🪶

Η Ελεύθερη Πτώση

α = g για κάθε μάζα, υ = gt, h = ½gt², χρόνος πτώσης, αντίσταση του αέρα

Αν αφήσεις ταυτόχρονα μια μπάλα του μπάσκετ και μια μπίλια από το ίδιο ύψος, ποια φτάνει πρώτη;

Οι περισσότεροι απαντούν «η βαριά». Ο Αριστοτέλης το πίστευε κι αυτός — και έκανε λάθος. Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, φτάνουν μαζί. Σε αυτό το μάθημα θα δεις γιατί, και θα υπολογίζεις πόσο γρήγορα και σε πόσο χρόνο πέφτει οτιδήποτε.

Η ελεύθερη πτώση

Η ελεύθερη πτώση είναι ΕΟΕΚ με επιτάχυνση $g \approx 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ (στις ασκήσεις συνήθως 10): από τον 2ο νόμο, $\Sigma F = w = mg$ , άρα $\alpha = g$ ανεξάρτητα από τη μάζα — το φτερό και η πέτρα πέφτουν μαζί στο κενό! Οι εξισώσεις: $\upsilon = g t$ και $h = \frac{1}{2} g t^2$ .

Ελεύθερη πτώση λέμε την κίνηση ενός σώματος που αφήνεται ( $\upsilon_0 = 0$ ) να πέσει κατακόρυφα με μόνη δύναμη το βάρος του, δηλαδή όταν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Μεγαλύτερη μάζα σημαίνει μεγαλύτερο βάρος, αλλά και ισόποσα μεγαλύτερη αδράνεια: ο λόγος $\frac{w}{m} = g$ μένει ίδιος.

$\upsilon = g t, \qquad h = \frac{1}{2} g t^2, \qquad t_{\pi} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Ήξερες ότι;

Το 1971, στην αποστολή Apollo 15, ο αστροναύτης Ντέιβιντ Σκοτ άφησε ταυτόχρονα ένα σφυρί και ένα φτερό γερακιού στη Σελήνη, μπροστά στην κάμερα. Χωρίς αέρα να φρενάρει το φτερό, έφτασαν στο έδαφος μαζί, όπως προβλέπει η ελεύθερη πτώση: η επιτάχυνση $g$ δεν εξαρτάται από τη μάζα.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Ποια είναι η ταχύτητά του μετά από $3 \ \text{s}$ ;

Πότε ΔΕΝ είναι ελεύθερη πτώση;

Στον αέρα, σε κάθε σώμα ασκείται και αντίσταση, που μεγαλώνει με την ταχύτητα και εξαρτάται από το σχήμα. Σε μια πέτρα που πέφτει λίγα μέτρα είναι αμελητέα, σε ένα φτερό ή σε ένα φύλλο χαρτιού όχι. Τσαλάκωσε το φύλλο σε μπαλάκι και θα πέσει σχεδόν όσο γρήγορα μια πέτρα: η μάζα του δεν άλλαξε, άλλαξε μόνο η αντίσταση. Ένας αλεξιπτωτιστής, τελικά, πέφτει με σταθερή ταχύτητα, γιατί η αντίσταση εξισώνεται με το βάρος ( $\Sigma F = 0$ ).

Κόλπο μνήμης

με $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , οι αποστάσεις που πέφτει ένα σώμα μέσα σε κάθε διαδοχικό δευτερόλεπτο είναι $5$ , $15$ , $25$ , $35 \ \text{m}$ … — οι περιττοί αριθμοί επί 5. Αθροιστικά: $5$ , $20$ , $45$ , $80 \ \text{m}$ στο τέλος του 1ου, 2ου, 3ου, 4ου δευτερολέπτου, δηλαδή $5t^2$ . Και η ταχύτητα ανεβαίνει κατά $10 \ \text{m/s}$ κάθε δευτερόλεπτο: $10$ , $20$ , $30$ …

Μέθοδος: ασκήσεις ελεύθερης πτώσης

Θετική φορά προς τα κάτω, αρχή το σημείο από όπου αφήνεται το σώμα, $\upsilon_0 = 0$ .
Γράψε $\upsilon = gt$ και $y = \frac{1}{2}gt^2$ , όπου $y$ η απόσταση που έχει πέσει.
Χρόνος πτώσης από ύψος $H$ : θέσε $y = H$ , άρα $t_\pi = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ · ταχύτητα άφιξης $\upsilon = g t_\pi$ .
Προσοχή στη διατύπωση: «ύψος από το έδαφος» $= H - y$ , όχι $y$ .
Δύο σώματα που αφήνονται σε διαφορετικές στιγμές: γράψε το καθένα με τον δικό του χρόνο ( $t$ και $t - t_1$ ).

Παράδειγμα: Πέτρα αφήνεται από την ταράτσα κτιρίου ύψους $H = 45 \ \text{m}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , χωρίς αντίσταση αέρα). α) Σε πόσο χρόνο φτάνει στο έδαφος; β) Με τι ταχύτητα; γ) Σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται τη στιγμή $t = 2 \ \text{s}$ ;

Λύση: α) $45 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t_\pi = 3 \ \text{s}$ .

β) $\upsilon = g t_\pi = 30 \ \text{m/s}$ , δηλαδή $108 \ \text{km/h}$ !

γ) Στα $2 \ \text{s}$ έχει πέσει $y = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \ \text{m}$ , άρα απέχει από το έδαφος $45 - 20 = 25 \ \text{m}$ .

Παράδειγμα (βάθος πηγαδιού): Αφήνεις ένα βότσαλο μέσα σε πηγάδι και το χρονόμετρο του κινητού σου δείχνει ότι χτυπά στο νερό μετά από $2 \ \text{s}$ . Πόσο βαθιά είναι η επιφάνεια του νερού και με τι ταχύτητα τη χτυπά; (Αγνόησε τον χρόνο που κάνει ο ήχος να ανέβει.)

Λύση: $h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20 \ \text{m}$ και $\upsilon = gt = 20 \ \text{m/s}$ .

Το αποτέλεσμα είναι λίγο μεγαλύτερο από το πραγματικό βάθος: ο ήχος χρειάζεται περίπου $\frac{20}{340} \approx 0{,}06 \ \text{s}$ για να φτάσει πίσω σε σένα, οπότε η πτώση κράτησε λίγο λιγότερο από $2 \ \text{s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σφαίρες, μάζας $1 \ \text{kg}$ και $5 \ \text{kg}$ , αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος στο κενό. Ποια πρόταση είναι σωστή;

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα πέφτει ελεύθερα από ηρεμία ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Πόσο διάστημα διανύει μόνο κατά το 3ο δευτερόλεπτο της πτώσης (από $t = 2 \ \text{s}$ έως $t = 3 \ \text{s}$ );

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Από την κορυφή πύργου ύψους $H = 80 \ \text{m}$ αφήνεται σφαίρα Α τη στιγμή $t = 0$ . Τη στιγμή $t_1 = 1 \ \text{s}$ αφήνεται από το ίδιο σημείο δεύτερη σφαίρα Β ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , χωρίς αντίσταση αέρα).

Δεδομένα: $H = 80 \ \text{m}$ , $\upsilon_0 = 0$ και για τις δύο, καθυστέρηση $t_1 = 1 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) ο χρόνος πτώσης και η ταχύτητα άφιξης της Α, β) η απόσταση των δύο σφαιρών τη στιγμή που η Α φτάνει στο έδαφος, γ) η ταχύτητα της Β εκείνη τη στιγμή.

Λύση: α) $80 = 5t^2 \Rightarrow t_\pi = 4 \ \text{s}$ και $\upsilon_A = 10 \cdot 4 = 40 \ \text{m/s}$ .

β) Τη στιγμή $t = 4 \ \text{s}$ η Β πέφτει εδώ και $3 \ \text{s}$ : $y_B = 5 \cdot 3^2 = 45 \ \text{m}$ κάτω από την κορυφή, δηλαδή $35 \ \text{m}$ πάνω από το έδαφος. Αφού η Α είναι στο έδαφος, απέχουν $35 \ \text{m}$ .

γ) $\upsilon_B = g \cdot 3 = 30 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $4 \ \text{s}$ , $40 \ \text{m/s}$ β) $35 \ \text{m}$ γ) $30 \ \text{m/s}$ .

Πρόκληση

Η απόσταση που μεγαλώνει. Στο προηγούμενο θέμα, δείξε ότι, όσο πέφτουν και οι δύο σφαίρες, η απόστασή τους μεγαλώνει γραμμικά με τον χρόνο, ενώ η διαφορά των ταχυτήτων τους μένει σταθερή. Πόση είναι αυτή η διαφορά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Για $1 \le t \le 4 \ \text{s}$ : $y_A = 5t^2$ και $y_B = 5(t - 1)^2 = 5t^2 - 10t + 5$ . Άρα

$d = y_A - y_B = 10t - 5 \ (\text{σε m})$

που είναι γραμμική συνάρτηση του $t$ : τη στιγμή $t = 1 \ \text{s}$ είναι $5 \ \text{m}$ και τη στιγμή $t = 4 \ \text{s}$ είναι $35 \ \text{m}$ ✔. Οι ταχύτητες είναι $\upsilon_A = 10t$ και $\upsilon_B = 10(t - 1)$ , με σταθερή διαφορά $10 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: $\Delta\upsilon = g \cdot t_1 = 10 \ \text{m/s}$ . Η Α «βλέπει» τη Β να απομακρύνεται σαν να κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, γιατί και οι δύο έχουν την ίδια επιτάχυνση $g$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ταχύτητα αντί για ύψος: το $h = \frac{1}{2}gt^2$ δίνει απόσταση, το $\upsilon = gt$ ταχύτητα (π.χ. στα $3 \ \text{s}$ : $\upsilon = 30 \ \text{m/s}$ , αλλά $h = 45 \ \text{m}$ ). Διόρθωση: διάβασε τι ζητείται.
«Η βαριά πέφτει γρηγορότερα»: στο κενό όλα πέφτουν με $g$ . Διόρθωση: η μάζα δεν μπαίνει καν στις εξισώσεις.
Ύψος από το έδαφος: το $y = \frac{1}{2}gt^2$ μετρά πόσο έπεσε. Διόρθωση: ύψος από το έδαφος $= H - y$ .
Αρνητικό $g$ με θετική φορά προς τα κάτω: Διόρθωση: αν η θετική φορά είναι προς τα κάτω, $\alpha = +g$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ελεύθερη πτώση: $\upsilon_0 = 0$ , μόνη δύναμη το βάρος, $\alpha = g$ για κάθε μάζα.
$\upsilon = gt$ , $h = \frac{1}{2}gt^2$ · χρόνος πτώσης από ύψος $H$ : $t_\pi = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ .
Με $g = 10 \ \text{m/s}^2$ : $5$ , $20$ , $45$ , $80 \ \text{m}$ στα $1$ , $2$ , $3$ , $4 \ \text{s}$ .
Με μη αμελητέα αντίσταση του αέρα η κίνηση δεν είναι ελεύθερη πτώση.

Η ελεύθερη πτώση

Η ελεύθερη πτώση είναι ΕΟΕΚ με επιτάχυνση

g \approx 9{,}8 \ \text{m/s}^2

(στις ασκήσεις συνήθως 10): από τον 2ο νόμο,

\Sigma F = w = mg

, άρα

\alpha = g

ανεξάρτητα από τη μάζα — το φτερό και η πέτρα πέφτουν μαζί στο κενό! Οι εξισώσεις:

\upsilon = g t

και

h = \frac{1}{2} g t^2

Ελεύθερη πτώση λέμε την κίνηση ενός σώματος που αφήνεται (

\upsilon_0 = 0

) να πέσει κατακόρυφα με μόνη δύναμη το βάρος του, δηλαδή όταν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Μεγαλύτερη μάζα σημαίνει μεγαλύτερο βάρος, αλλά και ισόποσα μεγαλύτερη αδράνεια: ο λόγος

\frac{w}{m} = g

μένει ίδιος.