✖️

Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα

Το διάνυσμα λα, ιδιότητες, συνθήκη παραλληλίας, συνευθειακά σημεία, διάνυσμα θέσης μέσου

Πού ισορροπεί ένα τρίγωνο;

Κόψε ένα τρίγωνο από χαρτόνι και προσπάθησε να το ισορροπήσεις πάνω στη μύτη ενός μολυβιού. Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο που δουλεύει. Με τον πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα θα το βρεις με έναν τύπο — και θα αποδεικνύεις ότι τρία σημεία είναι στην ίδια ευθεία χωρίς χάρακα, μόνο με έναν αριθμό $\lambda$ .

Το διάνυσμα $\lambda\vec{\alpha}$

Έστω $\lambda \in \mathbb{R}$ και $\vec{\alpha}$ διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του $\lambda$ με το $\vec{\alpha}$ το διάνυσμα $\lambda\vec{\alpha}$ που:

είναι ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ αν $\lambda > 0$ και αντίρροπο αν $\lambda < 0$ ,
έχει μέτρο $|\lambda|\,|\vec{\alpha}|$ .

Αν $\lambda = 0$ ή $\vec{\alpha} = \vec{0}$ , τότε $\lambda\vec{\alpha} = \vec{0}$ .

Δες το στην πράξη: το $2\vec{\alpha}$ είναι ομόρροπο με διπλάσιο μήκος. Το $-\frac{1}{2}\vec{\alpha}$ είναι αντίρροπο με το μισό μήκος. Και το $(-1)\vec{\alpha}$ είναι ακριβώς το αντίθετο $-\vec{\alpha}$ .

Για $\vec{\alpha} \ne \vec{0}$ , το $\dfrac{\vec{\alpha}}{|\vec{\alpha}|}$ είναι μοναδιαίο και ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ .

$|\lambda\vec{\alpha}| = |\lambda|\,|\vec{\alpha}|$

Κόλπο μνήμης

Ιδιότητες

Για $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ και διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}$ :

$\lambda(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = \lambda\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta}$
$(\lambda + \mu)\vec{\alpha} = \lambda\vec{\alpha} + \mu\vec{\alpha}$
$\lambda(\mu\vec{\alpha}) = (\lambda\mu)\vec{\alpha}$

Συνέπειες:

$\lambda\vec{\alpha} = \vec{0} \iff \lambda = 0$ ή $\vec{\alpha} = \vec{0}$
αν $\lambda\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ και $\lambda \ne 0$ , τότε $\vec{\alpha} = \vec{\beta}$
αν $\lambda\vec{\alpha} = \mu\vec{\alpha}$ και $\vec{\alpha} \ne \vec{0}$ , τότε $\lambda = \mu$

Έτσι λύνουμε διανυσματικές εξισώσεις σαν αλγεβρικές. Ένα διάνυσμα της μορφής $\kappa\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta}$ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ .

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης, στο έργο του «Περί επιπέδων ισορροπιών» (3ος αι. π.Χ.), απέδειξε ότι το κέντρο βάρους ενός τριγώνου βρίσκεται στο σημείο τομής των διαμέσων του. Με διανύσματα το ίδιο αποτέλεσμα βγαίνει σε τρεις γραμμές — δες την Πρόκληση στο τέλος.

Συνθήκη παραλληλίας

Αν $\vec{\beta} \ne \vec{0}$ , τότε:

$\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta} \text{ για κάποιο (μοναδικό) } \lambda \in \mathbb{R}$

Με αυτή τη συνθήκη αποδεικνύουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά:

$A, B, \Gamma \text{ συνευθειακά} \iff \overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{A\Gamma}$

(τα δύο διανύσματα έχουν κοινό σημείο $A$ , άρα παράλληλοι φορείς σημαίνει ίδιος φορέας). Το πρόσημο του $\lambda$ δείχνει και τη διάταξη: για $\lambda > 0$ τα $B$ , $\Gamma$ είναι στην ίδια μεριά του $A$ , για $\lambda < 0$ το $A$ είναι ανάμεσά τους.

Διάνυσμα θέσης μέσου τμήματος

Αν $M$ είναι το μέσο του $AB$ και $O$ σημείο αναφοράς, τότε

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} \quad\text{και}\quad \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}$

Προσθέτοντας, και επειδή $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$ (αντίθετα διανύσματα):

$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

Ειδική περίπτωση: στο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $M$ μέσο της $B\Gamma$ , παίρνοντας ως σημείο αναφοράς το $A$ , η διάμεσος είναι

$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}}{2}$

Γρήγορος έλεγχος

Αν $M$ είναι το μέσο του $AB$ , $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ , τότε $\overrightarrow{OM}$ ισούται με:

Μέθοδος: συνευθειακά σημεία

Διάλεξε δύο βασικά διανύσματα (π.χ. $\vec{\alpha} = \overrightarrow{OA}$ , $\vec{\beta} = \overrightarrow{OB}$ ή δύο πλευρές τριγώνου) και γράψε όλα τα διανύσματα ως γραμμικούς συνδυασμούς τους.
Υπολόγισε δύο διανύσματα με κοινό άκρο, π.χ. $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{A\Gamma}$ .
Δείξε ότι το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου: $\overrightarrow{A\Gamma} = \lambda\overrightarrow{AB}$ .
Συμπέρανε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά· από το $\lambda$ διάβασε και τον λόγο των τμημάτων.

Παράδειγμα 1: Να λυθεί η διανυσματική εξίσωση $2(\vec{x} - \vec{\alpha}) = 3(\vec{\beta} + \vec{x}) - \vec{\alpha}$ .

Λύση:

$2\vec{x} - 2\vec{\alpha} = 3\vec{\beta} + 3\vec{x} - \vec{\alpha} \Rightarrow 2\vec{x} - 3\vec{x} = 3\vec{\beta} - \vec{\alpha} + 2\vec{\alpha} \Rightarrow -\vec{x} = \vec{\alpha} + 3\vec{\beta}$

Άρα $\vec{x} = -\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}$ .

Επαλήθευση: πρώτο μέλος $2(-2\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}) = -4\vec{\alpha} - 6\vec{\beta}$ · δεύτερο μέλος $3\vec{\beta} + 3(-\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}) - \vec{\alpha} = -4\vec{\alpha} - 6\vec{\beta}$ ✓

Παράδειγμα 2: Με σημείο αναφοράς $O$ είναι $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ και $\overrightarrow{O\Gamma} = 3\vec{\beta} - 2\vec{\alpha}$ . Να αποδειχθεί ότι τα $A, B, \Gamma$ είναι συνευθειακά.

Λύση:

$\overrightarrow{AB} = \vec{\beta} - \vec{\alpha}, \qquad \overrightarrow{A\Gamma} = (3\vec{\beta} - 2\vec{\alpha}) - \vec{\alpha} = 3\vec{\beta} - 3\vec{\alpha} = 3\overrightarrow{AB}$

Άρα $\overrightarrow{A\Gamma} \parallel \overrightarrow{AB}$ με κοινό σημείο $A$ : τα σημεία είναι συνευθειακά. Επειδή $\lambda = 3 > 0$ , τα $B$ , $\Gamma$ είναι προς την ίδια μεριά του $A$ και $(A\Gamma) = 3(AB)$ , άρα το $B$ βρίσκεται ανάμεσα στα $A$ , $\Gamma$ με $(AB) : (B\Gamma) = 1 : 2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{A\Gamma}$ , τότε τα σημεία $A, B, \Gamma$ :

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και σημεία $\Delta$ , $E$ με $\overrightarrow{A\Delta} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A\Gamma}$ . Έστω $M$ το μέσο της $B\Gamma$ και $N$ το μέσο της $\Delta E$ .

(α) Να αποδειχθεί ότι $\Delta E \parallel B\Gamma$ και $(\Delta E) = \frac{1}{3}(B\Gamma)$ .

(β) Να αποδειχθεί ότι τα $A$ , $N$ , $M$ είναι συνευθειακά.

Λύση: Βάση: τα $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ .

(α) $\overrightarrow{\Delta E} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{A\Delta} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A\Gamma} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{B\Gamma}$ . Άρα $\overrightarrow{\Delta E} \parallel \overrightarrow{B\Gamma}$ και $|\overrightarrow{\Delta E}| = \frac{1}{3}|\overrightarrow{B\Gamma}|$ (γενίκευση του θεωρήματος των μέσων).

(β) Από τον τύπο του μέσου:

$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}}{2}, \qquad \overrightarrow{AN} = \frac{\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{AE}}{2} = \frac{1}{6}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma})$

Άρα $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$ , οπότε τα $A, N, M$ είναι συνευθειακά (το $N$ πάνω στη διάμεσο $AM$ , στο $\frac{1}{3}$ της από το $A$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = 2$ , πόσο είναι το μέτρο του $-3\vec{\alpha}$ ;

Πρόκληση

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ θεωρούμε σημείο $G$ με $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{G\Gamma} = \vec{0}$ . Δείξε ότι το $G$ βρίσκεται πάνω στη διάμεσο $AM$ και ότι $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ . Τι συμπεραίνεις για τις τρεις διαμέσους;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Γράφουμε κάθε διάνυσμα με αρχή το $A$ («τέλος μείον αρχή»):

$\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}, \quad \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}, \quad \overrightarrow{G\Gamma} = \overrightarrow{A\Gamma} - \overrightarrow{AG}$

Προσθέτοντας: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma} - 3\overrightarrow{AG} = \vec{0}$ , άρα $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}$ .

Αφού $M$ μέσο της $B\Gamma$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma} = 2\overrightarrow{AM}$ . Επομένως

$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$

Τα $\overrightarrow{AG}$ , $\overrightarrow{AM}$ είναι παράλληλα με κοινό σημείο το $A$ , άρα τα $A, G, M$ είναι συνευθειακά και το $G$ απέχει από την κορυφή τα $\frac{2}{3}$ της διαμέσου.

Συμπέρασμα: Η σχέση $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{G\Gamma} = \vec{0}$ είναι «δίκαιη» για τις τρεις κορυφές, οπότε με τον ίδιο συλλογισμό το $G$ ανήκει και στις άλλες δύο διαμέσους: οι τρεις διάμεσοι περνούν από το ίδιο σημείο — το βαρύκεντρο, εκεί όπου ισορροπεί το χαρτόνι.

Συνηθισμένα λάθη

Αρνητικό μέτρο. $|\lambda\vec{\alpha}| = |\lambda|\,|\vec{\alpha}|$ , όχι $\lambda|\vec{\alpha}|$ . Για $\lambda < 0$ αλλάζει η φορά, το μήκος μένει θετικό.
Διαίρεση διανυσμάτων. Το $\frac{\vec{\alpha}}{\vec{\beta}}$ δεν ορίζεται· από $\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ βρίσκεις το $\lambda$ συγκρίνοντας, όχι «διαιρώντας».
Απλοποίηση χωρίς συνθήκη. Από $\lambda\vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ συμπεραίνεις $\vec{\alpha} = \vec{\beta}$ μόνο αν $\lambda \ne 0$ .
Συνευθειακότητα χωρίς κοινό σημείο. Το $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ δεν σημαίνει ότι τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά· για συνευθειακότητα τα δύο διανύσματα πρέπει να έχουν κοινό άκρο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\lambda\vec{\alpha}$ : ομόρροπο για $\lambda > 0$ , αντίρροπο για $\lambda < 0$ , μέτρο $|\lambda|\,|\vec{\alpha}|$ .
$\lambda(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = \lambda\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta}$ , $(\lambda + \mu)\vec{\alpha} = \lambda\vec{\alpha} + \mu\vec{\alpha}$ , $\lambda(\mu\vec{\alpha}) = (\lambda\mu)\vec{\alpha}$ .
Για $\vec{\beta} \ne \vec{0}$ : $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta} \iff \vec{\alpha} = \lambda\vec{\beta}$ .
$A, B, \Gamma$ συνευθειακά $\iff \overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{A\Gamma}$ .
Μέσο: $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$ · διάμεσος $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Gamma}}{2}$ .

Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα

Πού ισορροπεί ένα τρίγωνο;

Το διάνυσμα λα⃗\lambda\vec{\alpha}λα

Ιδιότητες

Συνθήκη παραλληλίας

Διάνυσμα θέσης μέσου τμήματος

Μέθοδος: συνευθειακά σημεία

Το διάνυσμα $\lambda\vec{\alpha}$