🌐

Τροχιακό & Κβαντικοί Αριθμοί

Ατομικό τροχιακό, n–l–mₗ–mₛ, στιβάδες & υποστιβάδες

Γιατί τα πυροτεχνήματα έχουν χρώματα;

Το κόκκινο των πυροτεχνημάτων οφείλεται σε άλατα στροντίου, το πράσινο σε άλατα βαρίου, και το κίτρινο φως των λαμπτήρων νατρίου στους δρόμους σε ατμούς νατρίου. Κάθε στοιχείο εκπέμπει μόνο ορισμένα χρώματα, γιατί τα ηλεκτρόνιά του επιτρέπεται να έχουν μόνο ορισμένες ενέργειες. Οι κβαντικοί αριθμοί είναι η «διεύθυνση» κάθε ηλεκτρονίου σε αυτόν τον κβαντισμένο κόσμο.

Από τον Bohr στο τροχιακό

Το πρότυπο του Bohr (καθορισμένες κυκλικές τροχιές) ερμήνευσε το φάσμα του υδρογόνου, αλλά κατέρρευσε στα πολυηλεκτρονικά άτομα. Το σύγχρονο κβαντομηχανικό πρότυπο στηρίζεται σε δύο ιδέες:

την κυματική φύση της ύλης (de Broglie) — το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα
την αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg — δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με ακρίβεια θέση και ταχύτητα του ηλεκτρονίου

Έτσι εγκαταλείπουμε την «τροχιά» και μιλάμε για πιθανότητα. Η εξίσωση Schrödinger δίνει τις κυματοσυναρτήσεις $\psi$ , και το $\psi^2$ εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο (ηλεκτρονιακή πυκνότητα, «ηλεκτρονιακό νέφος»).

Ατομικό τροχιακό ονομάζουμε την κυματοσυνάρτηση $\psi$ — εποπτικά, τον χώρο όπου η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου είναι πολύ μεγάλη (π.χ. πάνω από 90%).

Στείλε φωτόνια στο άτομο και παρατήρησε ότι η ενέργεια ανταλλάσσεται μόνο σε καθορισμένα «πακέτα»: έτσι ακριβώς και το ηλεκτρόνιο στο άτομο επιτρέπεται να έχει μόνο συγκεκριμένες, κβαντισμένες ενεργειακές καταστάσεις — αυτές που περιγράφουν οι κβαντικοί αριθμοί.

Ήξερες ότι;

Ο Louis de Broglie πρότεινε στη διδακτορική του διατριβή (1924) ότι και το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν κύμα. Το 1927 τα πειράματα των Davisson και Germer έδειξαν πράγματι περίθλαση ηλεκτρονίων, και το 1929 ο de Broglie πήρε το Νόμπελ Φυσικής. Η κυματική φύση του ηλεκτρονίου είναι η αρχή λειτουργίας του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου.

Οι τέσσερις κβαντικοί αριθμοί

Κύριος $n$ ( $n = 1, 2, 3, \ldots$ ): καθορίζει το μέγεθος του τροχιακού και κυρίως την ενέργειά του. Ορίζει τη στιβάδα (K, L, M, N…).
Δευτερεύων (αζιμουθιακός) $l$ ( $l = 0, 1, \ldots, n-1$ ): καθορίζει το σχήμα του τροχιακού. Ορίζει την υποστιβάδα: $l = 0 \to s$ , $l = 1 \to p$ , $l = 2 \to d$ , $l = 3 \to f$ .
Μαγνητικός $m_l$ ( $m_l = -l, \ldots, 0, \ldots, +l$ ): καθορίζει τον προσανατολισμό του τροχιακού στον χώρο. Κάθε τιμή του αντιστοιχεί σε ένα τροχιακό — άρα η υποστιβάδα έχει $2l + 1$ τροχιακά.
Μαγνητικός του spin $m_s$ ( $+\frac{1}{2}$ ή $-\frac{1}{2}$ ): περιγράφει την ιδιοπεριστροφή του ηλεκτρονίου· δεν συμμετέχει στον καθορισμό του τροχιακού.

Τα s τροχιακά είναι σφαιρικά (μέγεθος που μεγαλώνει με το $n$ : 1s < 2s < 3s). Τα p τροχιακά έχουν σχήμα διπλού λοβού και είναι τρία ανά υποστιβάδα: $p_x, p_y, p_z$ , κάθετα μεταξύ τους.

$n = 1, 2, 3, \ldots \quad l = 0, 1, \ldots, n-1 \quad m_l = -l, \ldots, +l \quad m_s = \pm\tfrac{1}{2}$

$\text{Τροχιακά υποστιβάδας: } 2l+1, \quad \text{στιβάδας: } n^2, \quad \text{μέγιστα } e^-\text{ στιβάδας: } 2n^2$

Κόλπο μνήμης

$s, p, d, f \leftrightarrow l = 0, 1, 2, 3$ — «Σου Πάω Δύο Φραπέδες». Τα τροχιακά ανά υποστιβάδα είναι οι περιττοί αριθμοί $1, 3, 5, 7$ (δηλαδή $2l + 1$ ) και τα ηλεκτρόνια το διπλάσιο: $2, 6, 10, 14$ . Για ολόκληρη στιβάδα: $n^2$ τροχιακά, $2n^2$ ηλεκτρόνια.

Μέθοδος: μέτρημα τροχιακών και ηλεκτρονίων

Από το $n$ γράψε τις επιτρεπτές τιμές $l = 0, \ldots, n - 1$ (υποστιβάδες $s, p, d, f$ ).
Για κάθε $l$ το $m_l$ παίρνει $2l + 1$ τιμές: τόσα είναι τα τροχιακά της υποστιβάδας.
Αν η εκφώνηση «κλειδώνει» κάποιον κβαντικό αριθμό (π.χ. $m_l = -2$ ), κράτησε μόνο τις υποστιβάδες όπου αυτή η τιμή επιτρέπεται ( $|m_l| \le l$ ).
Κάθε τροχιακό χωρά 2 ηλεκτρόνια ( $m_s = \pm\frac{1}{2}$ )· αν δίνεται και το $m_s$ , κάθε τροχιακό μετρά για 1.
Έλεγχος: στιβάδα $n$ → $n^2$ τροχιακά και $2n^2$ ηλεκτρόνια το πολύ.

Άσκηση: Για $n = 3$ , ποιες υποστιβάδες και πόσα τροχιακά υπάρχουν;

Λύση: Για $n = 3$ : $l = 0, 1, 2$ , δηλαδή υποστιβάδες $3s, 3p, 3d$ .

$3s$ ( $l=0$ ): $m_l = 0$ → 1 τροχιακό
$3p$ ( $l=1$ ): $m_l = -1, 0, +1$ → 3 τροχιακά
$3d$ ( $l=2$ ): $m_l = -2, -1, 0, +1, +2$ → 5 τροχιακά

Σύνολο $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$ τροχιακά, με μέγιστη χωρητικότητα $2 \cdot 3^2 = 18$ ηλεκτρόνια.

Άσκηση: Πόσα ηλεκτρόνια ενός ατόμου μπορούν να έχουν: (α) $n = 3$ , $l = 1$ · (β) $n = 4$ , $m_l = -2$ · (γ) $n = 2$ , $m_s = +\frac{1}{2}$ ;

Λύση:

(α) $n = 3$ , $l = 1$ είναι η υποστιβάδα $3p$ : $m_l = -1, 0, +1$ → 3 τροχιακά → 6 ηλεκτρόνια.

(β) Με $n = 4$ είναι $l = 0, 1, 2, 3$ . Η τιμή $m_l = -2$ επιτρέπεται μόνο για $l \ge 2$ , δηλαδή στις $4d$ και $4f$ : ένα τροχιακό σε καθεμιά → 2 τροχιακά → 4 ηλεκτρόνια.

(γ) Η στιβάδα $n = 2$ έχει $2^2 = 4$ τροχιακά ( $2s$ και τρία $2p$ ). Με δεδομένο $m_s = +\frac{1}{2}$ , κάθε τροχιακό φιλοξενεί ένα τέτοιο ηλεκτρόνιο → 4 ηλεκτρόνια.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών:

Δεδομένα: οι υποστιβάδες $1p$ , $2s$ , $2d$ , $3d$ , $3f$ , $4f$ και το ηλεκτρόνιο με κβαντικούς αριθμούς $(4, 2, -1, +\frac{1}{2})$ .

Ζητούμενα: (α) ποιες από τις υποστιβάδες υπάρχουν, (β) σε ποια υποστιβάδα βρίσκεται το ηλεκτρόνιο, (γ) πόσα τροχιακά και πόσα ηλεκτρόνια το πολύ έχει η στιβάδα N.

Λύση:

(α) Πρέπει $l \le n - 1$ . Υπάρχουν οι $2s$ ( $l = 0$ ), $3d$ ( $l = 2 \le 2$ ), $4f$ ( $l = 3 \le 3$ ). Δεν υπάρχουν: $1p$ (το $l = 1$ θέλει $n \ge 2$ ), $2d$ (θέλει $n \ge 3$ ), $3f$ (θέλει $n \ge 4$ ).

(β) $n = 4$ και $l = 2$ → υποστιβάδα $4d$ . Το $m_l = -1$ δείχνει ένα από τα πέντε $4d$ τροχιακά και το $m_s = +\frac{1}{2}$ το spin.

(γ) Η στιβάδα N έχει $n = 4$ : υποστιβάδες $4s, 4p, 4d, 4f$ με $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ τροχιακά και το πολύ $2 \cdot 16 = 32$ ηλεκτρόνια.

Απάντηση: (α) $2s$ , $3d$ , $4f$ , (β) $4d$ , (γ) 16 τροχιακά, 32 ηλεκτρόνια.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα τροχιακά περιέχει η υποστιβάδα $3d$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια τετράδα $(n, l, m_l, m_s)$ είναι επιτρεπτή;

Γρήγορος έλεγχος

Ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων της στιβάδας M ( $n = 3$ ) είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Το σχήμα ενός ατομικού τροχιακού καθορίζεται από τον κβαντικό αριθμό:

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα ηλεκτρόνια ενός ατόμου μπορούν να έχουν $n = 3$ και $m_l = +1$ ;

Πρόκληση

Σε ένα άτομο:

(α) Πόσα ηλεκτρόνια μπορούν το πολύ να έχουν ταυτόχρονα $n \le 3$ , $m_l = 0$ και $m_s = +\frac{1}{2}$ ;

(β) Ποιος είναι ο μικρότερος $n$ για τον οποίο μπορεί να υπάρξει ηλεκτρόνιο με $m_l = -3$ ;

(γ) Πόσα ηλεκτρόνια μπορούν το πολύ να έχουν $l = 2$ και $n \le 4$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μέτρα πρώτα τροχιακά (τριάδα $n, l, m_l$ ) και μετά βάλε ηλεκτρόνια: το πολύ 2 ανά τροχιακό, ένα για κάθε τιμή του $m_s$ .

(α) Τροχιακά με $m_l = 0$ : για $n = 1$ το $1s$ · για $n = 2$ το $2s$ και ένα $2p$ · για $n = 3$ το $3s$ , ένα $3p$ και ένα $3d$ . Σύνολο $1 + 2 + 3 = 6$ τροχιακά. Με συγκεκριμένο $m_s = +\frac{1}{2}$ χωρά ένα ηλεκτρόνιο σε καθένα: 6 ηλεκτρόνια.

(β) $m_l = -3$ απαιτεί $l \ge 3$ (υποστιβάδα $f$ ). Αφού $l \le n - 1$ , πρέπει $n \ge 4$ : ο μικρότερος είναι $n = 4$ ( $4f$ ).

(γ) $l = 2$ σημαίνει υποστιβάδα $d$ , που υπάρχει για $n \ge 3$ : οι $3d$ και $4d$ , με 5 τροχιακά η καθεμία. $10$ τροχιακά $\times 2 =$ 20 ηλεκτρόνια.

Έλεγχος τετράδων με τρία βήματα: ① $l < n$ , ② $-l \leq m_l \leq +l$ , ③ $m_s = \pm\frac{1}{2}$ . Θυμήσου: οι τρεις πρώτοι κβαντικοί αριθμοί «δείχνουν» τροχιακό, και οι τέσσερις μαζί «δείχνουν» ηλεκτρόνιο.

Συνηθισμένα λάθη

$l$ μέχρι $n$ . Το $l$ φτάνει μέχρι $n - 1$ : γι' αυτό δεν υπάρχουν $1p$ , $2d$ , $3f$ .
Τροχιακά αντί για ηλεκτρόνια. Η $3d$ έχει 5 τροχιακά και χωρά 10 ηλεκτρόνια — πρόσεξε τι ρωτά η εκφώνηση.
Το $m_s$ ορίζει τροχιακό. Το τροχιακό ορίζεται από $(n, l, m_l)$ · το $m_s$ ξεχωρίζει τα δύο ηλεκτρόνια του ίδιου τροχιακού.
«Τροχιά» αντί για «τροχιακό». Το τροχιακό δεν είναι διαδρομή: είναι η $\psi$ , και το $\psi^2$ δίνει πιθανότητα εύρεσης (ηλεκτρονιακό νέφος).

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κβαντομηχανικό πρότυπο: κυματική φύση (de Broglie) + αρχή αβεβαιότητας (Heisenberg)· $\psi^2$ = πιθανότητα.
$n$ : μέγεθος/ενέργεια (στιβάδα)· $l = 0 \ldots n-1$ : σχήμα (υποστιβάδα $s, p, d, f$ )· $m_l = -l \ldots +l$ : προσανατολισμός· $m_s = \pm\frac{1}{2}$ : spin.
Υποστιβάδα: $2l + 1$ τροχιακά· στιβάδα: $n^2$ τροχιακά, $2n^2$ ηλεκτρόνια.
Τροχιακά $s$ σφαιρικά (μεγαλώνουν με το $n$ ), $p$ τρία με διπλό λοβό, κάθετα μεταξύ τους.
$(n, l, m_l)$ ορίζουν τροχιακό· και οι τέσσερις μαζί ορίζουν ηλεκτρόνιο.

Από τον Bohr στο τροχιακό

την κυματική φύση της ύλης (de Broglie) — το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα

την αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg — δεν μπορούμε να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με ακρίβεια θέση και ταχύτητα του ηλεκτρονίου

Έτσι εγκαταλείπουμε την «τροχιά» και μιλάμε για πιθανότητα. Η εξίσωση Schrödinger δίνει τις κυματοσυναρτήσεις

\psi

, και το

\psi^2

εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο (ηλεκτρονιακή πυκνότητα, «ηλεκτρονιακό νέφος»).

Ατομικό τροχιακό ονομάζουμε την κυματοσυνάρτηση

\psi

— εποπτικά, τον χώρο όπου η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου είναι πολύ μεγάλη (π.χ. πάνω από 90%).