🧾

Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

Αx + Βy + Γ = 0, συντελεστής, παράλληλο και κάθετο διάνυσμα, τομή ευθειών, ευθείες με παράμετρο

Μία εξίσωση για όλες τις ευθείες;

Η $y = \lambda x + \beta$ έχει ένα «τυφλό σημείο»: δεν μπορεί να περιγράψει τις κατακόρυφες ευθείες, όπως η $x = 3$ . Ένα πρόγραμμα σχεδίασης όμως θέλει μία μορφή που να δουλεύει παντού, χωρίς εξαιρέσεις. Αυτή είναι η $Ax + By + \Gamma = 0$ : διαβάζεις κατευθείαν από τους συντελεστές κλίση, παράλληλο και κάθετο διάνυσμα.

Το θεώρημα της γενικής μορφής

Θεώρημα. Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

$Ax + By + \Gamma = 0 \quad \text{με } A \ne 0 \text{ ή } B \ne 0$

και, αντίστροφα, κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει ευθεία.

Απόδειξη. Ξεκίνα από τις δύο περιπτώσεις που ήδη ξέρεις. Μια μη κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση $y = \lambda x + \beta$ , δηλαδή $\lambda x + (-1)y + \beta = 0$ (μορφή με $B = -1 \ne 0$ )· μια κατακόρυφη έχει $x = x_0$ , δηλαδή $1 \cdot x + 0 \cdot y - x_0 = 0$ (με $A = 1 \ne 0$ ).

Αντίστροφα, αν $B \ne 0$ η εξίσωση γράφεται $y = -\frac{A}{B}x - \frac{\Gamma}{B}$ (ευθεία με $\lambda = -\frac{A}{B}$ )· αν $B = 0$ , τότε $A \ne 0$ και γράφεται $x = -\frac{\Gamma}{A}$ (κατακόρυφη ευθεία).

Τι «διαβάζουμε» από την $Ax + By + \Gamma = 0$

Αν $B \ne 0$ : συντελεστής διεύθυνσης $\lambda = -\dfrac{A}{B}$ . Αν $B = 0$ : κατακόρυφη.
Αν $A = 0$ (και $B \ne 0$ ): οριζόντια, παράλληλη στον $x'x$ .
Αν $\Gamma = 0$ : διέρχεται από την αρχή $O$ .
Το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ είναι παράλληλο στην ευθεία.
Το διάνυσμα $\vec{n} = (A, B)$ είναι κάθετο στην ευθεία (αφού $\vec{n} \cdot \vec{\delta} = AB - BA = 0$ ).

$\varepsilon: Ax + By + \Gamma = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = -\frac{A}{B}\ (B \ne 0), \qquad \vec{\delta} = (B, -A) \parallel \varepsilon, \qquad \vec{n} = (A, B) \perp \varepsilon$

Κόλπο μνήμης

Κοίτα τους συντελεστές $(A, B)$ : όπως είναι δίνουν διάνυσμα κάθετο στην ευθεία. Αντάλλαξέ τους και άλλαξε ένα πρόσημο, $(B, -A)$ , και παίρνεις διάνυσμα παράλληλο. Π.χ. για $2x - 3y + 6 = 0$ : κάθετο $(2, -3)$ , παράλληλο $(-3, -2)$ ή, ισοδύναμα, $(3, 2)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας $3x + 2y - 1 = 0$ ;

Σχετική θέση δύο ευθειών

Για $\varepsilon_1: A_1x + B_1y + \Gamma_1 = 0$ και $\varepsilon_2: A_2x + B_2y + \Gamma_2 = 0$ :

$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ (ή ταυτίζονται) $\iff \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \iff A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ .
$\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .
Το σημείο τομής δύο τεμνόμενων ευθειών βρίσκεται λύνοντας το γραμμικό σύστημα των εξισώσεών τους.

Ήξερες ότι;

Το 1939 ο φοιτητής George Dantzig έφτασε αργά σε ένα μάθημα, αντέγραψε δύο προβλήματα από τον πίνακα νομίζοντας ότι ήταν εργασία για το σπίτι — και τα έλυσε. Ήταν δύο διάσημα άλυτα προβλήματα της Στατιστικής! Αργότερα (1947) επινόησε τη μέθοδο Simplex, που βρίσκει τη βέλτιστη λύση ανάμεσα σε πάρα πολλούς γραμμικούς περιορισμούς (γενικεύσεις του $Ax + By + \Gamma \le 0$ ) και χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα σε δρομολόγια, αποθήκες και εργοστάσια.

Μέθοδος: ευθείες με παράμετρο

Για εξίσωση όπως $(\mu + 1)x + (\mu - 2)y - 3 = 0$ :

Παριστάνει ευθεία για κάθε $\mu$ ; Έλεγξε ότι οι συντελεστές των $x$ , $y$ δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα.
Ειδικές θέσεις: $B = 0$ ⇒ κατακόρυφη, $A = 0$ ⇒ οριζόντια, $\Gamma = 0$ ⇒ από το $O$ .
Σταθερό σημείο: γράψε την εξίσωση ως $\mu \cdot (\ldots) + (\ldots) = 0$ . Για να ισχύει για κάθε $\mu$ πρέπει να μηδενίζονται και οι δύο παρενθέσεις — λύσε το σύστημα.
Παραλληλία/καθετότητα με δοσμένη ευθεία: χρησιμοποίησε ορίζουσα ή εσωτερικό γινόμενο των κάθετων διανυσμάτων $\vec{n}$ .

Παράδειγμα 1: Για την ευθεία $\varepsilon: 2x - 3y + 6 = 0$ να βρεθούν ο συντελεστής διεύθυνσης, ένα παράλληλο και ένα κάθετο διάνυσμα, και τα σημεία τομής με τους άξονες.

Λύση:

$\lambda = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$ .
Παράλληλο: $\vec{\delta} = (B, -A) = (-3, -2)$ , ή απλούστερα το αντίθετό του $(3, 2)$ , με συντελεστή $\frac{2}{3} = \lambda$ ✓. Κάθετο: $\vec{n} = (A, B) = (2, -3)$ .
Με $x = 0$ : $-3y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2$ , σημείο $(0, 2)$ . Με $y = 0$ : $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$ , σημείο $(-3, 0)$ .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των $2x + y - 5 = 0$ και $x - y - 1 = 0$ και είναι κάθετη στην $3x - 4y + 1 = 0$ .

Λύση: Προσθέτοντας τις εξισώσεις: $3x - 6 = 0$ , άρα $x = 2$ και $y = 1$ . Σημείο τομής $P(2, 1)$ .

Η δοσμένη ευθεία έχει $\lambda = \frac{3}{4}$ , άρα η κάθετη έχει $\lambda = -\frac{4}{3}$ :

$y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 3 = -4x + 8 \Rightarrow 4x + 3y - 11 = 0$

Έλεγχος: $8 + 3 - 11 = 0$ ✓ Επίσης $\vec{n} = (4, 3)$ και $(4, 3) \cdot (3, -4) = 0$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο διάνυσμα είναι παράλληλο στην ευθεία $4x - y + 7 = 0$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται οι εξισώσεις $\varepsilon_\mu: (\mu + 1)x + (\mu - 2)y - 3 = 0$ , $\mu \in \mathbb{R}$ .

(α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $\mu$ παριστάνουν ευθεία.

(β) Για ποια τιμή του $\mu$ η $\varepsilon_\mu$ είναι παράλληλη στον $y'y$ και για ποια στον $x'x$ ;

(γ) Να αποδειχθεί ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο.

Λύση:

(α) Οι συντελεστές $\mu + 1$ και $\mu - 2$ δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα (θα έπρεπε $\mu = -1$ και $\mu = 2$ ). Άρα έχουμε πάντα ευθεία.

(β) Παράλληλη στον $y'y$ : $B = \mu - 2 = 0 \Rightarrow \mu = 2$ , οπότε $3x - 3 = 0$ , δηλαδή $x = 1$ . Παράλληλη στον $x'x$ : $A = \mu + 1 = 0 \Rightarrow \mu = -1$ , οπότε $-3y - 3 = 0$ , δηλαδή $y = -1$ .

(γ) Γράφουμε $\mu(x + y) + (x - 2y - 3) = 0$ . Για να ισχύει για κάθε $\mu$ :

$\begin{cases} x + y = 0 \\ x - 2y - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = -y,\ -3y - 3 = 0 \Rightarrow y = -1,\ x = 1$

Σταθερό σημείο $K(1, -1)$ — συμφωνεί με το (β), αφού οι $x = 1$ και $y = -1$ τέμνονται ακριβώς εκεί.

Γρήγορος έλεγχος

Για ποια τιμή του $\kappa$ οι ευθείες $2x - 3y + 1 = 0$ και $4x + \kappa y - 5 = 0$ είναι παράλληλες;

Γρήγορος έλεγχος

Η ευθεία $Ax + By + \Gamma = 0$ με $A = 0$ και $B \ne 0$ είναι:

Πρόκληση

Δίνεται η οικογένεια ευθειών $\varepsilon_\mu:\ (2\mu - 1)x + (\mu + 1)y - 3\mu = 0$ , $\mu \in \mathbb{R}$ .

(α) Δείξε ότι όλες περνούν από το ίδιο σημείο.

(β) Ποια από αυτές είναι κάθετη στην $x + y = 0$ ;

(γ) Υπάρχει ευθεία από εκείνο το σημείο που δεν ανήκει στην οικογένεια;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Πρώτα, οι συντελεστές $2\mu - 1$ και $\mu + 1$ δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα ( $\mu = \frac{1}{2}$ και $\mu = -1$ αντίστοιχα), άρα κάθε $\varepsilon_\mu$ είναι ευθεία.

(α) Ομαδοποιούμε ως προς $\mu$ : $\mu(2x + y - 3) + (-x + y) = 0$ . Αυτό ισχύει για κάθε $\mu$ όταν $2x + y - 3 = 0$ και $-x + y = 0$ , δηλαδή $x = y = 1$ . Σταθερό σημείο $K(1, 1)$ . Έλεγχος: $(2\mu - 1) + (\mu + 1) - 3\mu = 0$ ✓

(β) Η $x + y = 0$ έχει $\lambda = -1$ , άρα θέλουμε $\lambda_\mu = 1$ . Για $\mu \ne -1$ : $-\frac{2\mu - 1}{\mu + 1} = 1 \iff -2\mu + 1 = \mu + 1 \iff \mu = 0$ . Η ευθεία είναι $-x + y = 0$ , δηλαδή $y = x$ .

(γ) Ναι! Ένα κάθετο διάνυσμα της $\varepsilon_\mu$ είναι το $(2\mu - 1, \mu + 1)$ . Για να είναι παράλληλο στο $(2, 1)$ θα έπρεπε $(2\mu - 1) \cdot 1 - (\mu + 1) \cdot 2 = 0$ , δηλαδή $-3 = 0$ — αδύνατο. Άρα η ευθεία $2x + y - 3 = 0$ , που περνά από το $K$ , λείπει από την οικογένεια. (Η κατακόρυφη $x = 1$ υπάρχει, για $\mu = -1$ .)

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο στο $\lambda$ . $\lambda = -\frac{A}{B}$ , όχι $\frac{A}{B}$ · αν δεν θυμάσαι, λύσε ως προς $y$ .
Κάθετο αντί για παράλληλο διάνυσμα. Το $(A, B)$ είναι κάθετο στην ευθεία, το $(B, -A)$ παράλληλο.
Ξεχασμένη συνθήκη. Η $Ax + By + \Gamma = 0$ είναι ευθεία μόνο αν $A$ , $B$ δεν είναι και τα δύο $0$ — σε ασκήσεις με παράμετρο έλεγξέ το πρώτα.
Σταθερό σημείο με δοκιμές. Δύο τιμές του $\mu$ δίνουν υποψήφιο σημείο, αλλά η απόδειξη απαιτεί να γράψεις $\mu(\ldots) + (\ldots) = 0$ για κάθε $\mu$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κάθε ευθεία: $Ax + By + \Gamma = 0$ με $A \ne 0$ ή $B \ne 0$ (και αντίστροφα).
$\lambda = -\frac{A}{B}$ ( $B \ne 0$ )· $B = 0$ κατακόρυφη, $A = 0$ οριζόντια, $\Gamma = 0$ από το $O$ .
$\vec{\delta} = (B, -A) \parallel \varepsilon$ , $\vec{n} = (A, B) \perp \varepsilon$ .
Παράλληλες: $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ · κάθετες: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .
Σταθερό σημείο οικογένειας: $\mu(\ldots) + (\ldots) = 0$ , μηδενίζω και τις δύο παρενθέσεις.

Το θεώρημα της γενικής μορφής

Θεώρημα. Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

Ax + By + \Gamma = 0 \quad \text{με } A \ne 0 \text{ ή } B \ne 0

και, αντίστροφα, κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει ευθεία.

Απόδειξη. Ξεκίνα από τις δύο περιπτώσεις που ήδη ξέρεις. Μια μη κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση

y = \lambda x + \beta

, δηλαδή

\lambda x + (-1)y + \beta = 0

(μορφή με

B = -1 \ne 0

)· μια κατακόρυφη έχει

x = x_0

, δηλαδή

1 \cdot x + 0 \cdot y - x_0 = 0

(με

A = 1 \ne 0

Αντίστροφα, αν

B \ne 0

η εξίσωση γράφεται

y = -\frac{A}{B}x - \frac{\Gamma}{B}

(ευθεία με

\lambda = -\frac{A}{B}

)· αν

B = 0

, τότε

A \ne 0

και γράφεται

x = -\frac{\Gamma}{A}

(κατακόρυφη ευθεία).

Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

Μία εξίσωση για όλες τις ευθείες;

Το θεώρημα της γενικής μορφής

Τι «διαβάζουμε» από την Ax+By+Γ=0Ax + By + \Gamma = 0Ax+By+Γ=0

Σχετική θέση δύο ευθειών

Μέθοδος: ευθείες με παράμετρο

Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

Μία εξίσωση για όλες τις ευθείες;

Το θεώρημα της γενικής μορφής

Τι «διαβάζουμε» από την Ax+By+Γ=0Ax + By + \Gamma = 0Ax+By+Γ=0

Σχετική θέση δύο ευθειών

Μέθοδος: ευθείες με παράμετρο

Τι «διαβάζουμε» από την $Ax + By + \Gamma = 0$

Τι «διαβάζουμε» από την $Ax + By + \Gamma = 0$