⚫

Εσωτερικό Γινόμενο: Ορισμός & Ιδιότητες

Ορισμός α·β, πρόσημο, καθετότητα, α² = |α|², αναλυτική έκφραση, ιδιότητες

Πόση «δουλειά» κάνει μια δύναμη;

Σέρνεις μια βαλίτσα τραβώντας το λουρί της λοξά. Μόνο το κομμάτι της δύναμης που «κοιτάει» προς την κατεύθυνση της κίνησης σε βοηθά· το υπόλοιπο απλώς σηκώνει τη βαλίτσα. Στη Φυσική το έργο είναι $W = F \cdot \Delta x \cdot \text{συν}\,\theta$ — και αυτό ακριβώς είναι το εσωτερικό γινόμενο: ένας αριθμός που μετράει πόσο δύο διανύσματα «συμφωνούν» στην κατεύθυνση.

Ορισμός

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ τον πραγματικό αριθμό

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|\,\text{συν}\,\theta$

όπου $\theta$ η γωνία των διανυσμάτων. Αν $\vec{\alpha} = \vec{0}$ ή $\vec{\beta} = \vec{0}$ , ορίζουμε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ .

Πρόσεξε: το αποτέλεσμα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα. Γι' αυτό το λέμε και «βαθμωτό» γινόμενο. Στη Φυσική, το έργο σταθερής δύναμης είναι ακριβώς $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ .

Ήξερες ότι;

Τον συμβολισμό με την τελεία, $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ , τον καθιέρωσε ο Αμερικανός φυσικός Josiah Willard Gibbs στις σημειώσεις του «Elements of Vector Analysis» (1881–1884), που μοίραζε στους φοιτητές του στο Yale. Ο Gibbs ήθελε ένα εργαλείο πιο απλό από τα τετραδόνια του Hamilton — και κέρδισε: τον δικό του συμβολισμό χρησιμοποιούμε μέχρι σήμερα.

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|\,\text{συν}\,\theta$

Άμεσες συνέπειες του ορισμού

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}$ (αντιμεταθετική).
$\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ — η βασική συνθήκη καθετότητας.
Ομόρροπα ( $\theta = 0$ ): $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|$ · αντίρροπα ( $\theta = \pi$ ): $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = -|\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|$ .
Εσωτερικό τετράγωνο: $\vec{\alpha}^{\,2} = \vec{\alpha} \cdot \vec{\alpha} = |\vec{\alpha}|^2$ .
Πρόσημο: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} > 0$ όταν η γωνία είναι οξεία, $< 0$ όταν είναι αμβλεία (για μη μηδενικά διανύσματα).
Επειδή $|\text{συν}\,\theta| \le 1$ : $|\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}| \le |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|$ .

Κόλπο μνήμης

Το πρόσημο του $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ απαντά στην ερώτηση «κοιτάνε προς την ίδια μεριά;». Οξεία γωνία → ναι → θετικό. Ορθή → «αδιάφορα» → μηδέν. Αμβλεία → κοιτάνε αντίθετα → αρνητικό. Το πρόσημο είναι πάντα το πρόσημο του $\text{συν}\,\theta$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = 4$ , $|\vec{\beta}| = 3$ και η γωνία τους είναι $60^\circ$ , τότε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ ισούται με:

Αναλυτική έκφραση

Αν $\vec{\alpha} = (x_1, y_1)$ και $\vec{\beta} = (x_2, y_2)$ , τότε αποδεικνύεται (η απόδειξη είναι εκτός ύλης) ότι:

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Ιδιότητες πράξεων

Για οποιαδήποτε διανύσματα και $\lambda \in \mathbb{R}$ (αποδεικνύονται εύκολα με την αναλυτική έκφραση):

$(\lambda\vec{\alpha}) \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha} \cdot (\lambda\vec{\beta}) = \lambda(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})$
$\vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} + \vec{\gamma}) = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}$ (επιμεριστική)
Αν $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ έχουν συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_1$ , $\lambda_2$ : $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$ .

Άρα ισχύουν οι γνωστές ταυτότητες:

$(\vec{\alpha} \pm \vec{\beta})^2 = \vec{\alpha}^{\,2} \pm 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta}^{\,2}, \qquad (\vec{\alpha} + \vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} - \vec{\beta}) = \vec{\alpha}^{\,2} - \vec{\beta}^{\,2}$

Δεν ισχύει προσεταιριστική: το $(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})\vec{\gamma}$ είναι διάνυσμα παράλληλο στο $\vec{\gamma}$ , ενώ το $\vec{\alpha}(\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma})$ παράλληλο στο $\vec{\alpha}$ . Ούτε «διαγράφεται» διάνυσμα: από $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}$ δεν έπεται $\vec{\beta} = \vec{\gamma}$ , μόνο ότι $\vec{\alpha} \perp (\vec{\beta} - \vec{\gamma})$ .

Γρήγορος έλεγχος

Είναι τα διανύσματα $\vec{\alpha} = (2, -3)$ και $\vec{\beta} = (3, 2)$ :

Μέθοδος: υπολογισμός εσωτερικών γινομένων

Αν ξέρεις μέτρα και γωνία: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|\,\text{συν}\,\theta$ .
Αν ξέρεις συντεταγμένες: $x_1 x_2 + y_1 y_2$ .
Για σύνθετες παραστάσεις (π.χ. $(2\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} + \vec{\beta})$ ) κάνε επιμεριστική όπως στα πολυώνυμα και αντικατάστησε $\vec{\alpha}^{\,2} = |\vec{\alpha}|^2$ .
Για καθετότητα γράψε «εσωτερικό γινόμενο $= 0$ » και λύσε ως προς την παράμετρο.

Παράδειγμα 1: Αν $|\vec{\alpha}| = 2$ , $|\vec{\beta}| = 3$ και $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 120^\circ$ , να υπολογιστούν τα $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ και $(2\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} + \vec{\beta})$ .

Λύση: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 2 \cdot 3 \cdot \text{συν}\,120^\circ = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3$ .

$(2\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = 2\vec{\alpha}^{\,2} + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha} - \vec{\beta}^{\,2} = 2\vec{\alpha}^{\,2} + \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - \vec{\beta}^{\,2}$

$= 2 \cdot 4 + (-3) - 9 = -4$

Παράδειγμα 2: Δίνονται $\vec{\alpha} = (3, -1)$ και $\vec{\beta} = (2, 4)$ . Να βρεθεί το $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ και ο $\kappa$ ώστε το $\vec{\gamma} = (1, \kappa)$ να είναι κάθετο στο $\vec{\alpha}$ .

Λύση: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2$ . Η γωνία τους είναι οξεία, αφού το γινόμενο είναι θετικό.

$\vec{\gamma} \perp \vec{\alpha} \iff 3 \cdot 1 + (-1)\kappa = 0 \iff \kappa = 3$ . Έλεγχος: $(3, -1) \cdot (1, 3) = 3 - 3 = 0$ ✓

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται $\vec{\alpha} = (2, 1)$ και $\vec{\beta} = (-1, 3)$ .

(α) Να υπολογιστεί το $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ .

(β) Να υπολογιστεί το $(\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} + 2\vec{\beta})$ με δύο τρόπους.

(γ) Να βρεθεί ο $\kappa \in \mathbb{R}$ ώστε $(\vec{\alpha} + \kappa\vec{\beta}) \perp \vec{\alpha}$ .

Λύση:

(α) $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = -2 + 3 = 1$ .

(β) Με συντεταγμένες: $\vec{\alpha} - \vec{\beta} = (3, -2)$ , $\vec{\alpha} + 2\vec{\beta} = (0, 7)$ , άρα γινόμενο $0 - 14 = -14$ .

Με ιδιότητες: $\vec{\alpha}^{\,2} = 5$ , $\vec{\beta}^{\,2} = 10$ , οπότε $\vec{\alpha}^{\,2} + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 2\vec{\beta}^{\,2} = 5 + 1 - 20 = -14$ ✓

(γ) $(\vec{\alpha} + \kappa\vec{\beta}) \cdot \vec{\alpha} = \vec{\alpha}^{\,2} + \kappa\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 5 + \kappa = 0$ , άρα $\kappa = -5$ . Έλεγχος: $\vec{\alpha} - 5\vec{\beta} = (7, -14)$ και $(7, -14) \cdot (2, 1) = 14 - 14 = 0$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} < 0$ για μη μηδενικά $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , η γωνία τους $\theta$ ικανοποιεί:

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται το εσωτερικό τετράγωνο $\vec{\alpha}^{\,2}$ ;

Πρόκληση

Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της παράστασης $3x + 4y$ , όταν $x^2 + y^2 = 1$ ; Για ποια $(x, y)$ επιτυγχάνονται;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το «κόλπο» είναι να δεις την παράσταση ως εσωτερικό γινόμενο. Θέτουμε $\vec{u} = (x, y)$ και $\vec{v} = (3, 4)$ . Τότε $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$ , $|\vec{v}| = 5$ και

$3x + 4y = \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\text{συν}\,\theta = 5\,\text{συν}\,\theta$

Επειδή $-1 \le \text{συν}\,\theta \le 1$ , είναι $-5 \le 3x + 4y \le 5$ .

Μέγιστο $5$ όταν $\theta = 0$ , δηλαδή $\vec{u}$ ομόρροπο του $\vec{v}$ με μέτρο $1$ : $\vec{u} = \frac{1}{5}(3, 4) = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ . Έλεγχος: $\frac{9}{5} + \frac{16}{5} = 5$ ✓
Ελάχιστο $-5$ όταν $\theta = \pi$ : $\vec{u} = \left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$ .

Μια άσκηση «άλγεβρας» λύθηκε με μία γραμμή γεωμετρίας!

Συνηθισμένα λάθη

Το $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}$ ως διάνυσμα. Είναι αριθμός· γράφουμε $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 5$ , ποτέ $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{5}$ .
«Διαγραφή» διανύσματος. Από $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}$ δεν έπεται $\vec{\beta} = \vec{\gamma}$ · έπεται $\vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} - \vec{\gamma}) = 0$ .
Ξεχασμένο διπλό γινόμενο. $(\vec{\alpha} + \vec{\beta})^2 = |\vec{\alpha}|^2 + 2\,\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + |\vec{\beta}|^2$ , όχι $|\vec{\alpha}|^2 + |\vec{\beta}|^2$ (εκτός αν $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}$ ).
Ημίτονο αντί για συνημίτονο στον ορισμό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}|\,|\vec{\beta}|\,\text{συν}\,\theta$ — αριθμός.
$\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ · $\vec{\alpha}^{\,2} = |\vec{\alpha}|^2$ .
Αναλυτικά: $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ .
Αντιμεταθετική, επιμεριστική, $(\lambda\vec{\alpha}) \cdot \vec{\beta} = \lambda(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})$ · όχι προσεταιριστική, όχι διαγραφή.
$\vec{\alpha} \perp \vec{\beta} \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$ (όταν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης).