➕

Πρόσθεση & Αφαίρεση Διανυσμάτων

Κανόνας τριγώνου και παραλληλογράμμου, ιδιότητες, διάνυσμα θέσης, μέτρο αθροίσματος

Γιατί ο κολυμβητής δεν βγαίνει ακριβώς απέναντι;

Κολυμπάς κάθετα προς την όχθη ενός ποταμού, όμως το ρεύμα σε παρασύρει προς τα κάτω. Στο τέλος βγαίνεις λοξά, πιο κάτω απ' όσο υπολόγιζες. Η πραγματική σου κίνηση είναι το άθροισμα δύο διανυσμάτων — της δικής σου ταχύτητας και της ταχύτητας του νερού. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να τα προσθέτεις και να τα αφαιρείς σωστά.

Πρόσθεση διανυσμάτων

Για να προσθέσεις δύο διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ , πάρε ένα σημείο $O$ και σχεδίασε $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ . Μετά σχεδίασε $\overrightarrow{AM} = \vec{\beta}$ με αρχή το πέρας του πρώτου. Το διάνυσμα $\overrightarrow{OM}$ λέγεται άθροισμα:

$\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM}$

Αυτός είναι ο κανόνας του τριγώνου: το δεύτερο βέλος ξεκινά εκεί που τελειώνει το πρώτο. Μπορείς επίσης να βάλεις τα δύο διανύσματα σε κοινή αρχή $O$ ( $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ ). Τότε το άθροισμα είναι η διαγώνιος $\overrightarrow{OM}$ του παραλληλογράμμου $OAMB$ . Αυτός είναι ο κανόνας του παραλληλογράμμου, που ξέρεις από τη σύνθεση δυνάμεων στη Φυσική.

Το άθροισμα δεν εξαρτάται από την επιλογή του $O$ .

Ήξερες ότι;

Ο κανόνας του παραλληλογράμμου υπάρχει ήδη στα Principia του Νεύτωνα (1687), ως Πόρισμα Ι των νόμων της κίνησης: ένα σώμα που δέχεται ταυτόχρονα δύο δυνάμεις διαγράφει τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν. Τα διανύσματα προστίθενταν στη Φυσική πολύ πριν αποκτήσουν όνομα στα Μαθηματικά.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

Για οποιαδήποτε διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ :

$\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{\beta} + \vec{\alpha}$ (αντιμεταθετική)
$(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) + \vec{\gamma} = \vec{\alpha} + (\vec{\beta} + \vec{\gamma})$ (προσεταιριστική)
$\vec{\alpha} + \vec{0} = \vec{\alpha}$
$\vec{\alpha} + (-\vec{\alpha}) = \vec{0}$

Χάρη στην προσεταιριστική γράφουμε αθροίσματα πολλών διανυσμάτων χωρίς παρενθέσεις. Αλυσίδα «κεφαλή–ουρά» δίνει το διάνυσμα από την πρώτη αρχή στο τελευταίο πέρας:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} = \overrightarrow{A\Delta}, \qquad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma A} = \vec{0}$

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά ορίζεται μέσω του αντιθέτου:

$\vec{\alpha} - \vec{\beta} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta})$

Γεωμετρικά, αν $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ έχουν κοινή αρχή, τότε $\vec{\alpha} - \vec{\beta} = \overrightarrow{BA}$ : η άλλη διαγώνιος του παραλληλογράμμου, με φορά από το πέρας του $\vec{\beta}$ προς το πέρας του $\vec{\alpha}$ .

Η εξίσωση $\vec{\beta} + \vec{x} = \vec{\alpha}$ έχει μοναδική λύση $\vec{x} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}$ — «μεταφέρουμε» διανύσματα από μέλος σε μέλος όπως στους αριθμούς.

Σύρε τις μύτες των α και β και δες το άθροισμα ως διαγώνιο του παραλληλογράμμου· μετά γύρισε σε «Διαφορά» για να δεις την άλλη διαγώνιο.

Διάνυσμα θέσης

Σταθεροποιούμε ένα σημείο αναφοράς $O$ . Για κάθε σημείο $M$ το $\overrightarrow{OM}$ λέγεται διάνυσμα θέσης (ή διανυσματική ακτίνα) του $M$ . Κάθε διάνυσμα γράφεται ως διαφορά διανυσμάτων θέσης, πέρας μείον αρχή:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τα γράμματα σαν κρίκους αλυσίδας: στο $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{A\Gamma}$ το «εσωτερικό» $B$ κόβεται και μένουν η πρώτη αρχή και το τελευταίο πέρας. Για τη διαφορά με διανύσματα θέσης θυμήσου «τέλος μείον αρχή»: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ .

Μέτρο αθροίσματος

Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο του κανόνα προκύπτει:

$\big|\,|\vec{\alpha}| - |\vec{\beta}|\,\big| \le |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \le |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$

Η δεξιά ισότητα ισχύει μόνο όταν τα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ είναι ομόρροπα.
Η αριστερή ισότητα ισχύει μόνο όταν είναι αντίρροπα.

Γενικά λοιπόν $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \ne |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$ .

Γρήγορος έλεγχος

Με σημείο αναφοράς $O$ , το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ ισούται με:

Μέθοδος: απόδειξη διανυσματικής ισότητας

Μάζεψε όλα τα διανύσματα σε ένα μέλος ή σύγκρινε τα δύο μέλη ξεχωριστά.
Τρόπος Α (σημείο αναφοράς): γράψε κάθε $\overrightarrow{XY}$ ως $\overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$ και απλοποίησε.
Τρόπος Β (ενδιάμεσο σημείο): «σπάσε» ένα διάνυσμα, π.χ. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma B}$ , ώστε να εμφανιστούν τα διανύσματα του άλλου μέλους.
Χρησιμοποίησε $-\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{YX}$ για να σχηματίσεις αλυσίδες «κεφαλή–ουρά».

Παράδειγμα 1: Να απλοποιηθεί η παράσταση $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{\Gamma B} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} - \overrightarrow{E\Delta}$ .

Λύση: Αντικαθιστούμε τις διαφορές με αντίθετα: $-\overrightarrow{\Gamma B} = \overrightarrow{B\Gamma}$ και $-\overrightarrow{E\Delta} = \overrightarrow{\Delta E}$ . Τότε:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} + \overrightarrow{\Delta E} = \overrightarrow{AE}$

αφού κάθε διάνυσμα αρχίζει εκεί που τελειώνει το προηγούμενο.

Παράδειγμα 2: Για οποιαδήποτε σημεία $A, B, \Gamma, \Delta$ να αποδειχθεί ότι $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} = \overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Gamma B}$ .

Λύση (σημείο αναφοράς $O$ ):

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{O\Delta} - \overrightarrow{O\Gamma})$

$\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Gamma B} = (\overrightarrow{O\Delta} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{O\Gamma})$

Τα δύο δεύτερα μέλη περιέχουν ακριβώς τους ίδιους όρους, άρα είναι ίσα.

Λύση (ενδιάμεσο σημείο): $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Delta B}$ , οπότε το πρώτο μέλος γίνεται $\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} + \overrightarrow{\Delta B} = \overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Gamma B}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ , με τι ισούται το $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A\Delta}$ ;

Παράδειγμα 3: Αν $|\vec{\alpha}| = 3$ και $|\vec{\beta}| = 5$ , μεταξύ ποιων τιμών κινείται το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ ; Πότε παίρνει τη μέγιστη και πότε την ελάχιστη τιμή;

Λύση:

$|3 - 5| \le |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \le 3 + 5 \Rightarrow 2 \le |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \le 8$

Μέγιστη τιμή $8$ όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα (τα μήκη προστίθενται).
Ελάχιστη τιμή $2$ όταν είναι αντίρροπα (το ένα «τρώει» το άλλο).

Για κάθε ενδιάμεση γωνία παίρνουμε ενδιάμεση τιμή — π.χ. για κάθετα διανύσματα, από το Πυθαγόρειο, $\sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται σημεία $A, B, \Gamma, \Delta$ , όχι όλα συνευθειακά, με $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{A\Gamma}$ .

(α) Να αποδειχθεί ότι το $AB\Gamma\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο.

(β) Αν επιπλέον $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A\Delta}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta}|$ , τι είδους παραλληλόγραμμο είναι;

Λύση:

(α) Μεταφέρουμε το $\overrightarrow{AB}$ στο δεύτερο μέλος: $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{A\Gamma} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B\Gamma}$ . Από $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma}$ το $A\Delta\Gamma B$ — δηλαδή το $AB\Gamma\Delta$ — είναι παραλληλόγραμμο.

(β) Είναι $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{A\Gamma}$ και $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{\Delta B}$ . Η συνθήκη γίνεται $(A\Gamma) = (B\Delta)$ : οι διαγώνιοι είναι ίσες, άρα το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

Γρήγορος έλεγχος

Αν $|\vec{\alpha}| = 4$ και $|\vec{\beta}| = 7$ , ποια τιμή δεν μπορεί να πάρει το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|$ ;

Πρόκληση

Τρία «βέλη» έχουν όλα μήκος $1$ : $|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 1$ . Πόσο είναι το $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}|$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Παίρνουμε $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο $OA\Gamma B$ , οπότε $\overrightarrow{O\Gamma} = \vec{\alpha} + \vec{\beta}$ και $\overrightarrow{BA} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}$ .

Επειδή $(OA) = (OB) = 1$ , το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος πλευράς $1$ .
Η διαγώνιος $(O\Gamma) = 1$ , άρα το τρίγωνο $OA\Gamma$ είναι ισόπλευρο.
Στον ρόμβο οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα στο μέσο τους $K$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OKA$ : $(OK) = \frac{1}{2}$ , $(OA) = 1$ , άρα $(KA) = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Η άλλη διαγώνιος είναι $(AB) = 2(KA) = \sqrt{3}$ .

Απάντηση: $|\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = \sqrt{3}$ — το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων ίδιου μήκους μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικά μέτρα!

Συνηθισμένα λάθη

«Αρχή μείον πέρας». $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ , όχι το αντίστροφο. Διάβασέ το: «για να πας από το $A$ στο $B$ , φύγε από το $A$ (−) και πήγαινε στο $B$ (+)».
Κανόνας τριγώνου χωρίς «ταύτιση». Το $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ δεν απλοποιείται σε ένα διάνυσμα αν $B \ne \Gamma$ · πρώτα φέρε τα σε αλυσίδα.
Μέτρα που προστίθενται. Το $|\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$ ισχύει μόνο για ομόρροπα διανύσματα.
Σύγχυση διαγωνίων. Με κοινή αρχή, το άθροισμα είναι η διαγώνιος από την κοινή αρχή, η διαφορά η άλλη διαγώνιος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κανόνας τριγώνου: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{A\Gamma}$ · κανόνας παραλληλογράμμου για κοινή αρχή.
Αντιμεταθετική, προσεταιριστική, $\vec{\alpha} + \vec{0} = \vec{\alpha}$ , $\vec{\alpha} + (-\vec{\alpha}) = \vec{0}$ .
$\vec{\alpha} - \vec{\beta} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta})$ · με κοινή αρχή, $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ .
Διάνυσμα θέσης: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ (πέρας μείον αρχή).
$\big||\vec{\alpha}| - |\vec{\beta}|\big| \le |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \le |\vec{\alpha}| + |\vec{\beta}|$ .

Πρόσθεση διανυσμάτων

Για να προσθέσεις δύο διανύσματα

\vec{\alpha}

και

\vec{\beta}

, πάρε ένα σημείο

O

και σχεδίασε

\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}

. Μετά σχεδίασε

\overrightarrow{AM} = \vec{\beta}

με αρχή το πέρας του πρώτου. Το διάνυσμα

\overrightarrow{OM}

λέγεται άθροισμα:

\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM}

Αυτός είναι ο κανόνας του τριγώνου: το δεύτερο βέλος ξεκινά εκεί που τελειώνει το πρώτο. Μπορείς επίσης να βάλεις τα δύο διανύσματα σε κοινή αρχή

O

(

\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}

\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}

). Τότε το άθροισμα είναι η διαγώνιος

\overrightarrow{OM}

του παραλληλογράμμου

OAMB

. Αυτός είναι ο κανόνας του παραλληλογράμμου, που ξέρεις από τη σύνθεση δυνάμεων στη Φυσική.

Το άθροισμα δεν εξαρτάται από την επιλογή του

O