📏

Συνθήκη Παραλληλίας & Συντελεστής Διεύθυνσης

Ορίζουσα det(α, β), παράλληλα διανύσματα, συνευθειακά σημεία, λ = y/x = εφφ

Τι σημαίνει η πινακίδα «κλίση 10%»;

Στα βουνά θα δεις πινακίδες που γράφουν «κλίση 10%». Σημαίνουν: για κάθε $100\ \text{m}$ που προχωράς οριζόντια, ανεβαίνεις $10\ \text{m}$ . Αυτός ο λόγος «ανέβασμα προς προχώρημα», εδώ $0{,}1$ , είναι ακριβώς ο συντελεστής διεύθυνσης $\lambda$ . Και με έναν σταυρωτό πολλαπλασιασμό — την ορίζουσα — θα ελέγχεις αμέσως αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα.

Συνθήκη παραλληλίας με συντεταγμένες

Για $\vec{\alpha} = (x_1, y_1)$ και $\vec{\beta} = (x_2, y_2)$ ορίζουμε την ορίζουσα

$\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1$

Θεώρημα. $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 0$ .

Γιατί: Έστω $\vec{\beta} \ne \vec{0}$ και $\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ . Τότε $x_1 = \lambda x_2$ , $y_1 = \lambda y_2$ , οπότε $x_1 y_2 - x_2 y_1 = \lambda x_2 y_2 - \lambda x_2 y_2 = 0$ . Αντίστροφα, αν η ορίζουσα μηδενίζεται, οι συντεταγμένες είναι ανάλογες: το ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. (Αν $\vec{\beta} = \vec{0}$ η ορίζουσα είναι $0$ και τα διανύσματα θεωρούνται παράλληλα.)

Η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο αν αλλάξουμε τη σειρά: $\det(\vec{\beta}, \vec{\alpha}) = -\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta})$ .

$\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

Ήξερες ότι;

Οι ορίζουσες εμφανίστηκαν σχεδόν ταυτόχρονα σε δύο άκρες του κόσμου: στην Ιαπωνία από τον Seki Takakazu (1683) και στην Ευρώπη από τον Leibniz (1693), χωρίς ο ένας να ξέρει τον άλλον. Σήμερα κάθε πρόγραμμα γραφικών τις χρησιμοποιεί για να καταλάβει αν ένα σημείο είναι «αριστερά» ή «δεξιά» μιας ευθείας.

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η ορίζουσα $\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta})$ για $\vec{\alpha} = (3, -1)$ και $\vec{\beta} = (2, 4)$ ;

Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

Έστω $\vec{\alpha} = (x, y)$ με $x \ne 0$ και $\varphi$ η γωνία που σχηματίζει το $\vec{\alpha}$ με τον άξονα $x'x$ ( $0 \le \varphi < \pi$ , μετρημένη από τον θετικό ημιάξονα $Ox$ αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού). Ο αριθμός

$\lambda = \frac{y}{x} = \text{εφ}\,\varphi$

λέγεται συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{\alpha}$ (θυμήσου την εφαπτομένη γωνίας).

Αν $y = 0$ : $\lambda = 0$ , το $\vec{\alpha}$ είναι παράλληλο στον $x'x$ .
Αν $x = 0$ : το $\vec{\alpha}$ είναι παράλληλο στον $y'y$ και δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης.
Για διανύσματα με συντελεστές $\lambda_1$ , $\lambda_2$ : $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \lambda_1 = \lambda_2$ .

$\lambda = \frac{y}{x} = \text{εφ}\,\varphi \qquad (x \ne 0)$

Κόλπο μνήμης

Ορίζουσα = «χιαστί»: γράψε τα διανύσματα το ένα κάτω από το άλλο και πολλαπλασίασε σταυρωτά — κύρια διαγώνιος μείον δευτερεύουσα: $x_1 y_2 - x_2 y_1$ . Για το $\lambda = \frac{y}{x}$ θυμήσου την πινακίδα: «πάνω προς πλάι» — το $y$ (ανέβασμα) στον αριθμητή.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{\alpha} = (-2, 6)$ ;

Μέθοδος: παραλληλία και συνευθειακότητα με συντεταγμένες

Παράλληλα διανύσματα: γράψε $\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 0$ και λύσε ως προς την παράμετρο.
Ομόρροπα ή αντίρροπα; Για κάθε λύση υπολόγισε τα διανύσματα και βρες $\lambda$ με $\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ : $\lambda > 0$ ομόρροπα, $\lambda < 0$ αντίρροπα.
Συνευθειακά σημεία $A, B, \Gamma$ : υπολόγισε $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ και έλεγξε $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = 0$ .
Γωνία με τον $x'x$ : βρες $\lambda = \frac{y}{x}$ και τη γωνία $\varphi \in [0, \pi)$ με $\text{εφ}\,\varphi = \lambda$ .

Παράδειγμα 1: Είναι παράλληλα τα $\vec{\alpha} = (2, -3)$ και $\vec{\beta} = (-4, 6)$ ;

Λύση: $\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 2 \cdot 6 - (-4)(-3) = 12 - 12 = 0$ , άρα παράλληλα. Μάλιστα $\vec{\beta} = -2\vec{\alpha}$ , οπότε είναι αντίρροπα και $|\vec{\beta}| = 2|\vec{\alpha}|$ .

Παράδειγμα 2: Είναι συνευθειακά τα σημεία $A(1, 2)$ , $B(3, 6)$ και $\Gamma(-1, -2)$ ;

Λύση: $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$ και $\overrightarrow{A\Gamma} = (-2, -4)$ .

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = 2 \cdot (-4) - (-2) \cdot 4 = -8 + 8 = 0$

Άρα είναι συνευθειακά. Επειδή $\overrightarrow{A\Gamma} = -\overrightarrow{AB}$ , το $A$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ .

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν με τον $x'x$ τα $\vec{\alpha} = (\sqrt{3}, 3)$ και $\vec{\beta} = (-1, 1)$ .

Λύση:

$\lambda_\alpha = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ , άρα $\text{εφ}\,\varphi = \sqrt{3}$ και $\varphi = 60^\circ$ .
$\lambda_\beta = \frac{1}{-1} = -1$ , άρα $\text{εφ}\,\varphi = -1$ με $\varphi \in [0^\circ, 180^\circ)$ : $\varphi = 135^\circ$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha} = (\mu - 1, 2)$ και $\vec{\beta} = (3, \mu)$ , $\mu \in \mathbb{R}$ .

(α) Για ποιες τιμές του $\mu$ είναι $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta}$ ;

(β) Για ποια από αυτές είναι ομόρροπα;

(γ) Για την τιμή του (β) να βρεθεί η γωνία του $\vec{\alpha}$ με τον $x'x$ .

Λύση:

(α) $\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = (\mu - 1)\mu - 3 \cdot 2 = \mu^2 - \mu - 6 = 0$ . Τριώνυμο με ρίζες $\mu = 3$ ή $\mu = -2$ .

(β) Για $\mu = 3$ : $\vec{\alpha} = (2, 2)$ , $\vec{\beta} = (3, 3) = \frac{3}{2}\vec{\alpha}$ — ομόρροπα. Για $\mu = -2$ : $\vec{\alpha} = (-3, 2)$ , $\vec{\beta} = (3, -2) = -\vec{\alpha}$ — αντίρροπα. Άρα $\mu = 3$ .

(γ) $\vec{\alpha} = (2, 2)$ , $\lambda = 1$ , οπότε $\varphi = 45^\circ$ .

Γρήγορος έλεγχος

Το διάνυσμα $\vec{\alpha} = (0, 5)$ :

Γρήγορος έλεγχος

Ένα διάνυσμα σχηματίζει με τον άξονα $x'x$ γωνία $135^\circ$ . Ο συντελεστής διεύθυνσής του είναι:

Πρόκληση

Για ποιες τιμές του $\kappa$ τα σημεία $A(\kappa, 2)$ , $B(2, \kappa)$ , $\Gamma(4, -2)$ είναι τρία διαφορετικά συνευθειακά σημεία;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$\overrightarrow{AB} = (2 - \kappa,\ \kappa - 2)$ , $\overrightarrow{A\Gamma} = (4 - \kappa,\ -4)$ .

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = (2 - \kappa)(-4) - (\kappa - 2)(4 - \kappa) = 4(\kappa - 2) - (\kappa - 2)(4 - \kappa)$

Βγάζοντας κοινό παράγοντα: $(\kappa - 2)\big(4 - (4 - \kappa)\big) = \kappa(\kappa - 2)$ .

Η ορίζουσα μηδενίζεται για $\kappa = 0$ ή $\kappa = 2$ . Όμως για $\kappa = 2$ είναι $A(2, 2) = B(2, 2)$ : τα σημεία συμπίπτουν και δεν έχουμε τρία διαφορετικά σημεία — η λύση απορρίπτεται.

Για $\kappa = 0$ : $A(0, 2)$ , $B(2, 0)$ , $\Gamma(4, -2)$ , που βρίσκονται όλα στην ευθεία $y = 2 - x$ ✓

Απάντηση: $\kappa = 0$ . Το ηθικό δίδαγμα: η ορίζουσα μηδενίζεται και όταν ένα διάνυσμα είναι $\vec{0}$ — πάντα έλεγχε τις λύσεις σου.

Συνηθισμένα λάθη

Ανάποδο πηλίκο. $\lambda = \frac{y}{x}$ (τεταγμένη προς τετμημένη), όχι $\frac{x}{y}$ .
Κατακόρυφο με $\lambda = 0$ . Για $x = 0$ ο συντελεστής δεν ορίζεται· $\lambda = 0$ έχουν τα οριζόντια.
« $\det = 0$ ⇒ ομόρροπα». Η ορίζουσα λέει μόνο «παράλληλα»· για τη φορά βρες το $\lambda$ στο $\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ .
Πρόσημα στην ορίζουσα. Γράψε πρώτα $x_1 y_2 - x_2 y_1$ με παρενθέσεις στους αρνητικούς.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$ και $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 0$ .
$A, B, \Gamma$ συνευθειακά $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = 0$ .
Συντελεστής διεύθυνσης: $\lambda = \frac{y}{x} = \text{εφ}\,\varphi$ για $x \ne 0$ · για $x = 0$ δεν ορίζεται.
Διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης: $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \lambda_1 = \lambda_2$ .

Συνθήκη παραλληλίας με συντεταγμένες

Για

\vec{\alpha} = (x_1, y_1)

και

\vec{\beta} = (x_2, y_2)

ορίζουμε την ορίζουσα

\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1

Θεώρημα.

\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \det(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = 0

Γιατί: Έστω

\vec{\beta} \ne \vec{0}

και

\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}

. Τότε

x_1 = \lambda x_2

y_1 = \lambda y_2

, οπότε

x_1 y_2 - x_2 y_1 = \lambda x_2 y_2 - \lambda x_2 y_2 = 0

. Αντίστροφα, αν η ορίζουσα μηδενίζεται, οι συντεταγμένες είναι ανάλογες: το ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. (Αν

\vec{\beta} = \vec{0}

η ορίζουσα είναι

0

και τα διανύσματα θεωρούνται παράλληλα.)

Η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο αν αλλάξουμε τη σειρά:

\det(\vec{\beta}, \vec{\alpha}) = -\det(\vec{\alpha}, \vec{\beta})