🪂

Η Παραβολή

Εστία και διευθετούσα, y² = 2px και x² = 2py, ιδιότητες, εφαπτομένη, ανακλαστική ιδιότητα

Γιατί τα δορυφορικά «πιάτα» έχουν αυτό το σχήμα;

Τα σήματα από έναν δορυφόρο φτάνουν σχεδόν παράλληλα. Για να «μαζευτούν» όλα σε έναν μικρό δέκτη, το κάτοπτρο πρέπει να τα στείλει στο ίδιο σημείο. Υπάρχει μόνο μία καμπύλη που το κάνει τέλεια: η παραβολή, με τον δέκτη στην εστία της. Οι προβολείς των αυτοκινήτων κάνουν το αντίστροφο: φως από την εστία βγαίνει σε παράλληλη δέσμη.

Ορισμός

Έστω μια ευθεία $\delta$ και ένα σημείο $E$ εκτός αυτής. Παραβολή με εστία $E$ και διευθετούσα $\delta$ λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το $E$ και την $\delta$ :

$M \in C \iff (ME) = d(M, \delta)$

Η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα συμβολίζεται $|p|$ .

Εξίσωση $y^2 = 2px$

Διάλεξε έξυπνα το σύστημα αξόνων: άξονας $x'x$ η κάθετη από το $E$ στην $\delta$ , αρχή $O$ το μέσο του κάθετου τμήματος. Τότε $E\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ και $\delta: x = -\frac{p}{2}$ . Για $M(x, y)$ :

$\sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x + \frac{p}{2}\right| \iff x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4} \iff y^2 = 2px$

Σύρε το M πάνω στην παραβολή: η απόσταση από την εστία μένει ίση με την απόσταση από τη διευθετούσα.

$C:\ y^2 = 2px, \qquad E\left(\frac{p}{2}, 0\right), \qquad \delta:\ x = -\frac{p}{2}$

Κόλπο μνήμης

«Το τετράγωνο δείχνει τη συμμετρία, ο πρώτος βαθμός το άνοιγμα». Στην $y^2 = 2px$ το $y$ είναι στο τετράγωνο → συμμετρική ως προς τον $x'x$ , και ανοίγει προς τη μεριά του $x$ (δεξιά αν $p > 0$ ). Για εστία και διευθετούσα: «μισό $p$ , μπρος και πίσω» — $E\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ και $\delta: x = -\frac{p}{2}$ .

Αν η εστία είναι στον άξονα $y'y$ , με $E\left(0, \frac{p}{2}\right)$ και $\delta: y = -\frac{p}{2}$ , η εξίσωση είναι

$x^2 = 2py$

Η γνωστή παραβολή $y = \alpha x^2$ είναι αυτής της μορφής: $x^2 = \frac{1}{\alpha}y$ , άρα $2p = \frac{1}{\alpha}$ και εστία $\left(0, \frac{1}{4\alpha}\right)$ .

Ήξερες ότι;

Η Ολυμπιακή Φλόγα ανάβει στην Αρχαία Ολυμπία με τις ακτίνες του ήλιου: η «πρωθιέρεια» της τελετής τις συγκεντρώνει με ένα κοίλο παραβολικό κάτοπτρο στην εστία του, όπου η θερμοκρασία γίνεται αρκετή για να ανάψει ο πυρσός. Και η ίδια η λέξη «εστία» σημαίνει αρχικά τη φωτιά του σπιτιού — ο Kepler διάλεξε για τον όρο το λατινικό focus, που σημαίνει ακριβώς «τζάκι».

Ιδιότητες της $y^2 = 2px$

Είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $x'x$ (αν $(x, y) \in C$ τότε και $(x, -y) \in C$ ) — ο $x'x$ λέγεται άξονας της παραβολής.
Η αρχή $O$ λέγεται κορυφή.
Αν $p > 0$ , η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο $x \ge 0$ («ανοίγει» προς τα δεξιά)· αν $p < 0$ , στο $x \le 0$ .
Για σημείο $M(x_1, y_1)$ της παραβολής, από τον ορισμό: $(ME) = d(M, \delta) = \left|x_1 + \frac{p}{2}\right|$ — η απόσταση από την εστία βρίσκεται χωρίς ρίζες.

Ανάλογα, η $x^2 = 2py$ είναι συμμετρική ως προς τον $y'y$ και ανοίγει προς τα πάνω για $p > 0$ , προς τα κάτω για $p < 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η εστία της παραβολής $y^2 = 12x$ ;

Εφαπτομένη παραβολής

Η εφαπτομένη της $y^2 = 2px$ στο σημείο της $A(x_1, y_1)$ είναι (η απόδειξη είναι εκτός ύλης):

$yy_1 = p(x + x_1)$

και της $x^2 = 2py$ στο $A(x_1, y_1)$ : $xx_1 = p(y + y_1)$ .

Ανακλαστική ιδιότητα: η κάθετη στην εφαπτομένη στο $M$ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η $ME$ και η ημιευθεία από το $M$ παράλληλη προς τον άξονα. Γι' αυτό ακτίνες παράλληλες στον άξονα ανακλώνται και περνούν όλες από την εστία — η αρχή των δορυφορικών κατόπτρων και των προβολέων αυτοκινήτων.

$y^2 = 2px:\ yy_1 = p(x + x_1), \qquad x^2 = 2py:\ xx_1 = p(y + y_1)$

Μέθοδος: ασκήσεις παραβολής

Διάβασε το $p$ : σύγκρινε με $y^2 = 2px$ ή $x^2 = 2py$ — ο συντελεστής είναι το $2p$ , όχι το $p$ .
Εστία–διευθετούσα: στον άξονα της μεταβλητής που δεν είναι στο τετράγωνο, στις θέσεις $\pm\frac{p}{2}$ .
Απόσταση σημείου από την εστία: χρησιμοποίησε τον ορισμό, $(ME) = \left|x_1 + \frac{p}{2}\right|$ (ή $\left|y_1 + \frac{p}{2}\right|$ ).
Εφαπτομένη: έλεγξε ότι το σημείο ανήκει στην παραβολή και εφάρμοσε τον τύπο «διπλασιασμού».

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν εστία και διευθετούσα της $y^2 = 8x$ , και η εξίσωση της παραβολής με εστία $E(0, -3)$ και κορυφή το $O$ .

Λύση:

$2p = 8 \Rightarrow p = 4$ : εστία $E(2, 0)$ , διευθετούσα $x = -2$ .
Εστία στον $y'y$ ⇒ μορφή $x^2 = 2py$ με $\frac{p}{2} = -3$ , δηλαδή $p = -6$ : $x^2 = -12y$ (ανοίγει προς τα κάτω), με διευθετούσα $y = 3$ .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η εφαπτομένη της $y^2 = 4x$ στο σημείο της $A(1, 2)$ .

Λύση: Έλεγχος: $2^2 = 4 \cdot 1$ ✓. Με $2p = 4$ , $p = 2$ :

$y \cdot 2 = 2(x + 1) \Rightarrow y = x + 1$

Επαλήθευση επαφής: αντικαθιστώντας $x = y - 1$ στην παραβολή, $y^2 = 4y - 4 \Rightarrow (y - 2)^2 = 0$ — διπλή ρίζα, άρα ένα μόνο κοινό σημείο ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η διευθετούσα της παραβολής $x^2 = -8y$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η παραβολή $C: y^2 = 4x$ .

(α) Να βρεθούν η εστία $E$ και η διευθετούσα $\delta$ .

(β) Να βρεθούν τα σημεία $M$ της $C$ με $(ME) = 5$ .

(γ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C$ στο σημείο $M$ του (β) με θετική τεταγμένη και το σημείο $T$ όπου τέμνει τον $x'x$ .

(δ) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $ETM$ είναι ισοσκελές.

Λύση:

(α) $p = 2$ : $E(1, 0)$ , $\delta: x = -1$ .

(β) Από τον ορισμό $(ME) = x + 1 = 5$ (εδώ $x \ge 0$ ), άρα $x = 4$ και $y^2 = 16$ : $M_1(4, 4)$ , $M_2(4, -4)$ .

(γ) Στο $M(4, 4)$ : $4y = 2(x + 4)$ , δηλαδή $y = \frac{1}{2}x + 2$ . Για $y = 0$ : $x = -4$ , άρα $T(-4, 0)$ .

(δ) $(ET) = |1 - (-4)| = 5 = (EM)$ . Άρα το $ETM$ είναι ισοσκελές, οπότε $\widehat{ETM} = \widehat{EMT}$ — από εδώ προκύπτει η ανακλαστική ιδιότητα (η $MT$ σχηματίζει ίσες γωνίες με την $ME$ και με την παράλληλη προς τον άξονα).

Γρήγορος έλεγχος

Το σημείο $M$ της παραβολής $y^2 = 8x$ έχει τετμημένη $3$ . Πόση είναι η απόστασή του από την εστία;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η εφαπτομένη της $y^2 = 2x$ στο σημείο της $A(2, 2)$ ;

Πρόκληση

Ποιο σημείο της παραβολής $y^2 = 4x$ είναι πιο κοντά στην ευθεία $\varepsilon: x - y + 3 = 0$ , και πόση είναι αυτή η ελάχιστη απόσταση;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ένα σημείο της παραβολής γράφεται $M\left(\frac{t^2}{4}, t\right)$ , $t \in \mathbb{R}$ . Η απόστασή του από την $\varepsilon$ είναι

$d(M, \varepsilon) = \frac{\left|\frac{t^2}{4} - t + 3\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\frac{(t - 2)^2}{4} + 2\right|}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{(t - 2)^2}{4} + 2}{\sqrt{2}}$

γιατί $\frac{t^2}{4} - t + 3 = \frac{t^2 - 4t + 4}{4} + 2$ , που είναι πάντα θετικό. Η απόσταση γίνεται ελάχιστη όταν $(t - 2)^2 = 0$ , δηλαδή $t = 2$ : σημείο $M(1, 2)$ και

$d_{\min} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Γεωμετρική ματιά: η εφαπτομένη στο $M(1, 2)$ είναι $2y = 2(x + 1)$ , δηλαδή $y = x + 1$ , με $\lambda = 1$ — παράλληλη στην $\varepsilon$ . Στο πλησιέστερο σημείο η καμπύλη «κοιτάζει» την ευθεία παράλληλα!

Συνηθισμένα λάθη

$p$ αντί για $2p$ . Στην $y^2 = 8x$ είναι $p = 4$ , όχι $8$ · η εστία είναι στο $\frac{p}{2} = 2$ .
Λάθος άξονας. Με $y^2$ η εστία είναι στον $x'x$ · με $x^2$ στον $y'y$ .
Διευθετούσα από την ίδια μεριά. Εστία και διευθετούσα είναι πάντα εκατέρωθεν της κορυφής.
Τύπος εφαπτομένης με $2p$ . Σωστά $yy_1 = p(x + x_1)$ · και μόνο για σημείο της παραβολής.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Παραβολή: σημεία με $(ME) = d(M, \delta)$ .
$y^2 = 2px$ : $E\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ , $\delta: x = -\frac{p}{2}$ · $x^2 = 2py$ : $E\left(0, \frac{p}{2}\right)$ , $\delta: y = -\frac{p}{2}$ .
Άξονας συμμετρίας ο άξονας της εστίας, κορυφή το $O$ · $(ME) = \left|x_1 + \frac{p}{2}\right|$ .
Εφαπτομένη: $yy_1 = p(x + x_1)$ ή $xx_1 = p(y + y_1)$ .
Ανακλαστική ιδιότητα: ακτίνες παράλληλες στον άξονα περνούν από την εστία.

Ορισμός

Έστω μια ευθεία

\delta

και ένα σημείο

E

εκτός αυτής. Παραβολή με εστία

E

και διευθετούσα

\delta

λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το

E

και την

\delta

M \in C \iff (ME) = d(M, \delta)

Η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα συμβολίζεται

|p|

Εξίσωση

y^2 = 2px

Διάλεξε έξυπνα το σύστημα αξόνων: άξονας

x'x

η κάθετη από το

E

στην

\delta

, αρχή

O

το μέσο του κάθετου τμήματος. Τότε

E\left(\frac{p}{2}, 0\right)

και

\delta: x = -\frac{p}{2}

. Για

M(x, y)

\sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x + \frac{p}{2}\right| \iff x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4} \iff y^2 = 2px

Η Παραβολή

Γιατί τα δορυφορικά «πιάτα» έχουν αυτό το σχήμα;

Ορισμός

Εξίσωση y2=2pxy^2 = 2pxy2=2px

Ιδιότητες της y2=2pxy^2 = 2pxy2=2px

Εφαπτομένη παραβολής

Μέθοδος: ασκήσεις παραβολής

Η Παραβολή

Γιατί τα δορυφορικά «πιάτα» έχουν αυτό το σχήμα;

Ορισμός

Εξίσωση y2=2pxy^2 = 2pxy2=2px

Ιδιότητες της y2=2pxy^2 = 2pxy2=2px

Εφαπτομένη παραβολής

Μέθοδος: ασκήσεις παραβολής

Εξίσωση $y^2 = 2px$

Ιδιότητες της $y^2 = 2px$

Εξίσωση $y^2 = 2px$

Ιδιότητες της $y^2 = 2px$