🔺

Απόσταση Σημείου από Ευθεία & Εμβαδόν Τριγώνου

Τύπος απόστασης, απόσταση παράλληλων ευθειών, εμβαδόν με ορίζουσα, συνευθειακά σημεία

Ποιος είναι ο πιο γρήγορος δρόμος προς τον δρόμο;

Βρίσκεσαι στη μέση ενός χωραφιού και θέλεις να φτάσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται σε έναν ευθύ δρόμο. Η απάντηση: περπάτα κάθετα προς αυτόν. Με τον τύπο της απόστασης υπολογίζεις αυτό το μήκος χωρίς να βρεις το ίχνος της καθέτου — και με μια ορίζουσα βρίσκεις το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου από τις συντεταγμένες των κορυφών του.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση ενός σημείου $M_0(x_0, y_0)$ από την ευθεία $\varepsilon: Ax + By + \Gamma = 0$ είναι το μήκος του κάθετου τμήματος από το $M_0$ στην $\varepsilon$ . Δεν χρειάζεται να βρεις το ίχνος της καθέτου: ο τύπος τη δίνει κατευθείαν (η απόδειξη είναι εκτός ύλης):

$d(M_0, \varepsilon) = \frac{|Ax_0 + By_0 + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Κόλπο μνήμης

Ο τύπος της απόστασης σε τρία βήματα — «βάλε, απόλυτο, διαίρεσε»: βάλε το σημείο στο πρώτο μέλος της $Ax + By + \Gamma = 0$ , πάρε απόλυτη τιμή, διαίρεσε με το μέτρο του κάθετου διανύσματος $(A, B)$ , δηλαδή με $\sqrt{A^2 + B^2}$ .

Παρατηρήσεις:

Η ευθεία πρέπει να είναι γραμμένη σε γενική μορφή — η $y = 2x + 1$ γίνεται πρώτα $2x - y + 1 = 0$ .
Αν $M_0 \in \varepsilon$ , ο αριθμητής μηδενίζεται και $d = 0$ .
Ειδικά, η απόσταση της αρχής $O$ από την ευθεία είναι $\frac{|\Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .
Απόσταση παράλληλων ευθειών: παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο της μίας και βρίσκουμε την απόστασή του από την άλλη. Για $Ax + By + \Gamma_1 = 0$ και $Ax + By + \Gamma_2 = 0$ (ίδια $A$ , $B$ ) προκύπτει $d = \dfrac{|\Gamma_1 - \Gamma_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η απόσταση της αρχής $O$ από την ευθεία $5x - 12y + 26 = 0$ ;

Εμβαδόν τριγώνου

Για τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύει (η απόδειξη είναι εκτός ύλης):

$(AB\Gamma) = \frac{1}{2}\left|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma})\right|$

Ήξερες ότι;

Η γενίκευση του τύπου εμβαδού με ορίζουσες σε οποιοδήποτε πολύγωνο λέγεται «τύπος των κορδονιών» (shoelace formula), επειδή οι σταυρωτοί πολλαπλασιασμοί των συντεταγμένων μοιάζουν με κορδόνια παπουτσιού. Είναι γνωστός και ως «τύπος εμβαδού του Gauss» και τον χρησιμοποιούν τοπογράφοι και λογισμικά χαρτογράφησης για να υπολογίζουν εκτάσεις οικοπέδων από τις συντεταγμένες των ορίων τους.

Αν $\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1)$ και $\overrightarrow{A\Gamma} = (x_2, y_2)$ , τότε $(AB\Gamma) = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ . Η απόλυτη τιμή χρειάζεται γιατί η ορίζουσα μπορεί να είναι αρνητική (αν αλλάξουμε σειρά).

Τα $A, B, \Gamma$ είναι συνευθειακά $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = 0 \iff$ «εμβαδόν» $0$ .
Εναλλακτικά, με βάση και ύψος: $(AB\Gamma) = \frac{1}{2}(B\Gamma) \cdot d(A, B\Gamma)$ — ο κλασικός τύπος εμβαδού.
Εμβαδόν παραλληλογράμμου $AB\Gamma\Delta$ : $|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Delta})|$ (διπλάσιο του τριγώνου).

Μέθοδος

Απόσταση: φέρε την ευθεία σε μορφή $Ax + By + \Gamma = 0$ , αντικατάστησε τις συντεταγμένες του σημείου στον αριθμητή, απόλυτη τιμή, διαίρεσε με $\sqrt{A^2 + B^2}$ .
Εμβαδόν: υπολόγισε δύο διανύσματα με κοινή αρχή (π.χ. $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ ), την ορίζουσα, πάρε απόλυτη τιμή και μισό.
Άγνωστο σημείο με δοσμένο εμβαδόν/απόσταση: γράψε το σημείο με παράμετρο (π.χ. $\Gamma(t, t + 1)$ αν ανήκει σε ευθεία) και λύσε την εξίσωση με απόλυτη τιμή — συνήθως δύο λύσεις.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η απόσταση του $M(1, 2)$ από την ευθεία $3x + 4y - 1 = 0$ και από την ευθεία $y = 2x + 5$ .

Λύση: $d_1 = \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$ .

Η δεύτερη σε γενική μορφή: $2x - y + 5 = 0$ . $d_2 = \frac{|2 - 2 + 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $\Gamma(2, 4)$ με δύο τρόπους.

Λύση:

Με ορίζουσα: $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ , $\overrightarrow{A\Gamma} = (1, 3)$ , $\det = 9 - 1 = 8$ , άρα $(AB\Gamma) = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ .

Με βάση–ύψος: $(B\Gamma) = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$ . Η $B\Gamma$ έχει $\lambda = \frac{4 - 2}{2 - 4} = -1$ : $y - 2 = -(x - 4)$ , δηλαδή $x + y - 6 = 0$ . $d(A, B\Gamma) = \frac{|1 + 1 - 6|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ . Άρα $(AB\Gamma) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4$ ✓

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η απόσταση των παράλληλων ευθειών $\varepsilon_1: 3x - 4y + 2 = 0$ και $\varepsilon_2: 3x - 4y - 8 = 0$ .

Λύση: Σημείο της $\varepsilon_1$ : για $x = 2$ , $6 - 4y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ , άρα $K(2, 2)$ .

$d = d(K, \varepsilon_2) = \frac{|6 - 8 - 8|}{5} = \frac{10}{5} = 2$

Με τον έτοιμο τύπο: $\frac{|2 - (-8)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές $O(0, 0)$ , $A(4, 0)$ , $B(0, 6)$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται τα σημεία $A(2, 3)$ , $B(-1, -1)$ και η ευθεία $\varepsilon: x - y + 1 = 0$ .

(α) Να βρεθεί το μήκος του $AB$ .

(β) Να βρεθούν τα σημεία $\Gamma$ της $\varepsilon$ για τα οποία $(AB\Gamma) = 5$ .

(γ) Πόση είναι η απόσταση καθενός τέτοιου $\Gamma$ από την ευθεία $AB$ ;

Λύση:

(α) $\overrightarrow{AB} = (-3, -4)$ , $(AB) = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

(β) Κάθε σημείο της $\varepsilon$ είναι της μορφής $\Gamma(t, t + 1)$ . Τότε $\overrightarrow{A\Gamma} = (t - 2, t - 2)$ και

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = (-3)(t - 2) - (t - 2)(-4) = (t - 2)(-3 + 4) = t - 2$

$(AB\Gamma) = \frac{1}{2}|t - 2| = 5 \iff |t - 2| = 10 \iff t = 12$ ή $t = -8$ . Άρα $\Gamma_1(12, 13)$ , $\Gamma_2(-8, -7)$ .

Έλεγχος για $\Gamma_1$ : $\overrightarrow{A\Gamma_1} = (10, 10)$ , $\det = -30 + 40 = 10$ , εμβαδόν $5$ ✓

(γ) Από $(AB\Gamma) = \frac{1}{2}(AB) \cdot d$ : $5 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot d$ , άρα $d = 2$ για καθένα.

Γρήγορος έλεγχος

Αν για τα σημεία $A, B, \Gamma$ ισχύει $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}) = 0$ , τότε:

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η απόσταση των παράλληλων ευθειών $x + y - 1 = 0$ και $x + y + 3 = 0$ ;

Πρόκληση

Ένας φάρος πρέπει να απέχει ίσες αποστάσεις από δύο ευθείες ακτές, $\varepsilon_1: 3x - 4y + 1 = 0$ και $\varepsilon_2: 4x + 3y - 7 = 0$ . Πού μπορεί να τοποθετηθεί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ένα σημείο $M(x, y)$ ισαπέχει από τις δύο ευθείες όταν

$\frac{|3x - 4y + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|4x + 3y - 7|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \iff |3x - 4y + 1| = |4x + 3y - 7|$

δηλαδή $3x - 4y + 1 = \pm(4x + 3y - 7)$ :

Με $+$ : $-x - 7y + 8 = 0$ , δηλαδή $x + 7y - 8 = 0$ .
Με $-$ : $3x - 4y + 1 = -4x - 3y + 7$ , δηλαδή $7x - y - 6 = 0$ .

Το σύνολο των θέσεων δεν είναι ένα σημείο, αλλά δύο ευθείες: οι διχοτόμοι των γωνιών των ακτών. Έλεγχος: οι $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ τέμνονται στο $(1, 1)$ (αφού $3 - 4 + 1 = 0$ και $4 + 3 - 7 = 0$ ) και οι δύο διχοτόμοι περνούν από αυτό ( $1 + 7 - 8 = 0$ , $7 - 1 - 6 = 0$ ) ✓. Επιπλέον $(1, 7) \cdot (7, -1) = 0$ : οι διχοτόμοι είναι κάθετες, όπως πρέπει.

Συνηθισμένα λάθη

Ευθεία όχι σε γενική μορφή. Στον τύπο της απόστασης η ευθεία πρέπει να είναι $Ax + By + \Gamma = 0$ — πρώτα «μεταφέρεις όλα αριστερά».
Ξεχασμένη απόλυτη τιμή. Απόσταση και εμβαδόν δεν είναι ποτέ αρνητικά· σε εξισώσεις η απόλυτη τιμή δίνει συνήθως δύο λύσεις — μην χάνεις τη μία.
Ξεχασμένο $\frac{1}{2}$ στο εμβαδόν τριγώνου.
Διανύσματα χωρίς κοινή αρχή. Η ορίζουσα $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{\Gamma B})$ δεν δίνει το εμβαδόν — χρειάζεσαι δύο πλευρές από την ίδια κορυφή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$d(M_0, \varepsilon) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ (ευθεία σε γενική μορφή).
Παράλληλες $Ax + By + \Gamma_{1,2} = 0$ : $d = \dfrac{|\Gamma_1 - \Gamma_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .
$(AB\Gamma) = \frac{1}{2}|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma})|$ · μηδέν $\iff$ συνευθειακά.
Εναλλακτικά $(AB\Gamma) = \frac{1}{2} \cdot \text{βάση} \cdot \text{ύψος}$ , με ύψος = απόσταση κορυφής από την ευθεία της βάσης.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Η απόσταση ενός σημείου

M_0(x_0, y_0)

από την ευθεία

\varepsilon: Ax + By + \Gamma = 0

είναι το μήκος του κάθετου τμήματος από το

M_0

στην

\varepsilon

. Δεν χρειάζεται να βρεις το ίχνος της καθέτου: ο τύπος τη δίνει κατευθείαν (η απόδειξη είναι εκτός ύλης):