📐

Τριγωνομετρία Γωνίας 0°-180°

Αμβλείες γωνίες, παραπληρωματικές, ημ²ω + συν²ω = 1

Πού βρίσκεται η άκρη του γερανού;

Ο βραχίονας ενός γερανού μήκους $20$ m σηκώνεται: στις $60°$ , στις $90°$ και μετά γέρνει προς τα πίσω, στις $120°$ . Σε ποιο ύψος είναι η άκρη του, και πόσο μπροστά ή πίσω από τη βάση; Το ημίτονο δίνει το ύψος και το συνημίτονο την οριζόντια απόσταση. Όταν ο βραχίονας περάσει τις $90°$ , η οριζόντια απόσταση γίνεται «προς τα πίσω» — δηλαδή αρνητική. Εδώ βλέπεις γιατί.

Πέρα από τις 90°: ο νέος ορισμός

Στη Β' Γυμνασίου όρισες τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μόνο για οξείες γωνίες, μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο. Για να φτάσουμε ως τις $180°$ χρειαζόμαστε κάτι πιο ισχυρό: ένα σύστημα συντεταγμένων.

Τοποθετούμε την κορυφή της γωνίας $\omega$ στην αρχή των αξόνων $O$ , με τη μία πλευρά πάνω στον ημιάξονα $Ox$ . Πάνω στην άλλη πλευρά παίρνουμε ένα σημείο $M(x, y)$ σε απόσταση $\rho = OM$ από την αρχή. Τότε ορίζουμε:

$\eta\mu\omega = \frac{y}{\rho}$
$\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{x}{\rho}$
$\varepsilon\varphi\omega = \frac{y}{x}$ (εφόσον $x \neq 0$ )

Για $0° \leq \omega \leq 180°$ το σημείο $M$ κινείται στο πάνω ημιεπίπεδο, άρα $y \geq 0$ πάντα. Όταν όμως η $\omega$ γίνει αμβλεία, το $M$ περνά αριστερά του άξονα $y'y$ και το $x$ γίνεται αρνητικό: το $\eta\mu\omega$ μένει θετικό, ενώ $\sigma\upsilon\nu\omega < 0$ και $\varepsilon\varphi\omega < 0$ !

Στα «σύνορα» ισχύουν: $\eta\mu 0° = 0$ , $\sigma\upsilon\nu 0° = 1$ , $\eta\mu 90° = 1$ , $\sigma\upsilon\nu 90° = 0$ (η $\varepsilon\varphi 90°$ δεν ορίζεται), $\eta\mu 180° = 0$ , $\sigma\upsilon\nu 180° = -1$ .

Ήξερες ότι;

Η λατινική λέξη sinus (απ' όπου το αγγλικό sine) γεννήθηκε από ένα λάθος μετάφρασης! Οι Ινδοί μαθηματικοί ονόμαζαν το ημίτονο jya ή jiva («χορδή τόξου»). Οι Άραβες το έγραψαν jiba, αλλά επειδή τα αραβικά γράφονταν χωρίς φωνήεντα, αργότερα διαβάστηκε ως jaib («κόλπος, πτυχή»). Έτσι ένας μεταφραστής του $12$ ου αιώνα το απέδωσε στα λατινικά sinus, που σημαίνει ακριβώς «κόλπος».

Παράδειγμα (από το σημείο στους αριθμούς): Η τελική πλευρά μιας γωνίας $\omega$ περνά από το σημείο $M(-3, 4)$ . Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\omega$ και το είδος της.

Απόσταση από την αρχή, με το Πυθαγόρειο:

$\rho = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

Άρα:

$\eta\mu\omega = \frac{4}{5} \qquad \sigma\upsilon\nu\omega = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \qquad \varepsilon\varphi\omega = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

Αφού $x < 0$ , το $M$ είναι αριστερά του $y'y$ : η $\omega$ είναι αμβλεία — και πράγματι $\sigma\upsilon\nu\omega < 0$ , $\varepsilon\varphi\omega < 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για μια γωνία $\omega$ με $0° \leq \omega \leq 180°$ ισχύει $\sigma\upsilon\nu\omega < 0$ . Τι συμπεραίνουμε;

Σύρε τη γωνία πέρα από τις 90° και δες τι θα ανακαλύψεις: το ύψος (ημίτονο) μένει θετικό, ενώ η οριζόντια απόσταση (συνημίτονο) περνά στα αρνητικά.

$\eta\mu(180° - \omega) = \eta\mu\omega \qquad \sigma\upsilon\nu(180° - \omega) = -\sigma\upsilon\nu\omega \qquad \varepsilon\varphi(180° - \omega) = -\varepsilon\varphi\omega$

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου τη γωνία σαν δείκτη που γυρίζει πάνω σε ένα ημικύκλιο ακτίνας $1$ . Το ημίτονο είναι το ύψος της άκρης του — πάντα $\geq 0$ στο πάνω ημικύκλιο. Το συνημίτονο είναι η θέση δεξιά–αριστερά — αριστερά του κέντρου γίνεται αρνητικό. Οι γωνίες $\omega$ και $180° - \omega$ είναι συμμετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα: ίδιο ύψος, αντίθετη οριζόντια θέση.

Παράδειγμα: Να υπολογιστούν οι αριθμοί $\eta\mu 135°$ , $\sigma\upsilon\nu 120°$ και $\varepsilon\varphi 150°$ .

Κάθε αμβλεία γωνία γράφεται ως $180° - \omega$ με $\omega$ οξεία — και τις οξείες τις ξέρουμε απ' έξω!

$\eta\mu 135° = \eta\mu(180° - 45°) = \eta\mu 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sigma\upsilon\nu 120° = \sigma\upsilon\nu(180° - 60°) = -\sigma\upsilon\nu 60° = -\frac{1}{2}$
$\varepsilon\varphi 150° = \varepsilon\varphi(180° - 30°) = -\varepsilon\varphi 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Παρατήρησε το μοτίβο: το ημίτονο κρατά το πρόσημό του, ενώ συνημίτονο και εφαπτομένη αλλάζουν πρόσημο.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\eta\mu 120°$ ;

Οι βασικές ταυτότητες

Το σημείο $M(x, y)$ απέχει $\rho$ από την αρχή, οπότε το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει $x^2 + y^2 = \rho^2$ . Διαιρώντας με $\rho^2$ :

$\frac{x^2}{\rho^2} + \frac{y^2}{\rho^2} = 1$

Αναγνωρίζεις τα κλάσματα; Είναι το $\sigma\upsilon\nu^2\omega$ και το $\eta\mu^2\omega$ ! Έτσι γεννιέται η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ , που ισχύει για κάθε γωνία.

Η δεύτερη σχέση βγαίνει διαιρώντας τους ορισμούς: $\frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega} = \frac{y/\rho}{x/\rho} = \frac{y}{x} = \varepsilon\varphi\omega$ .

Με αυτές τις δύο σχέσεις, αν ξέρεις έναν τριγωνομετρικό αριθμό μιας γωνίας, βρίσκεις τους άλλους δύο. Μοναδική παγίδα: η τετραγωνική ρίζα δίνει δύο πρόσημα — διαλέγεις το σωστό από το είδος της γωνίας (οξεία ή αμβλεία).

$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1 \qquad \varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$

Μέθοδος: από έναν τριγωνομετρικό αριθμό στους άλλους

Από την $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ λύσε ως προς το τετράγωνο του αριθμού που δεν ξέρεις.
Βγάλε ρίζα: προκύπτουν δύο πρόσημα ( $\pm$ ).
Διάλεξε το πρόσημο από το είδος της γωνίας: σε οξεία όλα θετικά· σε αμβλεία $\eta\mu > 0$ , $\sigma\upsilon\nu < 0$ . (Το ημίτονο στο $[0°, 180°]$ είναι πάντα $\geq 0$ .)
Βρες την εφαπτομένη από την $\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ .
Έλεγξε πρόσημα και ότι $|\eta\mu\omega|, |\sigma\upsilon\nu\omega| \leq 1$ .

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Αν $\eta\mu\omega = \frac{3}{5}$ και $90° < \omega < 180°$ , να βρεθούν τα $\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\varepsilon\varphi\omega$ .

Από τη βασική ταυτότητα:

$\sigma\upsilon\nu^2\omega = 1 - \eta\mu^2\omega = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sigma\upsilon\nu\omega = \pm\frac{4}{5}$

Η γωνία είναι αμβλεία, άρα το συνημίτονο είναι αρνητικό: $\sigma\upsilon\nu\omega = -\frac{4}{5}$ .

Για την εφαπτομένη:

$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Έλεγχος λογικής: αμβλεία γωνία → $\eta\mu > 0$ , $\sigma\upsilon\nu < 0$ , $\varepsilon\varphi < 0$ . ✓

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\eta\mu\omega = 0{,}6$ και η $\omega$ είναι οξεία, πόσο είναι το $\sigma\upsilon\nu\omega$ ;

Παράδειγμα 3 (τύπου διαγωνίσματος): (α) Να υπολογιστεί η $A = \eta\mu 150° + \sigma\upsilon\nu 120° + \varepsilon\varphi 135°$ . (β) Να αποδειχθεί ότι $(\eta\mu\omega + \sigma\upsilon\nu\omega)^2 + (\eta\mu\omega - \sigma\upsilon\nu\omega)^2 = 2$ για κάθε γωνία $\omega$ .

(α) Κάθε αμβλεία ως $180° - \text{οξεία}$ :

$\eta\mu 150° = \eta\mu 30° = \frac{1}{2}$
$\sigma\upsilon\nu 120° = -\sigma\upsilon\nu 60° = -\frac{1}{2}$
$\varepsilon\varphi 135° = -\varepsilon\varphi 45° = -1$

Άρα $A = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = -1$ .

(β) Με τις ταυτότητες $(\alpha \pm \beta)^2$ :

$(\eta\mu^2\omega + 2\eta\mu\omega\sigma\upsilon\nu\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega) + (\eta\mu^2\omega - 2\eta\mu\omega\sigma\upsilon\nu\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega)$

Τα διπλά γινόμενα αλληλοαναιρούνται και μένει $2(\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega) = 2 \cdot 1 = 2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\sigma\upsilon\nu 150°$ ;

Στρατηγική δύο βημάτων για κάθε αμβλεία γωνία: 1) γράψε την ως $180° - \omega$ με $\omega$ οξεία, 2) αποφάσισε το πρόσημο με τον κανόνα «μόνο το ημίτονο μένει θετικό». Και σε κάθε άσκηση με ταυτότητες, πριν γράψεις αποτέλεσμα ρίξε μια ματιά στο διάστημα της γωνίας — το λάθος πρόσημο στο $\sigma\upsilon\nu\omega$ είναι ο πιο συχνός λόγος χαμένων μονάδων στο κεφάλαιο.

Πρόκληση

Για μια γωνία $\omega$ με $0° < \omega < 180°$ ισχύει $\eta\mu\omega + \sigma\upsilon\nu\omega = \frac{1}{5}$ . Να βρεθούν τα $\eta\mu\omega$ , $\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\varepsilon\varphi\omega$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Από τη δεδομένη σχέση, $\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{1}{5} - \eta\mu\omega$ . Αντικαθιστούμε στην ταυτότητα $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ και γράφουμε $t = \eta\mu\omega$ :

$t^2 + \left(\frac{1}{5} - t\right)^2 = 1 \Rightarrow t^2 + \frac{1}{25} - \frac{2t}{5} + t^2 = 1$

Πολλαπλασιάζουμε με $25$ : $50t^2 - 10t + 1 = 25 \Rightarrow 50t^2 - 10t - 24 = 0 \Rightarrow 25t^2 - 5t - 12 = 0$ .

Διακρίνουσα: $\Delta = 25 + 4 \cdot 25 \cdot 12 = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$ , άρα

$t = \frac{5 \pm 35}{50} \Rightarrow t = \frac{4}{5} \;\text{ ή }\; t = -\frac{3}{5}$

Αφού $0° < \omega < 180°$ , είναι $\eta\mu\omega > 0$ , οπότε $\eta\mu\omega = \frac{4}{5}$ . Τότε $\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$ και $\varepsilon\varphi\omega = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$ .

Έλεγχος: $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ ✓. Το $\sigma\upsilon\nu\omega < 0$ μάς λέει κάτι ακόμη: η $\omega$ είναι αμβλεία.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένο πρόσημο: $\sigma\upsilon\nu(180° - \omega) = -\sigma\upsilon\nu\omega$ και $\varepsilon\varphi(180° - \omega) = -\varepsilon\varphi\omega$ — μόνο το ημίτονο μένει ίδιο.
Ταυτότητα με διαφορετικές γωνίες: το $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ ισχύει για την ίδια γωνία. Π.χ. $\eta\mu^2 30° + \sigma\upsilon\nu^2 60° = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .
Η $\varepsilon\varphi 90°$ «υπάρχει»: δεν ορίζεται, γιατί $\sigma\upsilon\nu 90° = 0$ και η διαίρεση με μηδέν δεν γίνεται.
Αρνητικό ημίτονο: αν σου βγει $\eta\mu\omega < 0$ για γωνία από $0°$ ως $180°$ , κάπου έγινε λάθος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Με $M(x, y)$ στην τελική πλευρά και $\rho = OM = \sqrt{x^2 + y^2}$ : $\eta\mu\omega = \frac{y}{\rho}$ , $\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{x}{\rho}$ , $\varepsilon\varphi\omega = \frac{y}{x}$ .
Αμβλεία: $\eta\mu > 0$ , $\sigma\upsilon\nu < 0$ , $\varepsilon\varphi < 0$ .
$\eta\mu(180° - \omega) = \eta\mu\omega$ , $\sigma\upsilon\nu(180° - \omega) = -\sigma\upsilon\nu\omega$ , $\varepsilon\varphi(180° - \omega) = -\varepsilon\varphi\omega$ .
$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$ · $\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ .
$\eta\mu 0° = \eta\mu 180° = 0$ , $\sigma\upsilon\nu 0° = 1$ , $\sigma\upsilon\nu 180° = -1$ , $\eta\mu 90° = 1$ , $\sigma\upsilon\nu 90° = 0$ , η $\varepsilon\varphi 90°$ δεν ορίζεται.

Πέρα από τις 90°: ο νέος ορισμός

Στη Β' Γυμνασίου όρισες τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μόνο για οξείες γωνίες, μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο. Για να φτάσουμε ως τις

180°

χρειαζόμαστε κάτι πιο ισχυρό: ένα σύστημα συντεταγμένων.

Τοποθετούμε την κορυφή της γωνίας

\omega

στην αρχή των αξόνων

O

, με τη μία πλευρά πάνω στον ημιάξονα

Ox

. Πάνω στην άλλη πλευρά παίρνουμε ένα σημείο

M(x, y)

σε απόσταση

\rho = OM

από την αρχή. Τότε ορίζουμε:

\eta\mu\omega = \frac{y}{\rho}

\sigma\upsilon\nu\omega = \frac{x}{\rho}

\varepsilon\varphi\omega = \frac{y}{x}

(εφόσον

x \neq 0

)

Για

0° \leq \omega \leq 180°

το σημείο

M

κινείται στο πάνω ημιεπίπεδο, άρα

y \geq 0

πάντα. Όταν όμως η

\omega

γίνει αμβλεία, το

M

περνά αριστερά του άξονα

y'y

και το

x

γίνεται αρνητικό: το

\eta\mu\omega

μένει θετικό, ενώ

\sigma\upsilon\nu\omega < 0

και

\varepsilon\varphi\omega < 0

Στα «σύνορα» ισχύουν:

\eta\mu 0° = 0

\sigma\upsilon\nu 0° = 1

\eta\mu 90° = 1

\sigma\upsilon\nu 90° = 0

(η

\varepsilon\varphi 90°

δεν ορίζεται),

\eta\mu 180° = 0

\sigma\upsilon\nu 180° = -1

Οι βασικές ταυτότητες

Το σημείο

M(x, y)

απέχει

\rho

από την αρχή, οπότε το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει

x^2 + y^2 = \rho^2

. Διαιρώντας με

\rho^2

\frac{x^2}{\rho^2} + \frac{y^2}{\rho^2} = 1

Αναγνωρίζεις τα κλάσματα; Είναι το

\sigma\upsilon\nu^2\omega

και το

\eta\mu^2\omega

! Έτσι γεννιέται η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα

\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1

, που ισχύει για κάθε γωνία.

Η δεύτερη σχέση βγαίνει διαιρώντας τους ορισμούς:

\frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega} = \frac{y/\rho}{x/\rho} = \frac{y}{x} = \varepsilon\varphi\omega