📍

Συντεταγμένες στο Επίπεδο

Συντεταγμένες σημείου και διανύσματος, πράξεις, μέσο τμήματος, μέτρο και απόσταση σημείων

Πώς «βλέπει» ένα βιντεοπαιχνίδι τον κόσμο;

Κάθε χαρακτήρας σε μια οθόνη είναι απλώς ένα ζευγάρι αριθμών $(x, y)$ . Κάθε κίνησή του είναι ένα διάνυσμα που προστίθεται στη θέση του, ξανά και ξανά, δεκάδες φορές το δευτερόλεπτο. Οι συντεταγμένες κάνουν τη γεωμετρία αριθμητική: αντί για χάρακα και διαβήτη, λύνεις με πράξεις.

Καρτεσιανό σύστημα και συντεταγμένες

Σε ορθοκανονικό σύστημα $Oxy$ θεωρούμε τα μοναδιαία διανύσματα $\vec{i}$ (στον άξονα $x'x$ ) και $\vec{j}$ (στον $y'y$ ). Κάθε διάνυσμα $\vec{\alpha}$ του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο ως

$\vec{\alpha} = x\vec{i} + y\vec{j}$

Οι αριθμοί $x$ , $y$ λέγονται συντεταγμένες του $\vec{\alpha}$ και γράφουμε $\vec{\alpha} = (x, y)$ : $x$ η τετμημένη, $y$ η τεταγμένη.

Και τα σημεία; Ένα σημείο $A$ έχει τις ίδιες συντεταγμένες με το διάνυσμα θέσης του $\overrightarrow{OA}$ , και γράφουμε $A(x, y)$ .

Συμμετρικά σημεία του $A(x, y)$ : ως προς τον $x'x$ το $(x, -y)$ , ως προς τον $y'y$ το $(-x, y)$ , ως προς την αρχή $O$ το $(-x, -y)$ , ως προς τη διχοτόμο $y = x$ το $(y, x)$ .

Ήξερες ότι;

Ο René Descartes δημοσίευσε τη «La Géométrie» το 1637, ως παράρτημα του περίφημου «Λόγου περί της μεθόδου». Εκεί ένωσε την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία — γι' αυτό λέμε «καρτεσιανές συντεταγμένες». Ο Pierre de Fermat είχε φτάσει ανεξάρτητα σε ανάλογες ιδέες την ίδια εποχή· οι σημερινοί δύο κάθετοι άξονες καθιερώθηκαν αργότερα.

Πράξεις με συντεταγμένες

Αν $\vec{\alpha} = (x_1, y_1)$ και $\vec{\beta} = (x_2, y_2)$ :

Ισότητα: $\vec{\alpha} = \vec{\beta} \iff x_1 = x_2$ και $y_1 = y_2$
Άθροισμα: $\vec{\alpha} + \vec{\beta} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2)$
Γινόμενο με αριθμό: $\lambda\vec{\alpha} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$
Γραμμικός συνδυασμός: $\kappa\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta} = (\kappa x_1 + \lambda x_2,\ \kappa y_1 + \lambda y_2)$

Δηλαδή όλες οι πράξεις γίνονται συντεταγμένη προς συντεταγμένη.

Μετακίνησε τα διανύσματα και έλεγξε ότι οι συντεταγμένες του α+β είναι το άθροισμα των συντεταγμένων τους.

Διάνυσμα με γνωστά άκρα και μέσο τμήματος

Για $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ , από $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ και $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$ :

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1), \qquad M\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Γρήγορος έλεγχος

Για $A(2, -1)$ και $B(-4, 3)$ , το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ είναι:

Μέτρο διανύσματος και απόσταση σημείων

Αν $\vec{\alpha} = (x, y)$ , το $\vec{\alpha}$ είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $|x|$ και $|y|$ , οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$|\vec{\alpha}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad (AB) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Κόλπο μνήμης

Η απόσταση δύο σημείων είναι απλώς Πυθαγόρειο θεώρημα: η οριζόντια διαφορά $x_2 - x_1$ και η κατακόρυφη $y_2 - y_1$ είναι οι δύο κάθετες πλευρές, και το $(AB)$ η υποτείνουσα. Και το μέσο; Ο μέσος όρος των $x$ και ο μέσος όρος των $y$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το μέτρο του διανύσματος $\vec{\alpha} = (-3, 4)$ ;

Μέθοδος: προβλήματα με συντεταγμένες

Γράψε τα διανύσματα που χρειάζεσαι ως πέρας μείον αρχή.
Για άγνωστο σημείο $\Delta(x, y)$ γράψε τη διανυσματική σχέση (π.χ. $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma}$ ) και εξίσωσε συντεταγμένες — παίρνεις σύστημα.
Για ισότητες αποστάσεων χρησιμοποίησε τα τετράγωνα των αποστάσεων για να φύγουν οι ρίζες.
Έλεγξε το αποτέλεσμα (π.χ. ότι τα μέσα των διαγωνίων συμπίπτουν σε παραλληλόγραμμο).

Παράδειγμα 1: Για $A(1, -2)$ και $B(5, 4)$ να βρεθούν το $\overrightarrow{AB}$ , το μέσο $M$ του $AB$ και η απόσταση $(AB)$ .

Λύση:

$\overrightarrow{AB} = (5 - 1,\ 4 - (-2)) = (4, 6)$
$M\left(\frac{1 + 5}{2},\ \frac{-2 + 4}{2}\right) = (3, 1)$
$(AB) = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Παράδειγμα 2: Δίνονται $\vec{\alpha} = (2, -1)$ και $\vec{\beta} = (-1, 3)$ . (α) Να βρεθεί το $3\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}$ . (β) Να γραφεί το $\vec{\gamma} = (1, 7)$ ως γραμμικός συνδυασμός των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ .

Λύση:

(α) $3\vec{\alpha} - 2\vec{\beta} = (6, -3) - (-2, 6) = (8, -9)$ .

(β) Ζητάμε $\kappa, \lambda$ με $\kappa\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta} = \vec{\gamma}$ , δηλαδή $(2\kappa - \lambda,\ -\kappa + 3\lambda) = (1, 7)$ :

$\begin{cases} 2\kappa - \lambda = 1 \\ -\kappa + 3\lambda = 7 \end{cases}$

Από την πρώτη $\lambda = 2\kappa - 1$ · αντικαθιστώντας, $-\kappa + 6\kappa - 3 = 7 \Rightarrow \kappa = 2$ και $\lambda = 3$ . Άρα $\vec{\gamma} = 2\vec{\alpha} + 3\vec{\beta}$ .

Έλεγχος: $2(2, -1) + 3(-1, 3) = (4 - 3,\ -2 + 9) = (1, 7)$ ✓

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί σημείο $P$ του άξονα $x'x$ που ισαπέχει από τα $A(1, 3)$ και $B(5, 1)$ .

Λύση: Έστω $P(x, 0)$ . Από $(PA)^2 = (PB)^2$ :

$(x - 1)^2 + 9 = (x - 5)^2 + 1 \Rightarrow x^2 - 2x + 10 = x^2 - 10x + 26 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2$

Άρα $P(2, 0)$ . Έλεγχος: $(PA)^2 = 1 + 9 = 10$ και $(PB)^2 = 9 + 1 = 10$ ✓

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται τα σημεία $A(-1, 2)$ , $B(3, -2)$ και $\Gamma(5, 4)$ .

(α) Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου $AM$ του τριγώνου $AB\Gamma$ .

(β) Να βρεθεί σημείο $\Delta$ ώστε το $AB\Gamma\Delta$ να είναι παραλληλόγραμμο.

(γ) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές.

Λύση:

(α) $M\left(\frac{3 + 5}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = (4, 1)$ , $\overrightarrow{AM} = (5, -1)$ , άρα $(AM) = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ .

(β) Θέλουμε $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma} = (2, 6)$ . Με $\Delta(x, y)$ : $(x + 1,\ y - 2) = (2, 6)$ , άρα $\Delta(1, 8)$ . Έλεγχος: μέσο της $A\Gamma$ είναι το $(2, 3)$ και μέσο της $B\Delta$ επίσης $\left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 8}{2}\right) = (2, 3)$ ✓

(γ) $(AB) = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = 4\sqrt{2}$ , $(A\Gamma) = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$ , $(B\Gamma) = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$ . Αφού $(A\Gamma) = (B\Gamma)$ , το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το $\Gamma$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το μέσο του τμήματος με άκρα $A(-2, 5)$ και $B(6, -1)$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το συμμετρικό του σημείου $(3, -2)$ ως προς τον άξονα $y'y$ ;

Πρόκληση

Δίνονται τα σημεία $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $\Gamma(5, 5)$ . Βρες όλα τα σημεία $\Delta$ ώστε τα τέσσερα σημεία να είναι κορυφές παραλληλογράμμου. (Υπόδειξη: δεν είναι μόνο ένα!)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Πρώτα, τα $A, B, \Gamma$ δεν είναι συνευθειακά: $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ , $\overrightarrow{A\Gamma} = (4, 4)$ και $3 \cdot 4 - 1 \cdot 4 = 8 \ne 0$ .

Σε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται, άρα τα άκρα κάθε διαγωνίου έχουν το ίδιο άθροισμα συντεταγμένων. Το $\Delta$ είναι απέναντι από μία από τις τρεις κορυφές:

Διαγώνιοι $A\Gamma$ , $B\Delta$ : $\Delta = A + \Gamma - B = (1 + 5 - 4,\ 1 + 5 - 2) = (2, 4)$ .
Διαγώνιοι $B\Gamma$ , $A\Delta$ : $\Delta = B + \Gamma - A = (4 + 5 - 1,\ 2 + 5 - 1) = (8, 6)$ .
Διαγώνιοι $AB$ , $\Gamma\Delta$ : $\Delta = A + B - \Gamma = (1 + 4 - 5,\ 1 + 2 - 5) = (0, -2)$ .

Έλεγχος για το πρώτο: $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ και $\overrightarrow{\Delta\Gamma} = (5 - 2, 5 - 4) = (3, 1)$ ✓

Απάντηση: τρία σημεία, $\Delta(2, 4)$ , $\Delta(8, 6)$ , $\Delta(0, -2)$ — και τα τρία μαζί με τα $A, B, \Gamma$ σχηματίζουν ένα μεγάλο τρίγωνο που έχει τις $A, B, \Gamma$ ως μέσα των πλευρών του!

Συνηθισμένα λάθη

$\overrightarrow{AB}$ = «αρχή μείον πέρας». Σωστό: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$ .
Αρνητικές συντεταγμένες στο τετράγωνο. $(-3)^2 = 9$ , όχι $-9$ · βάζε πάντα παρένθεση.
Μέσο με αφαίρεση. Το μέσο είναι $\frac{x_1 + x_2}{2}$ · το $\frac{x_2 - x_1}{2}$ δίνει το μισό διάνυσμα, όχι σημείο.
Σύγχυση σημείου–διανύσματος. Το $A(2, 3)$ είναι σημείο, το $\overrightarrow{AB} = (2, 3)$ διάνυσμα που μπορεί να ξεκινά από οπουδήποτε.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\vec{\alpha} = x\vec{i} + y\vec{j} = (x, y)$ με μοναδικό τρόπο· σημείο $A(x, y)$ ↔ $\overrightarrow{OA} = (x, y)$ .
Πράξεις κατά συντεταγμένη: $\kappa\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta} = (\kappa x_1 + \lambda x_2,\ \kappa y_1 + \lambda y_2)$ .
$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$ , μέσο $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ .
$|\vec{\alpha}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $(AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

Καρτεσιανό σύστημα και συντεταγμένες

Σε ορθοκανονικό σύστημα

Oxy

θεωρούμε τα μοναδιαία διανύσματα

\vec{i}

(στον άξονα

x'x

) και

\vec{j}

(στον

y'y

). Κάθε διάνυσμα

\vec{\alpha}

του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο ως

\vec{\alpha} = x\vec{i} + y\vec{j}

Οι αριθμοί

x

y

λέγονται συντεταγμένες του

\vec{\alpha}

και γράφουμε

\vec{\alpha} = (x, y)

x

η τετμημένη,

y

η τεταγμένη.

Και τα σημεία; Ένα σημείο

A

έχει τις ίδιες συντεταγμένες με το διάνυσμα θέσης του

\overrightarrow{OA}

, και γράφουμε

A(x, y)

Συμμετρικά σημεία του

A(x, y)

: ως προς τον

x'x

το

(x, -y)

, ως προς τον

y'y

το

(-x, y)

, ως προς την αρχή

O

το

(-x, -y)

, ως προς τη διχοτόμο

y = x

το

(y, x)