🔁

Συντηρητικές Δυνάμεις

Έργο ανεξάρτητο της διαδρομής, κλειστή διαδρομή, τριβή ως μη συντηρητική δύναμη

Ίδιο έργο από το μονοπάτι και από το τελεφερίκ;

Ανεβαίνεις στον Λυκαβηττό είτε από το φιδωτό μονοπάτι είτε με το τελεφερίκ: το έργο του βάρους σου είναι ακριβώς το ίδιο, γιατί εξαρτάται μόνο από το πόσο ψηλά ανέβηκες. Αν όμως σέρνεις μια βαλίτσα, ο μακρύτερος δρόμος σου «κοστίζει» περισσότερη τριβή. Αυτή η διαφορά χωρίζει τις δυνάμεις σε συντηρητικές και μη, και είναι το κλειδί για κάθε ενεργειακή άσκηση.

Τι κάνει μια δύναμη «συντηρητική»;

Μια δύναμη λέγεται συντηρητική (ή διατηρητική) όταν το έργο της κατά τη μετακίνηση ενός σώματος από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθήθηκε — μόνο από την αρχική και την τελική θέση.

Ισοδύναμος ορισμός: το έργο συντηρητικής δύναμης σε οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή (επιστροφή στο σημείο εκκίνησης) είναι μηδέν. Ό,τι έργο παράγει στο «πήγαινε», το καταναλώνει στο «έλα».

Το βάρος είναι το βασικό μας παράδειγμα: όταν ένα σώμα κατεβαίνει κατά ύψος $h$ — είτε πέφτει κατακόρυφα, είτε γλιστρά σε πλαγιά, είτε ακολουθεί τεθλασμένη — το έργο του βάρους είναι πάντα $W_w = mgh$ . Συντηρητική είναι και η δύναμη του ελατηρίου.

$W_{A \to B} \ \alpha\nu\varepsilon\xi\acute{\alpha}\rho\tau\eta\tau o \ \delta\iota\alpha\delta\rho o\mu\acute{\eta}\varsigma \quad \Leftrightarrow \quad W_{\kappa\lambda\varepsilon\iota\sigma\tau\acute{\eta}\varsigma} = 0$

Κόλπο μνήμης

μια συντηρητική δύναμη μοιάζει με κουμπαρά: ό,τι ενέργεια «παίρνει» από το σώμα την αποθηκεύει ως δυναμική ενέργεια $U$ και του την επιστρέφει ολόκληρη στην επιστροφή. Η τριβή μοιάζει με φόρο: παίρνει σε κάθε μέτρο, προς όποια κατεύθυνση κι αν πας, και δεν επιστρέφει ποτέ τίποτα.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω δυνάμεις είναι συντηρητική;

Παρακολούθησε τις στήλες ενέργειας καθώς το σώμα ανεβοκατεβαίνει: με συντηρητικές δυνάμεις η δυναμική και η κινητική ενέργεια ανταλλάσσονται χωρίς απώλειες — το άθροισμά τους μένει σταθερό!

Γιατί μας νοιάζει; Δυναμική ενέργεια & διατήρηση

Οι συντηρητικές δυνάμεις έχουν ένα μοναδικό προνόμιο: μόνο γι' αυτές ορίζεται δυναμική ενέργεια. Επειδή το έργο τους εξαρτάται μόνο από τις θέσεις Α και Β, μπορούμε να «χρεώσουμε» σε κάθε θέση μια ενέργεια $U$ ώστε $W_{A \to B} = U_A - U_B$ . Για το βάρος αυτή είναι η γνωστή $U = mgh$ .

Όταν στο σώμα έργο παράγουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, η μηχανική ενέργεια $E = K + U$ διατηρείται.

Η τριβή είναι το αντιπαράδειγμα — μη συντηρητική δύναμη: το έργο της είναι $W_T = -T \cdot s$ , όπου $s$ το μήκος της διαδρομής. Όσο μεγαλύτερη διαδρομή, τόσο περισσότερο (αρνητικό) έργο — άρα εξαρτάται από τον δρόμο, όχι μόνο από τα άκρα. Σε κλειστή διαδρομή το έργο της δεν μηδενίζεται, είναι πάντα αρνητικό: η μηχανική ενέργεια μειώνεται και μετατρέπεται σε θερμότητα.

Ήξερες ότι;

Οι αντλησιοταμιευτικοί υδροηλεκτρικοί σταθμοί, όπως αυτός της Σφηκιάς στον Αλιάκμονα, χρησιμοποιούν τη συντηρητική φύση του βάρους σαν γιγάντια «μπαταρία». Όταν περισσεύει ηλεκτρική ενέργεια, αντλούν νερό σε ψηλότερη λίμνη και την αποθηκεύουν ως δυναμική ενέργεια $mgh$ . Όταν χρειάζεται ρεύμα, αφήνουν το νερό να κατέβει μέσα από τουρμπίνες και παίρνουν πίσω το μεγαλύτερο μέρος της.

Μέθοδος: ενέργεια με συντηρητικές και μη συντηρητικές δυνάμεις

Κατάγραψε τις δυνάμεις που παράγουν έργο και χώρισέ τες σε συντηρητικές (βάρος, ελατήριο) και μη συντηρητικές (τριβή, αντίσταση αέρα, δυνάμεις από χέρια ή κινητήρες).
Το έργο των συντηρητικών το «μετράς» μέσω της δυναμικής ενέργειας: $W_w = U_A - U_B$ .
Τη μηχανική ενέργεια την αλλάζουν μόνο οι μη συντηρητικές δυνάμεις:

$E_{\tau\varepsilon\lambda} - E_{\alpha\rho\chi} = W_{\mu\eta \ \sigma\upsilon\nu\tau}$

Αν η μόνη μη συντηρητική δύναμη είναι η τριβή: $\Delta E = W_T = -T \cdot s$ και η θερμότητα που παράγεται είναι $Q = T \cdot s$ .
Αν οι μη συντηρητικές δεν παράγουν έργο, η μηχανική ενέργεια διατηρείται: $E_{\alpha\rho\chi} = E_{\tau\varepsilon\lambda}$ .

Παράδειγμα: Σώμα μάζας $m = 2\ kg$ μεταφέρεται από σημείο Α σε σημείο Β που βρίσκεται $h = 3\ m$ χαμηλότερα, με δύο τρόπους: (1) κατακόρυφη πτώση, (2) ολίσθηση σε πλαγιά μήκους $6\ m$ . Δίνεται $g = 10\ m/s^2$ .

Έργο βάρους: Και στις δύο διαδρομές $W_w = mgh = 2 \cdot 10 \cdot 3 = 60\ J$ — ίδιο, γιατί το βάρος είναι συντηρητική δύναμη και «βλέπει» μόνο την υψομετρική διαφορά.

Έργο τριβής (έστω $T = 4\ N$ στην πλαγιά): $W_T = -T \cdot s = -4 \cdot 6 = -24\ J$ . Αν η πλαγιά είχε διπλάσιο μήκος για το ίδιο ύψος, το έργο της τριβής θα διπλασιαζόταν — εξαρτάται από τη διαδρομή, άρα η τριβή δεν είναι συντηρητική.

Παράδειγμα (κλειστή διαδρομή): Μπάλα μάζας $0{,}4 \ \text{kg}$ εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, ανεβαίνει $5 \ \text{m}$ και επιστρέφει στο χέρι σου ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Βρες το έργο του βάρους στην άνοδο, στην κάθοδο και σε όλη τη διαδρομή. β) Αν σε όλη τη διαδρομή ασκούνταν αντίσταση αέρα σταθερού μέτρου $0{,}5 \ \text{N}$ (θεώρησε ότι το ύψος μένει περίπου $5 \ \text{m}$ ), πόσο θα ήταν το έργο της;

Λύση: α) Άνοδος: $W_w = -mgh = -0{,}4 \cdot 10 \cdot 5 = -20 \ \text{J}$ . Κάθοδος: $W_w = +20 \ \text{J}$ . Σύνολο: $0$ — όπως πρέπει για συντηρητική δύναμη σε κλειστή διαδρομή.

β) Η αντίσταση είναι πάντα αντίθετη στην κίνηση: προς τα κάτω στην άνοδο, προς τα πάνω στην κάθοδο. Άρα $W_\alpha = -0{,}5 \cdot 5 - 0{,}5 \cdot 5 = -5 \ \text{J}$ , όχι μηδέν.

Η αντίσταση του αέρα αποτυγχάνει στο «τεστ της κλειστής διαδρομής»: είναι μη συντηρητική δύναμη.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα ανυψώνεται από το πάτωμα σε ράφι ύψους $2\ m$ και αργότερα επιστρέφει στο πάτωμα. Ποιο είναι το συνολικό έργο του βάρους στην κλειστή αυτή διαδρομή;

Γρήγορος έλεγχος

Γιατί η τριβή ολίσθησης ΔΕΝ είναι συντηρητική δύναμη;

Γρήγορος έλεγχος

Κιβώτιο σπρώχνεται σε οριζόντιο δάπεδο από το σημείο Α στο Β ( $4 \ \text{m}$ ) και πίσω στο Α. Η τριβή έχει σταθερό μέτρο $T = 3 \ \text{N}$ . Το συνολικό έργο της τριβής είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ ξεκινά από ηρεμία από σημείο Α σε ύψος $h = 5 \ \text{m}$ και φτάνει στο σημείο Β του εδάφους με δύο εναλλακτικές διαδρομές: (1) λεία καμπύλη τσουλήθρα, (2) τραχιά πλαγιά μήκους $s = 10 \ \text{m}$ , όπου ασκείται τριβή σταθερού μέτρου $T = 6 \ \text{N}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ).

Δεδομένα: $m = 2 \ \text{kg}$ , $h = 5 \ \text{m}$ , $s = 10 \ \text{m}$ , $T = 6 \ \text{N}$ , $\upsilon_A = 0$ .

Ζητούμενο: α) το έργο του βάρους σε κάθε διαδρομή, β) η ταχύτητα στο Β σε κάθε διαδρομή, γ) η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας στη διαδρομή (2).

Λύση: α) Το βάρος είναι συντηρητικό: $W_w = mgh = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100 \ \text{J}$ και στις δύο διαδρομές.

β) Διαδρομή (1): έργο παράγει μόνο το βάρος, $100 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \upsilon_1^2 \Rightarrow \upsilon_1 = 10 \ \text{m/s}$ .

Διαδρομή (2): ΘΜΚΕ με $W_T = -T \cdot s = -60 \ \text{J}$ :

$100 - 60 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \upsilon_2^2 \Rightarrow \upsilon_2^2 = 40 \Rightarrow \upsilon_2 = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3 \ \text{m/s}$

γ) $\Delta E = W_T = -60 \ \text{J}$ : $60 \ \text{J}$ μηχανικής ενέργειας έγιναν θερμότητα.

Απάντηση: α) $100 \ \text{J}$ και στις δύο β) $10 \ \text{m/s}$ και περίπου $6{,}3 \ \text{m/s}$ γ) $-60 \ \text{J}$ .

Πρόκληση

Δύο ράμπες, ένα ύψος. Κιβώτιο μάζας $m = 1 \ \text{kg}$ αφήνεται από ύψος $h = 5 \ \text{m}$ και φτάνει στο έδαφος από δύο διαφορετικές ράμπες ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ): (α) λεία ράμπα, (β) ράμπα μήκους $10 \ \text{m}$ με σταθερή τριβή $T = 2 \ \text{N}$ . Βρες σε κάθε περίπτωση το έργο του βάρους και την ταχύτητα στη βάση. (γ) Μετά τη βάση, το κιβώτιο συνεχίζει σε οριζόντιο δάπεδο με την ίδια τριβή $T = 2 \ \text{N}$ . Πόσο διανύει μέχρι να σταματήσει σε κάθε περίπτωση;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το βάρος είναι συντηρητικό: $W_w = mgh = 1 \cdot 10 \cdot 5 = 50 \ \text{J}$ και στις δύο ράμπες.

(α) ΘΜΚΕ: $\frac{1}{2}m\upsilon^2 = 50 \Rightarrow \upsilon^2 = 100 \Rightarrow \upsilon = 10 \ \text{m/s}$ .

(β) $W_T = -T \cdot s = -2 \cdot 10 = -20 \ \text{J}$ . ΘΜΚΕ: $K = 50 - 20 = 30 \ \text{J} \Rightarrow \upsilon = \sqrt{60} \approx 7{,}7 \ \text{m/s}$ .

(γ) Στο οριζόντιο δάπεδο μόνο η τριβή παράγει έργο: $0 - K = -T \cdot d \Rightarrow d = \frac{K}{T}$ . Για (α): $d = \frac{50}{2} = 25 \ \text{m}$ . Για (β): $d = \frac{30}{2} = 15 \ \text{m}$ .

Απάντηση: $W_w = 50 \ \text{J}$ και στις δύο· $10 \ \text{m/s}$ και περίπου $7{,}7 \ \text{m/s}$ · $25 \ \text{m}$ και $15 \ \text{m}$ . Το βάρος «δεν νοιάζεται» για τη διαδρομή, η τριβή όμως χρεώνει κάθε μέτρο.

Στα προβλήματα ενέργειας ρώτα πρώτα: «ποιες δυνάμεις παράγουν έργο;» Αν είναι μόνο συντηρητικές (βάρος, ελατήριο), εφάρμοσε άφοβα διατήρηση μηχανικής ενέργειας. Αν υπάρχει τριβή ή αντίσταση αέρα, δούλεψε με ΘΜΚΕ και θυμήσου ότι η «χαμένη» ενέργεια $|W_T| = T \cdot s$ έγινε θερμότητα.

Συνηθισμένα λάθη

Κανόνας κλειστής διαδρομής για την τριβή: το «μηδενικό έργο σε κλειστή διαδρομή» ισχύει μόνο για συντηρητικές δυνάμεις. Διόρθωση: για την τριβή $W_T = -T \cdot s$ , με $s$ το συνολικό μήκος διαδρομής.
Έργο βάρους με το μήκος της πλαγιάς: το $mg \cdot s$ είναι λάθος. Διόρθωση: $W_w = mgh$ — μετράει μόνο η υψομετρική διαφορά.
Διπλομέτρηση: γράφουν και το $W_w$ και το $\Delta U$ στην ίδια εξίσωση. Διόρθωση: ή ΘΜΚΕ με $W_w$ , ή μηχανική ενέργεια $E = K + U$ με $\Delta E = W_T$ — όχι και τα δύο μαζί.
Θερμότητα με πρόσημο: η θερμότητα από την τριβή είναι $Q = |W_T|$ , θετική ποσότητα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Συντηρητική δύναμη: έργο ανεξάρτητο της διαδρομής, ισοδύναμα μηδενικό έργο σε κλειστή διαδρομή.
Συντηρητικές: βάρος ( $W_w = mgh$ ) και δύναμη ελατηρίου· μόνο γι' αυτές ορίζεται δυναμική ενέργεια, $W_{A \to B} = U_A - U_B$ .
Μη συντηρητική: η τριβή, με $W_T = -T \cdot s$ (εξαρτάται από το μήκος της διαδρομής).
$\Delta E_{\mu\eta\chi} = W_{\mu\eta \ \sigma\upsilon\nu\tau}$ · χωρίς τέτοια έργα η μηχανική ενέργεια διατηρείται.
Η ενέργεια που χάνεται λόγω τριβής γίνεται θερμότητα $Q = T \cdot s$ .

Τι κάνει μια δύναμη «συντηρητική»;

Το βάρος είναι το βασικό μας παράδειγμα: όταν ένα σώμα κατεβαίνει κατά ύψος

h

— είτε πέφτει κατακόρυφα, είτε γλιστρά σε πλαγιά, είτε ακολουθεί τεθλασμένη — το έργο του βάρους είναι πάντα

W_w = mgh

. Συντηρητική είναι και η δύναμη του ελατηρίου.