📐

Εσωτερικό Γινόμενο: Γωνίες, Μέτρα & Καθετότητα

Συνημίτονο γωνίας, μέτρο αθροίσματος με τετραγωνισμό, κάθετα διανύσματα, εφαρμογές σε τρίγωνα

Πώς ελέγχεις μια ορθή γωνία χωρίς γωνιόμετρο;

Ένας μηχανικός θέλει να ελέγξει αν δύο δοκοί ενός σχεδίου είναι κάθετες. Δεν χρειάζεται μοιρογνωμόνιο: αρκεί το $x_1 x_2 + y_1 y_2$ να βγει μηδέν. Κι αν δεν βγει, ο ίδιος αριθμός τού δίνει την ακριβή γωνία. Σε αυτό το κεφάλαιο το εσωτερικό γινόμενο γίνεται εργαλείο: γωνίες, μέτρα, καθετότητα.

Γωνία δύο διανυσμάτων

Λύνοντας τον ορισμό ως προς το συνημίτονο, για μη μηδενικά διανύσματα:

$\text{συν}\,\theta = \frac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\,\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Ήξερες ότι;

Οι μηχανές αναζήτησης και τα συστήματα προτάσεων χρησιμοποιούν ευρέως αυτόν ακριβώς τον τύπο. Κάθε κείμενο γίνεται ένα διάνυσμα με πάρα πολλές συντεταγμένες (π.χ. πόσες φορές εμφανίζεται κάθε λέξη) και η «ομοιότητα» δύο κειμένων μετριέται με το συνημίτονο της γωνίας τους (cosine similarity): κοντά στο $1$ → μιλάνε για τα ίδια πράγματα.

Επειδή $\theta \in [0, \pi]$ και το συνημίτονο είναι 1-1 σε αυτό το διάστημα, το $\text{συν}\,\theta$ καθορίζει μοναδικά τη γωνία (π.χ. $\text{συν}\,\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 120^\circ$ , δες τον τριγωνομετρικό κύκλο).

Μέτρο αθροίσματος και διαφοράς

Ξέρεις μέτρα και εσωτερικό γινόμενο, αλλά όχι συντεταγμένες; Τότε τετραγωνίζεις:

$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = (\vec{\alpha} + \vec{\beta})^2 = |\vec{\alpha}|^2 + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$

$|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 - 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$

Αναγνωρίζεις κάτι; Είναι ο νόμος των συνημιτόνων σε διανυσματική μορφή. Και για $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}$ γίνεται το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Κάθετα διανύσματα και συντελεστές

Το διάνυσμα $(-y, x)$ (και το $(y, -x)$ ) είναι κάθετο στο $(x, y)$ , αφού $x(-y) + yx = 0$ — γρήγορος τρόπος να γράφεις κάθετο διάνυσμα.
Αν τα $\vec{\alpha} = (x_1, y_1)$ , $\vec{\beta} = (x_2, y_2)$ έχουν συντελεστές $\lambda_1 = \frac{y_1}{x_1}$ , $\lambda_2 = \frac{y_2}{x_2}$ , τότε διαιρώντας τη σχέση $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ με $x_1 x_2 \ne 0$ :

$\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff 1 + \lambda_1\lambda_2 = 0 \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$

Αν ένα από τα διανύσματα είναι κατακόρυφο, η σχέση δεν εφαρμόζεται — κάθετό του είναι κάθε οριζόντιο.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο διάνυσμα είναι κάθετο στο $\vec{\alpha} = (3, -4)$ ;

Μέθοδος: γωνίες και μέτρα με εσωτερικό γινόμενο

Για γωνία: υπολόγισε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ , $|\vec{\alpha}|$ , $|\vec{\beta}|$ , βρες $\text{συν}\,\theta$ και μετά τη γωνία στο $[0^\circ, 180^\circ]$ .
Για μέτρο σύνθετου διανύσματος (π.χ. $|2\vec{\alpha} - \vec{\beta}|$ ): τετραγώνισε, κάνε επιμεριστική, αντικατάστησε και πάρε ρίζα στο τέλος.
Για άγνωστο εσωτερικό γινόμενο από συνθήκη (καθετότητα, γνωστό μέτρο): γράψε την εξίσωση με τα $|\vec{\alpha}|^2$ , $|\vec{\beta}|^2$ και λύσε ως προς $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ .
Σε τρίγωνα με συντεταγμένες: η γωνία $\hat{A}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ (κοινή αρχή $A$ ).

Κόλπο μνήμης

«Βλέπεις μέτρο; Τετράγωνισε!» Το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ δεν «σπάει» ποτέ σε άθροισμα μέτρων, αλλά το τετράγωνό του αναπτύσσεται όπως η ταυτότητα $(a + b)^2$ : το $2ab$ απλώς γίνεται $2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ . Στο τέλος μην ξεχάσεις τη ρίζα.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η γωνία των $\vec{\alpha} = (1, 2)$ και $\vec{\beta} = (3, 1)$ .

Λύση: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3 + 2 = 5$ , $|\vec{\alpha}| = \sqrt{5}$ , $|\vec{\beta}| = \sqrt{10}$ .

$\text{συν}\,\theta = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = 45^\circ$

Παράδειγμα 2: Αν $|\vec{\alpha}| = 3$ , $|\vec{\beta}| = 4$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 5$ , να βρεθεί το $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ και το $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|$ .

Λύση: Τετραγωνίζουμε: $25 = 9 + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + 16$ , άρα $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ — τα διανύσματα είναι κάθετα (τρίγωνο $3$ - $4$ - $5$ ).

$|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = 9 - 0 + 16 = 25 \Rightarrow |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = 5$

Λογικό: οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες.

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = 1$ και η γωνία τους είναι $120^\circ$ , πόσο είναι το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ ;

Παράδειγμα 3: Αν $|\vec{\alpha}| = 1$ , $|\vec{\beta}| = 2$ και $(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) \perp (5\vec{\alpha} - 2\vec{\beta})$ , να βρεθούν η γωνία των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ και το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ .

Λύση: Καθετότητα ⇒ μηδενικό εσωτερικό γινόμενο:

$5\vec{\alpha}^{\,2} - 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + 5\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 2\vec{\beta}^{\,2} = 0 \Rightarrow 5 + 3\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 8 = 0 \Rightarrow \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 1$

$\text{συν}\,\theta = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , άρα $\theta = 60^\circ$ .

$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = 1 + 2 \cdot 1 + 4 = 7 \Rightarrow |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = \sqrt{7}$

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο με κορυφές $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $\Gamma(2, 4)$ .

(α) Να υπολογιστεί το $\text{συν}\,\hat{A}$ .

(β) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

(γ) Αν $M$ το μέσο της $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι $AM \perp B\Gamma$ .

Λύση:

(α) $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ , $\overrightarrow{A\Gamma} = (1, 3)$ , $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma} = 3 + 3 = 6$ , $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{A\Gamma}| = \sqrt{10}$ :

$\text{συν}\,\hat{A} = \frac{6}{\sqrt{10}\,\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(β) $(AB) = (A\Gamma) = \sqrt{10}$ , άρα ισοσκελές με βάση $B\Gamma$ .

(γ) $M(3, 3)$ , $\overrightarrow{AM} = (2, 2)$ , $\overrightarrow{B\Gamma} = (-2, 2)$ και $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{B\Gamma} = -4 + 4 = 0$ , άρα $AM \perp B\Gamma$ — η διάμεσος προς τη βάση ισοσκελούς είναι και ύψος.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{\alpha} = (1, 0)$ και $\vec{\beta} = (-1, \sqrt{3})$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = 3$ , $|\vec{\beta}| = 4$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 5$ , τότε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ ισούται με:

Πρόκληση

Τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ έχουν $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} - \vec{\beta}|$ . Βρες τη γωνία $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\alpha} + \vec{\beta}})$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = a > 0$ .

Τετραγωνίζουμε: $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = a^2 + a^2 - 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = a^2$ , άρα $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \frac{a^2}{2}$ (και η γωνία των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ είναι $60^\circ$ ).
$\vec{\alpha} \cdot (\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$ .
$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 3a^2$ , άρα $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = a\sqrt{3}$ .

$\text{συν}\,\theta = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$

Γεωμετρική επιβεβαίωση: τα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ σχηματίζουν ρόμβο με γωνία $60^\circ$ , και η διαγώνιος $\vec{\alpha} + \vec{\beta}$ τη διχοτομεί: $30^\circ$ ✓

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένη ρίζα. Το $(\vec{\alpha} + \vec{\beta})^2$ δίνει το τετράγωνο του μέτρου· στο τέλος παίρνεις τετραγωνική ρίζα.
$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$ . Ισχύει μόνο για ομόρροπα· πάντα τετραγωνίζεις.
$\lambda_1\lambda_2 = -1$ με κατακόρυφο διάνυσμα. Αν ένα διάνυσμα δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, χρησιμοποίησε το εσωτερικό γινόμενο.
Γωνία τριγώνου με λάθος διανύσματα. Η $\hat{B}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{B\Gamma}$ — όχι των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{B\Gamma}$ (αυτή θα έδινε την παραπληρωματική).

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\text{συν}\,\theta = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|}$ , με $\theta \in [0^\circ, 180^\circ]$ .
$|\vec{\alpha} \pm \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 \pm 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$ — τετραγωνίζουμε, λύνουμε, ρίζα.
Κάθετο στο $(x, y)$ : το $(-y, x)$ · $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$ .
Σε τρίγωνο, η $\hat{A}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ .

📐

Εσωτερικό Γινόμενο: Γωνίες, Μέτρα & Καθετότητα

Συνημίτονο γωνίας, μέτρο αθροίσματος με τετραγωνισμό, κάθετα διανύσματα, εφαρμογές σε τρίγωνα

Πώς ελέγχεις μια ορθή γωνία χωρίς γωνιόμετρο;

Γωνία δύο διανυσμάτων

Λύνοντας τον ορισμό ως προς το συνημίτονο, για μη μηδενικά διανύσματα:

$\text{συν}\,\theta = \frac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\,\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Ήξερες ότι;

Μέτρο αθροίσματος και διαφοράς

Ξέρεις μέτρα και εσωτερικό γινόμενο, αλλά όχι συντεταγμένες; Τότε τετραγωνίζεις:

$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = (\vec{\alpha} + \vec{\beta})^2 = |\vec{\alpha}|^2 + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$

$|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 - 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$

Κάθετα διανύσματα και συντελεστές

Το διάνυσμα $(-y, x)$ (και το $(y, -x)$ ) είναι κάθετο στο $(x, y)$ , αφού $x(-y) + yx = 0$ — γρήγορος τρόπος να γράφεις κάθετο διάνυσμα.
Αν τα $\vec{\alpha} = (x_1, y_1)$ , $\vec{\beta} = (x_2, y_2)$ έχουν συντελεστές $\lambda_1 = \frac{y_1}{x_1}$ , $\lambda_2 = \frac{y_2}{x_2}$ , τότε διαιρώντας τη σχέση $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ με $x_1 x_2 \ne 0$ :

$\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff 1 + \lambda_1\lambda_2 = 0 \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$

Αν ένα από τα διανύσματα είναι κατακόρυφο, η σχέση δεν εφαρμόζεται — κάθετό του είναι κάθε οριζόντιο.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο διάνυσμα είναι κάθετο στο $\vec{\alpha} = (3, -4)$ ;

Μέθοδος: γωνίες και μέτρα με εσωτερικό γινόμενο

Για γωνία: υπολόγισε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ , $|\vec{\alpha}|$ , $|\vec{\beta}|$ , βρες $\text{συν}\,\theta$ και μετά τη γωνία στο $[0^\circ, 180^\circ]$ .
Για μέτρο σύνθετου διανύσματος (π.χ. $|2\vec{\alpha} - \vec{\beta}|$ ): τετραγώνισε, κάνε επιμεριστική, αντικατάστησε και πάρε ρίζα στο τέλος.
Για άγνωστο εσωτερικό γινόμενο από συνθήκη (καθετότητα, γνωστό μέτρο): γράψε την εξίσωση με τα $|\vec{\alpha}|^2$ , $|\vec{\beta}|^2$ και λύσε ως προς $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ .
Σε τρίγωνα με συντεταγμένες: η γωνία $\hat{A}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ (κοινή αρχή $A$ ).

Κόλπο μνήμης

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η γωνία των $\vec{\alpha} = (1, 2)$ και $\vec{\beta} = (3, 1)$ .

Λύση: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3 + 2 = 5$ , $|\vec{\alpha}| = \sqrt{5}$ , $|\vec{\beta}| = \sqrt{10}$ .

$\text{συν}\,\theta = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = 45^\circ$

$|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = 9 - 0 + 16 = 25 \Rightarrow |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = 5$

Λογικό: οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες.

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = 1$ και η γωνία τους είναι $120^\circ$ , πόσο είναι το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ ;

Λύση: Καθετότητα ⇒ μηδενικό εσωτερικό γινόμενο:

$\text{συν}\,\theta = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , άρα $\theta = 60^\circ$ .

$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = 1 + 2 \cdot 1 + 4 = 7 \Rightarrow |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = \sqrt{7}$

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο με κορυφές $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $\Gamma(2, 4)$ .

(α) Να υπολογιστεί το $\text{συν}\,\hat{A}$ .

(β) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

(γ) Αν $M$ το μέσο της $B\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι $AM \perp B\Gamma$ .

Λύση:

$\text{συν}\,\hat{A} = \frac{6}{\sqrt{10}\,\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(β) $(AB) = (A\Gamma) = \sqrt{10}$ , άρα ισοσκελές με βάση $B\Gamma$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{\alpha} = (1, 0)$ και $\vec{\beta} = (-1, \sqrt{3})$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = 3$ , $|\vec{\beta}| = 4$ και $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 5$ , τότε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ ισούται με:

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = a > 0$ .

Τετραγωνίζουμε: $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|^2 = a^2 + a^2 - 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = a^2$ , άρα $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \frac{a^2}{2}$ (και η γωνία των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ είναι $60^\circ$ ).
$\vec{\alpha} \cdot (\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$ .
$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 3a^2$ , άρα $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = a\sqrt{3}$ .

$\text{συν}\,\theta = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένη ρίζα. Το $(\vec{\alpha} + \vec{\beta})^2$ δίνει το τετράγωνο του μέτρου· στο τέλος παίρνεις τετραγωνική ρίζα.
$|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$ . Ισχύει μόνο για ομόρροπα· πάντα τετραγωνίζεις.
$\lambda_1\lambda_2 = -1$ με κατακόρυφο διάνυσμα. Αν ένα διάνυσμα δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, χρησιμοποίησε το εσωτερικό γινόμενο.
Γωνία τριγώνου με λάθος διανύσματα. Η $\hat{B}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{B\Gamma}$ — όχι των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{B\Gamma}$ (αυτή θα έδινε την παραπληρωματική).

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\text{συν}\,\theta = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|}$ , με $\theta \in [0^\circ, 180^\circ]$ .
$|\vec{\alpha} \pm \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 \pm 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$ — τετραγωνίζουμε, λύνουμε, ρίζα.
Κάθετο στο $(x, y)$ : το $(-y, x)$ · $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$ .
Σε τρίγωνο, η $\hat{A}$ είναι η γωνία των $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ .