🎯

Γενική Εξίσωση Κύκλου & Σχετικές Θέσεις

x² + y² + Ax + By + Γ = 0, συνθήκη A² + B² − 4Γ > 0, θέση ευθείας και κύκλου, μήκος χορδής

Θα «δει» το ραντάρ το πλοίο;

Ένα ραντάρ στο σημείο $K$ έχει εμβέλεια $10\ \text{km}$ και ένα πλοίο κινείται σε ευθεία πορεία. Θα εμφανιστεί ποτέ στην οθόνη; Δεν χρειάζεται να λύσεις σύστημα: αρκεί να συγκρίνεις την απόσταση του $K$ από την πορεία με την ακτίνα. Εδώ μαθαίνεις και να «ξεμασκαρεύεις» κύκλους κρυμμένους σε εξισώσεις όπως $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ .

Η εξίσωση $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$

Αν αναπτύξεις την $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$ , παίρνεις μια εξίσωση της μορφής $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$ . Ισχύει όμως και το αντίστροφο; Είναι κάθε τέτοια εξίσωση κύκλος; Η απάντηση βγαίνει με συμπλήρωση τετραγώνων:

$\left(x + \frac{A}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{B}{2}\right)^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4\Gamma}{4}$

Άρα:

Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$ : κύκλος με κέντρο και ακτίνα όπως παρακάτω.
Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 0$ : ένα μόνο σημείο, το $K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ .
Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma < 0$ : κανένα σημείο (άθροισμα τετραγώνων δεν γίνεται αρνητικό).

$x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0,\ A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0:\quad K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right),\quad \rho = \frac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4\Gamma}}{2}$

Κόλπο μνήμης

Η ποσότητα $A^2 + B^2 - 4\Gamma$ δουλεύει σαν διακρίνουσα: θετική → κύκλος, μηδέν → ένα σημείο (κύκλος «ακτίνας $0$ »), αρνητική → τίποτα. Και το κέντρο; «Μισό και αλλαγή προσήμου»: $K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ .

Προϋπόθεση: οι συντελεστές των $x^2$ και $y^2$ είναι ίσοι και δεν υπάρχει όρος $xy$ . Αν είναι ίσοι αλλά όχι $1$ (π.χ. $2x^2 + 2y^2 - 4x = 0$ ), διαιρούμε πρώτα με αυτόν.

Ήξερες ότι;

Ανάμεσα σε όλες τις κλειστές καμπύλες με το ίδιο μήκος, ο κύκλος περικλείει το μεγαλύτερο εμβαδόν (ισοπεριμετρική ιδιότητα). Το ήξεραν οι αρχαίοι Έλληνες — ο Ζηνόδωρος το απέδειξε για πολύγωνα — όμως μια πλήρως αυστηρή απόδειξη δόθηκε μόλις τον 19ο αιώνα.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου $x^2 + y^2 + 8x - 2y = 0$ ;

Σχετική θέση ευθείας και κύκλου

Για κύκλο $C(K, \rho)$ και ευθεία $\varepsilon$ , συγκρίνουμε την απόσταση $d = d(K, \varepsilon)$ με την ακτίνα:

$d > \rho$ : η ευθεία είναι εξωτερική — κανένα κοινό σημείο.
$d = \rho$ : η ευθεία εφάπτεται — ένα κοινό σημείο.
$d < \rho$ : η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Η χορδή που ορίζεται έχει μήκος (από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο κέντρο–μέσο χορδής–άκρο):

$\ell = 2\sqrt{\rho^2 - d^2}$

Εναλλακτικά λύνουμε το σύστημα ευθείας–κύκλου: αντικατάσταση δίνει εξίσωση β΄ βαθμού με $\Delta < 0$ , $\Delta = 0$ ή $\Delta > 0$ αντίστοιχα.

Μέθοδος: ασκήσεις με γενική εξίσωση κύκλου

Αν οι συντελεστές των $x^2$ , $y^2$ δεν είναι $1$ , διαίρεσε.
Υπολόγισε $A^2 + B^2 - 4\Gamma$ και έλεγξε ότι είναι θετικό (σε ασκήσεις με παράμετρο αυτό δίνει συνθήκη).
Βρες κέντρο $K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ και ακτίνα — ή κάνε απευθείας συμπλήρωση τετραγώνων.
Για θέση ευθείας: υπολόγισε $d(K, \varepsilon)$ και σύγκρινε με $\rho$ . Για σημείο επαφής: τομή της $\varepsilon$ με την κάθετη από το $K$ .

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν κέντρο και ακτίνα του $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ .

Λύση: $A = -4$ , $B = 6$ , $\Gamma = -12$ και $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 16 + 36 + 48 = 100 > 0$ . Κέντρο $K(2, -3)$ , ακτίνα $\rho = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5$ .

Με συμπλήρωση τετραγώνων: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9$ , δηλαδή $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ ✓

Παράδειγμα 2: Για ποιες τιμές του $\mu$ η εξίσωση $x^2 + y^2 - 2x + 4y + \mu = 0$ παριστάνει κύκλο; Ποια είναι τότε η ακτίνα του;

Λύση: $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 4 + 16 - 4\mu > 0 \iff \mu < 5$ . Τότε κέντρο $K(1, -2)$ και

$\rho = \frac{\sqrt{20 - 4\mu}}{2} = \sqrt{5 - \mu}$

Για $\mu = 5$ παριστάνει μόνο το σημείο $(1, -2)$ και για $\mu > 5$ κανένα σημείο.

Παράδειγμα 3: Να εξεταστεί η σχετική θέση του κύκλου $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ και της ευθείας $\varepsilon: 2x - y + 5 = 0$ .

Λύση: $d(K, \varepsilon) = \frac{|2 - 2 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} = \rho$ — η ευθεία εφάπτεται.

Σημείο επαφής: η κάθετη από το $K(1, 2)$ έχει διάνυσμα $(2, -1)$ , οπότε τα σημεία της είναι $(1 + 2t,\ 2 - t)$ . Αντικαθιστώντας στην $\varepsilon$ : $2 + 4t - 2 + t + 5 = 0 \Rightarrow t = -1$ , δηλαδή σημείο επαφής $(-1, 3)$ . Έλεγχος: $(-2)^2 + 1^2 = 5$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Τι παριστάνει η εξίσωση $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ο κύκλος $C: x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ και η ευθεία $\varepsilon_\kappa: y = x + \kappa$ .

(α) Να βρεθούν κέντρο και ακτίνα του $C$ .

(β) Για ποιες τιμές του $\kappa$ η $\varepsilon_\kappa$ εφάπτεται του $C$ ;

(γ) Για $\kappa = 0$ να βρεθεί το μήκος της χορδής που ορίζει.

Λύση:

(α) $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 36 + 4 - 20 = 20 > 0$ . Κέντρο $K(3, 1)$ , $\rho = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ .

(β) $\varepsilon_\kappa: x - y + \kappa = 0$ . $d(K, \varepsilon_\kappa) = \frac{|3 - 1 + \kappa|}{\sqrt{2}} = \frac{|\kappa + 2|}{\sqrt{2}}$ . Εφάπτεται όταν $|\kappa + 2| = \sqrt{10}$ , δηλαδή $\kappa = -2 \pm \sqrt{10}$ .

(γ) $d = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} < \sqrt{5}$ , τέμνει. $\ell = 2\sqrt{5 - 2} = 2\sqrt{3}$ .

Έλεγχος με σύστημα: $y = x$ στον κύκλο: $2x^2 - 8x + 5 = 0$ , $x = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ , άρα $\Delta x = \sqrt{6}$ και, αφού $\Delta y = \Delta x$ , $\ell = \sqrt{2}\cdot\sqrt{6} = 2\sqrt{3}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Κύκλος έχει ακτίνα $\rho = 5$ και μια ευθεία απέχει από το κέντρο του $d = 3$ . Πόσο είναι το μήκος της χορδής;

Πρόκληση

Ο κύκλος του Απολλώνιου. Δίνονται τα σημεία $A(0, 0)$ και $B(3, 0)$ . Βρες όλα τα σημεία $M$ του επιπέδου που απέχουν από το $A$ διπλάσια απόσταση απ' ό,τι από το $B$ , δηλαδή $(MA) = 2(MB)$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Για $M(x, y)$ , επειδή οι αποστάσεις είναι μη αρνητικές, τετραγωνίζουμε:

$x^2 + y^2 = 4\big((x - 3)^2 + y^2\big) = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$

$\iff 3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0 \iff x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$

Εδώ $A = -8$ , $B = 0$ , $\Gamma = 12$ και $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 64 - 48 = 16 > 0$ : κύκλος με κέντρο $K(4, 0)$ και ακτίνα $\rho = \frac{\sqrt{16}}{2} = 2$ , δηλαδή $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ .

Έλεγχος με δύο σημεία του κύκλου: $M(2, 0)$ : $(MA) = 2$ , $(MB) = 1$ ✓ και $M(6, 0)$ : $(MA) = 6$ , $(MB) = 3$ ✓

Ένας λόγος αποστάσεων από δύο σημεία «γέννησε» κύκλο — ο Απολλώνιος ο Περγαίος το γνώριζε ήδη τον 3ο αι. π.Χ.

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο κέντρου. Κέντρο $\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ : το $+8x$ δίνει $x_0 = -4$ .
Χωρίς έλεγχο συνθήκης. Πάντα $A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$ πρώτα — αλλιώς δεν υπάρχει κύκλος.
Συντελεστής $x^2$ διάφορος του $1$ . Στην $2x^2 + 2y^2 - 4x + 2y = 0$ διαίρεσε με $2$ πριν χρησιμοποιήσεις τον τύπο.
Σύγκριση $d$ με $\rho^2$ αντί για $\rho$ , ή ξεχασμένο $2$ στο μήκος χορδής.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$ είναι κύκλος $\iff A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$ .
$K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$ , $\rho = \frac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4\Gamma}}{2}$ · $= 0$ ένα σημείο, $< 0$ κενό.
Ευθεία–κύκλος: $d > \rho$ εξωτερική, $d = \rho$ εφαπτομένη, $d < \rho$ τέμνουσα.
Μήκος χορδής: $\ell = 2\sqrt{\rho^2 - d^2}$ .

Η εξίσωση

x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0

Αν αναπτύξεις την

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2

, παίρνεις μια εξίσωση της μορφής

x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0

. Ισχύει όμως και το αντίστροφο; Είναι κάθε τέτοια εξίσωση κύκλος; Η απάντηση βγαίνει με συμπλήρωση τετραγώνων:

\left(x + \frac{A}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{B}{2}\right)^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4\Gamma}{4}

Άρα:

Αν

A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0

: κύκλος με κέντρο και ακτίνα όπως παρακάτω.

Αν

A^2 + B^2 - 4\Gamma = 0

: ένα μόνο σημείο, το

K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)

Αν

A^2 + B^2 - 4\Gamma < 0

: κανένα σημείο (άθροισμα τετραγώνων δεν γίνεται αρνητικό).

Γενική Εξίσωση Κύκλου & Σχετικές Θέσεις

Θα «δει» το ραντάρ το πλοίο;

Η εξίσωση x2+y2+Ax+By+Γ=0x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0x2+y2+Ax+By+Γ=0

Σχετική θέση ευθείας και κύκλου

Μέθοδος: ασκήσεις με γενική εξίσωση κύκλου

Γενική Εξίσωση Κύκλου & Σχετικές Θέσεις

Θα «δει» το ραντάρ το πλοίο;

Η εξίσωση x2+y2+Ax+By+Γ=0x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0x2+y2+Ax+By+Γ=0

Σχετική θέση ευθείας και κύκλου

Μέθοδος: ασκήσεις με γενική εξίσωση κύκλου

Η εξίσωση $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$

Η εξίσωση $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$