📈

Εξίσωση Ευθείας

Γωνία και συντελεστής διεύθυνσης ευθείας, παράλληλες και κάθετες, y − y₀ = λ(x − x₀), κατακόρυφες

Γιατί η ευθεία είναι το πιο χρήσιμο «μοντέλο»;

Φαντάσου ένα ταξί που χρεώνει $3{,}5$ € σημαία και $0{,}8$ € το χιλιόμετρο. Το κόστος για $x$ km είναι $y = 0{,}8x + 3{,}5$ — μια ευθεία με κλίση $0{,}8$ . Τέτοιες σχέσεις «σταθερού ρυθμού» είναι παντού: λογαριασμοί, ταχύτητες, κλίσεις δρόμων. Εδώ μαθαίνεις να γράφεις την εξίσωση κάθε ευθείας από ένα σημείο και μια κλίση.

Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας

Πάρε μια ευθεία $\varepsilon$ που τέμνει τον άξονα $x'x$ . Στρίψε τον ημιάξονα $Ox$ αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι να συμπέσει με την $\varepsilon$ . Η γωνία $\omega$ που διαγράφει λέγεται γωνία της ευθείας με τον $x'x$ ( $0 \le \omega < \pi$ · για ευθεία παράλληλη στον $x'x$ θέτουμε $\omega = 0$ ).

Αν $\omega \ne 90^\circ$ , ο αριθμός $\lambda = \text{εφ}\,\omega$ λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας — ίδιος με τον συντελεστή κάθε διανύσματος παράλληλου σε αυτήν. Αν η ευθεία διέρχεται από τα $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \ne x_2$ , τότε, αφού $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ :

Σύρε τα A και B και δες πώς αλλάζουν ο λ και η εξίσωση· μετά άνοιξε «Κάθετη» και έλεγξε ότι λ·λ′ = −1.

$\lambda = \text{εφ}\,\omega = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$\lambda > 0$ : η ευθεία «ανεβαίνει» (οξεία $\omega$ )· $\lambda < 0$ : «κατεβαίνει» (αμβλεία $\omega$ )· $\lambda = 0$ : οριζόντια.
Κατακόρυφη ευθεία ( $\omega = 90^\circ$ ): δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης.
Για ευθείες με συντελεστές $\lambda_1$ , $\lambda_2$ :

$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \iff \lambda_1 = \lambda_2, \qquad \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \iff \lambda_1\lambda_2 = -1$

Κόλπο μνήμης

Για κάθετες ευθείες: «αντίστροφο και αλλαγή προσήμου». Αν $\lambda_1 = 2$ , τότε $\lambda_2 = -\frac{1}{2}$ · αν $\lambda_1 = -\frac{3}{4}$ , τότε $\lambda_2 = \frac{4}{3}$ . Για παράλληλες: ίδιο $\lambda$ , σαν δύο ράγες τρένου.

Ήξερες ότι;

Η Baldwin Street στο Dunedin της Νέας Ζηλανδίας αναγνωρίζεται από τα Guinness World Records ως ο πιο απότομος οικιστικός δρόμος στον κόσμο, με κλίση περίπου $35\%$ . Δηλαδή $\lambda \approx 0{,}35$ και $\omega \approx 19^\circ$ — μια γωνία που στο χαρτί μοιάζει μικρή, αλλά με τα πόδια είναι πολύ απότομη!

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα $A(1, 2)$ και $B(3, 8)$ ;

Εξίσωση ευθείας

Η ευθεία που διέρχεται από το $A(x_0, y_0)$ και έχει συντελεστή $\lambda$ αποτελείται από τα σημεία $M(x, y)$ για τα οποία $\overrightarrow{AM} = (x - x_0, y - y_0)$ έχει συντελεστή $\lambda$ (ή $M = A$ ):

$\varepsilon:\ y - y_0 = \lambda(x - x_0)$

Ειδικές μορφές:

Από δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \ne x_2$ : $y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ .
Κατακόρυφη από το $A(x_0, y_0)$ : $x = x_0$ (αν $x_1 = x_2$ , η $AB$ είναι η $x = x_1$ ).
Οριζόντια: $y = y_0$ .
Μορφή $y = \lambda x + \beta$ , όπου $\beta$ η τεταγμένη του σημείου τομής με τον $y'y$ — η γνωστή γραμμική συνάρτηση.
Από την αρχή $O$ : $y = \lambda x$ · διχοτόμοι των αξόνων: $y = x$ και $y = -x$ .

Μέθοδος: εύρεση εξίσωσης ευθείας

Βρες ένα σημείο $A(x_0, y_0)$ της ευθείας.
Βρες τον συντελεστή $\lambda$ : από δύο σημεία, από παράλληλη ( $\lambda = \lambda_1$ ), από κάθετη ( $\lambda = -\frac{1}{\lambda_1}$ ) ή από γωνία ( $\lambda = \text{εφ}\,\omega$ ).
Γράψε $y - y_0 = \lambda(x - x_0)$ και φέρε τη σε μορφή $y = \lambda x + \beta$ .
Έλεγξε ότι το δοσμένο σημείο επαληθεύει· σκέψου αν υπάρχει και κατακόρυφη λύση ( $x = x_0$ ), που χάνεται με τον $\lambda$ .

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το $A(2, -1)$ και είναι παράλληλη στην $y = 3x + 5$ .

Λύση: Παράλληλη ⇒ $\lambda = 3$ . Άρα $y + 1 = 3(x - 2)$ , δηλαδή $y = 3x - 7$ . Έλεγχος: $3 \cdot 2 - 7 = -1$ ✓

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας $AB$ με $A(1, 4)$ , $B(3, -2)$ και η εξίσωση της κάθετης σε αυτήν από το $P(4, 1)$ .

Λύση: $\lambda_{AB} = \frac{-2 - 4}{3 - 1} = -3$ , οπότε $y - 4 = -3(x - 1)$ , δηλαδή $y = -3x + 7$ . Έλεγχος στο $B$ : $-9 + 7 = -2$ ✓

Κάθετη: $\lambda = \frac{1}{3}$ (αφού $-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$ ). Άρα $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 4)$ , δηλαδή $y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια ευθεία διέρχεται από την αρχή $O$ και σχηματίζει με τον $x'x$ γωνία $135^\circ$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο με κορυφές $A(0, 4)$ , $B(-2, 0)$ , $\Gamma(6, 0)$ .

(α) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους από την κορυφή $\Gamma$ .

(β) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου από την κορυφή $B$ .

(γ) Να βρεθεί το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου.

Λύση:

(α) $\lambda_{AB} = \frac{0 - 4}{-2 - 0} = 2$ , άρα το ύψος (κάθετο στην $AB$ ) έχει $\lambda = -\frac{1}{2}$ και διέρχεται από το $\Gamma(6, 0)$ : $y = -\frac{1}{2}(x - 6)$ , δηλαδή $y = -\frac{1}{2}x + 3$ .

(β) Μέσο της $A\Gamma$ : $M(3, 2)$ . $\lambda_{BM} = \frac{2 - 0}{3 - (-2)} = \frac{2}{5}$ , άρα $y = \frac{2}{5}(x + 2)$ .

(γ) Η $B\Gamma$ είναι ο άξονας $x'x$ (οριζόντια), άρα το ύψος από το $A$ είναι κατακόρυφο: $x = 0$ . Τομή με το ύψος του (α): $x = 0 \Rightarrow y = 3$ , άρα $H(0, 3)$ .

Έλεγχος με το τρίτο ύψος: $\lambda_{A\Gamma} = \frac{0 - 4}{6 - 0} = -\frac{2}{3}$ , ύψος από $B$ με $\lambda = \frac{3}{2}$ : $y = \frac{3}{2}(x + 2)$ , που για $x = 0$ δίνει $y = 3$ ✓ (τα τρία ύψη συντρέχουν — ορθόκεντρο).

Γρήγορος έλεγχος

Η ευθεία που είναι κάθετη στην $y = -\frac{1}{3}x + 2$ έχει συντελεστή διεύθυνσης:

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η ευθεία που διέρχεται από το $A(2, 5)$ και είναι κάθετη στον άξονα $x'x$ ;

Πρόκληση

Μια φωτεινή ακτίνα ξεκινά από το $A(1, 3)$ , ανακλάται σε έναν καθρέφτη που βρίσκεται πάνω στον άξονα $x'x$ και περνά από το $B(5, 1)$ . Σε ποιο σημείο $P$ του καθρέφτη χτυπά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Κατά την ανάκλαση η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης, οπότε η ανακλώμενη ακτίνα φαίνεται να έρχεται από το συμμετρικό του $A$ ως προς τον $x'x$ : $A'(1, -3)$ . Άρα το $P$ είναι η τομή της $A'B$ με τον $x'x$ .

$\lambda_{A'B} = \frac{1 - (-3)}{5 - 1} = 1$ , οπότε $A'B:\ y + 3 = 1 \cdot (x - 1)$ , δηλαδή $y = x - 4$ .
Για $y = 0$ : $x = 4$ , άρα $P(4, 0)$ .

Έλεγχος: $\lambda_{AP} = \frac{0 - 3}{4 - 1} = -1$ και $\lambda_{PB} = \frac{1 - 0}{5 - 4} = 1$ . Οι δύο κλίσεις είναι αντίθετες, άρα οι ευθείες σχηματίζουν ίσες γωνίες με τον καθρέφτη ✓

Μπόνους: το $P$ δίνει και τη συντομότερη διαδρομή $A \to$ άξονας $\to B$ , γιατί $(AP) + (PB) = (A'P) + (PB) = (A'B)$ , το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος.

Συνηθισμένα λάθη

Κατακόρυφη ευθεία με $\lambda = 0$ . Η $x = x_0$ δεν έχει συντελεστή· $\lambda = 0$ έχει η οριζόντια $y = y_0$ .
Ανάποδο κλάσμα. $\lambda = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , με την ίδια σειρά σημείων σε αριθμητή και παρονομαστή.
Κάθετες με $\lambda_1\lambda_2 = -1$ όταν η μία είναι κατακόρυφη. Κατακόρυφη και οριζόντια είναι κάθετες χωρίς να ισχύει η σχέση — έλεγξε πρώτα αν ορίζονται οι συντελεστές.
Χαμένη κατακόρυφη λύση. Όταν ψάχνεις «ευθεία από το $A$ με την ιδιότητα…», γράφοντας $y - y_0 = \lambda(x - x_0)$ αγνοείς την $x = x_0$ · εξέτασέ τη χωριστά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\lambda = \text{εφ}\,\omega = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ · η κατακόρυφη δεν έχει $\lambda$ .
$\varepsilon: y - y_0 = \lambda(x - x_0)$ , ή $y = \lambda x + \beta$ · κατακόρυφη $x = x_0$ , οριζόντια $y = y_0$ .
Παράλληλες: $\lambda_1 = \lambda_2$ · κάθετες: $\lambda_1\lambda_2 = -1$ .
Διχοτόμοι αξόνων: $y = x$ και $y = -x$ .

Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας

Πάρε μια ευθεία

\varepsilon

που τέμνει τον άξονα

x'x

. Στρίψε τον ημιάξονα

Ox

αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι να συμπέσει με την

\varepsilon

. Η γωνία

\omega

που διαγράφει λέγεται γωνία της ευθείας με τον

x'x

(

0 \le \omega < \pi

· για ευθεία παράλληλη στον

x'x

θέτουμε

\omega = 0

Αν

\omega \ne 90^\circ

, ο αριθμός

\lambda = \text{εφ}\,\omega

λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας — ίδιος με τον συντελεστή κάθε διανύσματος παράλληλου σε αυτήν. Αν η ευθεία διέρχεται από τα

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

με

x_1 \ne x_2

, τότε, αφού

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)