🥚

Η Έλλειψη

Ορισμός με εστίες, x²/α² + y²/β² = 1, κορυφές και άξονες, εκκεντρότητα, εφαπτομένη

Ποιο σχήμα έχει η τροχιά της Γης;

Ο Kepler ανακάλυψε το 1609 ότι οι πλανήτες δεν κινούνται σε κύκλους, αλλά σε ελλείψεις, με τον Ήλιο σε μία από τις εστίες. Η τροχιά της Γης έχει εκκεντρότητα μόλις $\varepsilon \approx 0{,}017$ — είναι σχεδόν κύκλος, γι' αυτό η απόστασή μας από τον Ήλιο αλλάζει μόνο περίπου $3\%$ μέσα στο έτος. Εδώ μαθαίνεις την εξίσωση αυτής της καμπύλης και πώς «διαβάζεις» τα στοιχεία της.

Ορισμός

Έστω δύο σημεία $E'$ , $E$ με $(E'E) = 2\gamma$ . Έλλειψη με εστίες $E'$ , $E$ λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου με σταθερό άθροισμα αποστάσεων $2\alpha$ από τις εστίες, όπου $2\alpha > 2\gamma$ :

$M \in C \iff (ME') + (ME) = 2\alpha$

Πρακτικά: δένεις ένα νήμα μήκους $2\alpha$ σε δύο καρφιά και το κρατάς τεντωμένο με το μολύβι — ο «κύκλος του κηπουρού».

Εξίσωση

Βάλε τις εστίες στα $E'(-\gamma, 0)$ , $E(\gamma, 0)$ και θέσε $\beta = \sqrt{\alpha^2 - \gamma^2}$ . Η σχέση $\sqrt{(x + \gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x - \gamma)^2 + y^2} = 2\alpha$ , μετά από δύο τετραγωνισμούς, γίνεται $(\alpha^2 - \gamma^2)x^2 + \alpha^2y^2 = \alpha^2(\alpha^2 - \gamma^2)$ , δηλαδή:

$C:\ \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1, \qquad \beta^2 = \alpha^2 - \gamma^2, \qquad E'(-\gamma, 0),\ E(\gamma, 0)$

Διάλεξε «Έλλειψη» και μετακίνησε το M: το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες μένει 2α· μίκρυνε το γ στο 0 για να γίνει κύκλος.

Κόλπο μνήμης

Στην έλλειψη το $\alpha$ είναι ο «μεγάλος»: $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ . Δες το σαν Πυθαγόρειο: από την κορυφή $B(0, \beta)$ του μικρού άξονα ως την εστία $E(\gamma, 0)$ η απόσταση είναι ακριβώς $\sqrt{\beta^2 + \gamma^2} = \alpha$ . Το $\alpha$ είναι πάντα η υποτείνουσα.

Αν οι εστίες είναι στον $y'y$ , $E'(0, -\gamma)$ , $E(0, \gamma)$ , η εξίσωση γίνεται

$\frac{y^2}{\alpha^2} + \frac{x^2}{\beta^2} = 1$

Κανόνας: ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το $\alpha^2$ , και δείχνει τον άξονα των εστιών.

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$

Συμμετρική ως προς τους δύο άξονες και ως προς την αρχή $O$ , που λέγεται κέντρο.
Κορυφές: $A'(-\alpha, 0)$ , $A(\alpha, 0)$ , $B'(0, -\beta)$ , $B(0, \beta)$ .
Μεγάλος άξονας $A'A = 2\alpha$ (περιέχει τις εστίες), μικρός άξονας $B'B = 2\beta$ .
Όλα τα σημεία της έχουν $-\alpha \le x \le \alpha$ και $-\beta \le y \le \beta$ : βρίσκεται μέσα στο ορθογώνιο των κορυφών.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο $OBE$ : $(BE) = \sqrt{\beta^2 + \gamma^2} = \alpha$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για την έλλειψη $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ , πόσο είναι το $\gamma$ ;

Εκκεντρότητα

Ο λόγος

$\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} \qquad (0 < \varepsilon < 1)$

λέγεται εκκεντρότητα και μετρά πόσο «πεπλατυσμένη» είναι η έλλειψη, αφού $\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$ :

$\varepsilon$ κοντά στο $0$ ⇒ $\beta \approx \alpha$ , σχεδόν κύκλος.
$\varepsilon$ κοντά στο $1$ ⇒ $\beta$ πολύ μικρότερο του $\alpha$ , πολύ επιμήκης.

Δύο ελλείψεις με την ίδια εκκεντρότητα είναι όμοιες. (Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις με τον Ήλιο σε μία εστία· της Γης έχει $\varepsilon \approx 0{,}017$ .)

$\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} < 1, \qquad \frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$

Ήξερες ότι;

Η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης σώζει ασθενείς. Στη λιθοτριψία κύματα κρούσης παράγονται στη μία εστία ενός ελλειψοειδούς ανακλαστήρα και, μετά την ανάκλαση, συγκεντρώνονται όλα στην άλλη εστία — εκεί όπου τοποθετείται η πέτρα του νεφρού, που θρυμματίζεται χωρίς χειρουργική τομή.

Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη της $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ στο σημείο της $M(x_1, y_1)$ είναι:

$\frac{xx_1}{\alpha^2} + \frac{yy_1}{\beta^2} = 1$

Ανακλαστική ιδιότητα: η κάθετη στην εφαπτομένη στο $M$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat{E'ME}$ — ήχος ή φως που ξεκινά από τη μία εστία καταλήγει στην άλλη (αίθουσες «ψιθύρων», λιθοτριψία).

Μέθοδος: στοιχεία έλλειψης από την εξίσωση

Φέρε την εξίσωση στη μορφή « $\ldots = 1$ » (διαίρεσε με τον σταθερό όρο).
Ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το $\alpha^2$ και δείχνει τον άξονα των εστιών.
$\gamma = \sqrt{\alpha^2 - \beta^2}$ , εστίες $(\pm\gamma, 0)$ ή $(0, \pm\gamma)$ , $\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha}$ .
Για εφαπτομένη: έλεγξε ότι το σημείο ανήκει στην έλλειψη και «διπλασίασε»: $x^2 \to xx_1$ , $y^2 \to yy_1$ .

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν τα στοιχεία της έλλειψης $9x^2 + 25y^2 = 225$ .

Λύση: Διαιρώντας με $225$ : $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . Άρα $\alpha = 5$ , $\beta = 3$ (εστίες στον $x'x$ ) και $\gamma = \sqrt{25 - 9} = 4$ .

Εστίες $E'(-4, 0)$ , $E(4, 0)$ · κορυφές $(\pm 5, 0)$ , $(0, \pm 3)$ .
Μεγάλος άξονας $10$ , μικρός $6$ · εκκεντρότητα $\varepsilon = \frac{4}{5}$ .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η έλλειψη με εστίες $(0, \pm 3)$ και μεγάλο άξονα $10$ .

Λύση: Εστίες στον $y'y$ με $\gamma = 3$ και $2\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = 5$ . Τότε $\beta^2 = 25 - 9 = 16$ :

$\frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{16} = 1$

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ ;

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η εφαπτομένη της $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ στο σημείο $M(2, 1)$ .

Λύση: Έλεγχος: $\frac{4}{8} + \frac{1}{2} = 1$ ✓. Εφαπτομένη:

$\frac{2x}{8} + \frac{1 \cdot y}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow x + 2y = 4$

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μια έλλειψη με εστίες στον $x'x$ και κέντρο το $O$ έχει εκκεντρότητα $\varepsilon = \frac{\sqrt{3}}{2}$ και μικρό άξονα $4$ .

(α) Να βρεθεί η εξίσωσή της.

(β) Να βρεθεί η εφαπτομένη της στο σημείο $M(2\sqrt{3}, 1)$ .

(γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες.

Λύση:

(α) $2\beta = 4 \Rightarrow \beta = 2$ . Από $\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ προκύπτει $\alpha = 4$ . Άρα $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ . (Έλεγχος: $\gamma = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , $\varepsilon = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓)

(β) Έλεγχος: $\frac{12}{16} + \frac{1}{4} = 1$ ✓. Εφαπτομένη: $\frac{2\sqrt{3}\,x}{16} + \frac{y}{4} = 1$ , δηλαδή $\sqrt{3}\,x + 2y = 8$ .

(γ) Τομή με $x'x$ : $x = \frac{8}{\sqrt{3}}$ · με $y'y$ : $y = 4$ . Εμβαδόν $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 4 = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για κάθε σημείο $M$ της έλλειψης $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ , το άθροισμα $(ME') + (ME)$ ισούται με:

Πρόκληση

Στην έλλειψη $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ εγγράφουμε ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες στους άξονες. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν του;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Λόγω συμμετρίας οι κορυφές είναι $(\pm x, \pm y)$ με $x, y > 0$ και $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . Το εμβαδόν είναι $E = 2x \cdot 2y = 4xy$ .

Από τη γνωστή ανισότητα $a^2 + b^2 \ge 2ab$ (ισότητα όταν $a = b$ ), με $a = \frac{x}{5}$ , $b = \frac{y}{3}$ :

$1 = \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} \ge 2 \cdot \frac{x}{5} \cdot \frac{y}{3} = \frac{2xy}{15} \Rightarrow xy \le \frac{15}{2}$

Άρα $E = 4xy \le 30$ . Η ισότητα ισχύει όταν $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ , οπότε $\frac{x^2}{25} = \frac{y^2}{9} = \frac{1}{2}$ , δηλαδή $x = \frac{5}{\sqrt{2}}$ , $y = \frac{3}{\sqrt{2}}$ . Έλεγχος: $4 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{15}{2} = 30$ ✓

Απάντηση: $E_{\max} = 30$ . Γενικά, το μέγιστο είναι $2\alpha\beta$ — ακριβώς το μισό του ορθογωνίου $2\alpha \times 2\beta$ που περιβάλλει την έλλειψη.

Συνηθισμένα λάθη

$\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2$ . Στην έλλειψη $\gamma^2 = \alpha^2 - \beta^2$ ( $\alpha$ το μεγαλύτερο)· το άθροισμα ισχύει στην υπερβολή.
$\alpha^2$ κάτω από το $x^2$ «αυτόματα». Το $\alpha^2$ είναι ο μεγαλύτερος παρονομαστής, όπου κι αν βρίσκεται.
Εξίσωση όχι σε μορφή « $= 1$ ». Από την $4x^2 + 9y^2 = 36$ δεν διαβάζεις στοιχεία πριν διαιρέσεις με $36$ .
Εκκεντρότητα $\ge 1$ . Για έλλειψη πάντα $0 < \varepsilon < 1$ — αν βρεις μεγαλύτερη, έχεις κάνει λάθος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Έλλειψη: $(ME') + (ME) = 2\alpha$ , με $2\alpha > (E'E) = 2\gamma$ .
$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ , $\beta^2 = \alpha^2 - \gamma^2$ · εστίες στον άξονα του μεγαλύτερου παρονομαστή.
Κορυφές $(\pm\alpha, 0)$ , $(0, \pm\beta)$ · άξονες $2\alpha$ και $2\beta$ .
$\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} \in (0, 1)$ , $\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{1 - \varepsilon^2}$ .
Εφαπτομένη: $\frac{xx_1}{\alpha^2} + \frac{yy_1}{\beta^2} = 1$ .

Ορισμός

Έστω δύο σημεία

E'

E

με

(E'E) = 2\gamma

. Έλλειψη με εστίες

E'

E

λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου με σταθερό άθροισμα αποστάσεων

2\alpha

από τις εστίες, όπου

2\alpha > 2\gamma

M \in C \iff (ME') + (ME) = 2\alpha

Πρακτικά: δένεις ένα νήμα μήκους

2\alpha

σε δύο καρφιά και το κρατάς τεντωμένο με το μολύβι — ο «κύκλος του κηπουρού».

Εξίσωση

Βάλε τις εστίες στα

E'(-\gamma, 0)

E(\gamma, 0)

και θέσε

\beta = \sqrt{\alpha^2 - \gamma^2}

. Η σχέση

\sqrt{(x + \gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x - \gamma)^2 + y^2} = 2\alpha

, μετά από δύο τετραγωνισμούς, γίνεται

(\alpha^2 - \gamma^2)x^2 + \alpha^2y^2 = \alpha^2(\alpha^2 - \gamma^2)

, δηλαδή:

Η Έλλειψη

Ποιο σχήμα έχει η τροχιά της Γης;

Ορισμός

Εξίσωση

Ιδιότητες της x2α2+y2β2=1\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1α2x2​+β2y2​=1

Εκκεντρότητα

Εφαπτομένη

Μέθοδος: στοιχεία έλλειψης από την εξίσωση

Η Έλλειψη

Ποιο σχήμα έχει η τροχιά της Γης;

Ορισμός

Εξίσωση

Ιδιότητες της x2α2+y2β2=1\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1α2x2​+β2y2​=1

Εκκεντρότητα

Εφαπτομένη

Μέθοδος: στοιχεία έλλειψης από την εξίσωση

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$