}$ . Με το ίδιο σώμα η επιμήκυνση είναι $\Delta l' = 5 \ \text{cm}$ .

(γ) Κάθε ελατήριο κρατά το μισό βάρος: $2F = 10 \Rightarrow F = 5 \ \text{N}$ , άρα $\Delta l = \frac{5}{100} = 0{,}05 \ \text{m} = 5 \ \text{cm}$ .

Απάντηση: $10 \ \text{cm}$ · $k' = 200 \ \text{N/m}$ και $5 \ \text{cm}$ · $5 \ \text{cm}$ το καθένα. Το κοντύτερο ελατήριο είναι σκληρότερο, και δύο ελατήρια δίπλα-δίπλα συμπεριφέρονται σαν ένα με διπλάσια σταθερά.

Στον νόμο του Hooke δούλευε πάντα σε S.I. — τα $cm$ γίνονται $m$ πριν μπουν στον τύπο — και γράφε πρώτα ρητά την παραμόρφωση $\Delta l = l - l_0$ πριν αντικαταστήσεις.

Συνηθισμένα λάθη

Μήκος αντί για παραμόρφωση: στον τύπο μπαίνει $\Delta l = l - l_0$ , όχι το $l$ . Διόρθωση: γράψε πρώτα ρητά το $\Delta l$ .
Εκατοστά στον τύπο: με $k$ σε N/m, το $\Delta l$ πρέπει να είναι σε m.
Μάζα αντί για βάρος: σώμα $0{,}5 \ \text{kg}$ τεντώνει το ελατήριο με $mg = 5 \ \text{N}$ , όχι με $0{,}5 \ \text{N}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δύναμη: αλληλεπίδραση δύο σωμάτων, διανυσματικό μέγεθος σε N· προκαλεί παραμόρφωση ή μεταβολή της ταχύτητας.
Νόμος του Hooke: $F = k\Delta l$ , όσο δεν ξεπερνάμε το όριο ελαστικότητας.
Η σταθερά $k$ (σε N/m) είναι η κλίση του διαγράμματος $F$ – $\Delta l$ · μεγάλο $k$ σημαίνει σκληρό ελατήριο.
$\Delta l = |l - l_0|$ είναι η επιμήκυνση ή συσπείρωση, όχι το μήκος.
Δυναμόμετρο: ελατήριο με ισαπέχουσες χαραγές βαθμολογημένες σε N.

Η έννοια της δύναμης

1 \ \text{N}

Ο νόμος του Hooke

Η παραμόρφωση $\Delta l$ του ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης $F$ που την προκαλεί.

Η σταθερά αναλογίας

k

λέγεται σταθερά του ελατηρίου, μετριέται σε

N/m

και εκφράζει πόσο «σκληρό» είναι το ελατήριο: μεγάλο

k

σημαίνει ότι χρειάζεται μεγάλη δύναμη για μικρή παραμόρφωση. Το διάγραμμα

F

–

\Delta l

είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων, με κλίση

k