⭕

Ο Κύκλος: Εξίσωση & Εφαπτομένη

x² + y² = ρ², εφαπτομένη xx₁ + yy₁ = ρ², κύκλος με κέντρο K(x₀, y₀), θέση σημείου ως προς κύκλο

Πώς σε βρίσκει το GPS;

Αν ξέρεις ότι απέχεις $5\ \text{km}$ από έναν πύργο κινητής τηλεφωνίας, βρίσκεσαι κάπου πάνω σε έναν κύκλο γύρω του. Αν ξέρεις και την απόσταση από δεύτερο πύργο, βρίσκεσαι σε μία από τις τομές δύο κύκλων. Το GPS κάνει το ίδιο στον χώρο, με σφαίρες γύρω από δορυφόρους. Όλα ξεκινούν από μια απλή εξίσωση: $x^2 + y^2 = \rho^2$ .

Κύκλος με κέντρο την αρχή

Ένας κύκλος με κέντρο $O$ και ακτίνα $\rho$ είναι όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το $O$ ακριβώς $\rho$ . Μετάφρασέ το σε συντεταγμένες με τον τύπο της απόστασης· για $M(x, y)$ :

$M \in C \iff (OM) = \rho \iff \sqrt{x^2 + y^2} = \rho \iff x^2 + y^2 = \rho^2$

$C:\ x^2 + y^2 = \rho^2$

Για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος $x^2 + y^2 = 1$ είναι ο γνωστός τριγωνομετρικός κύκλος.

Ένα σημείο $M_0(x_0, y_0)$ είναι:

πάνω στον κύκλο αν $x_0^2 + y_0^2 = \rho^2$ ,
εσωτερικό αν $x_0^2 + y_0^2 < \rho^2$ ,
εξωτερικό αν $x_0^2 + y_0^2 > \rho^2$ .

Εφαπτομένη κύκλου

Θεώρημα. Η εφαπτομένη του κύκλου $x^2 + y^2 = \rho^2$ στο σημείο του $A(x_1, y_1)$ έχει εξίσωση

$xx_1 + yy_1 = \rho^2$

Απόδειξη. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα $OA$ στο $A$ . Ένα σημείο $M(x, y)$ ανήκει σε αυτήν αν και μόνο αν $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{AM}$ , δηλαδή

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \iff (x_1, y_1) \cdot (x - x_1, y - y_1) = 0 \iff xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2$

Επειδή το $A$ ανήκει στον κύκλο, $x_1^2 + y_1^2 = \rho^2$ , οπότε $xx_1 + yy_1 = \rho^2$ .

Ήξερες ότι;

Αν περιστρέφεις μια μπάλα δεμένη σε σκοινί και το σκοινί κοπεί, η μπάλα δεν φεύγει ακτινικά «προς τα έξω». Φεύγει κατά την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο όπου βρισκόταν — κάθετα στην ακτίνα. Γι' αυτό οι σπίθες από έναν τροχό λείανσης πετάγονται εφαπτομενικά.

$\varepsilon:\ xx_1 + yy_1 = \rho^2 \qquad (A(x_1, y_1) \in C)$

Κόλπο μνήμης

Για την εφαπτομένη στο $A(x_1, y_1)$ «σπάσε τα τετράγωνα»: το $x^2 = x \cdot x$ γίνεται $x \cdot x_1$ και το $y^2 = y \cdot y$ γίνεται $y \cdot y_1$ , ενώ το $\rho^2$ μένει ίδιο. Ο ίδιος κανόνας δουλεύει στην παραβολή, την έλλειψη και την υπερβολή — θα τον ξανασυναντήσεις!

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η εφαπτομένη του κύκλου $x^2 + y^2 = 10$ στο σημείο του $A(1, 3)$ ;

Κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$

Με τον ίδιο συλλογισμό, $M(x, y) \in C \iff (KM) = \rho$ :

$C:\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$

Προσοχή στα πρόσημα: ο κύκλος $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ έχει κέντρο $K(-1, 4)$ και ακτίνα $3$ .

Η εφαπτομένη σε σημείο $A$ ενός τέτοιου κύκλου βρίσκεται πάλι από την καθετότητα: είναι η ευθεία από το $A$ με κάθετο διάνυσμα το $\overrightarrow{KA}$ .

Μέθοδος: εξίσωση κύκλου και εφαπτομένης

Για την εξίσωση χρειάζεσαι κέντρο και ακτίνα. Αν δίνεται σημείο του κύκλου, $\rho = (KA)$ · αν δίνεται διάμετρος $AB$ , κέντρο το μέσο της και $\rho = \frac{(AB)}{2}$ · αν δίνεται εφαπτομένη $\varepsilon$ , $\rho = d(K, \varepsilon)$ .
Για εφαπτομένη σε σημείο $A$ του κύκλου κέντρου $O$ : $xx_1 + yy_1 = \rho^2$ (έλεγξε πρώτα ότι $A \in C$ !). Για κέντρο $K$ : ευθεία από το $A$ κάθετη στο $\overrightarrow{KA}$ .
Για εφαπτομένη με δοσμένη διεύθυνση: γράψε την ευθεία με άγνωστο και απαίτησε $d(K, \varepsilon) = \rho$ .

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με κέντρο $K(2, -3)$ που διέρχεται από το $A(5, 1)$ .

Λύση: $\rho = (KA) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Άρα

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου $x^2 + y^2 = 5$ που είναι παράλληλες στην ευθεία $y = 2x$ .

Λύση: Η εφαπτομένη στο $A(x_1, y_1)$ είναι $x_1x + y_1y = 5$ με συντελεστή $-\frac{x_1}{y_1}$ . Θέλουμε $-\frac{x_1}{y_1} = 2$ , δηλαδή $x_1 = -2y_1$ . Αφού $A \in C$ : $4y_1^2 + y_1^2 = 5 \Rightarrow y_1 = \pm 1$ .

$A_1(-2, 1)$ : $-2x + y = 5$ , δηλαδή $y = 2x + 5$ .
$A_2(2, -1)$ : $2x - y = 5$ , δηλαδή $y = 2x - 5$ .

Έλεγχος: $d(O, 2x - y + 5 = 0) = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} = \rho$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο $K(-1, 4)$ και ακτίνα $3$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται τα σημεία $A(-1, 2)$ και $B(5, -6)$ .

(α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου $C$ με διάμετρο $AB$ .

(β) Να εξεταστεί αν η αρχή $O$ είναι εσωτερικό σημείο του $C$ .

(γ) Να βρεθεί η εφαπτομένη του $C$ στο $A$ .

Λύση:

(α) Κέντρο το μέσο: $K(2, -2)$ . $(AB) = \sqrt{36 + 64} = 10$ , άρα $\rho = 5$ :

$C: (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 25$

(β) $(0 - 2)^2 + (0 + 2)^2 = 8 < 25$ , άρα το $O$ είναι εσωτερικό.

(γ) $\overrightarrow{KA} = (-3, 4)$ είναι κάθετο στην εφαπτομένη, οπότε αυτή έχει εξίσωση $-3(x + 1) + 4(y - 2) = 0$ , δηλαδή $3x - 4y + 11 = 0$ .

Έλεγχος: το $A$ επαληθεύει ( $-3 - 8 + 11 = 0$ ) και $d(K, \varepsilon) = \frac{|6 + 8 + 11|}{5} = 5 = \rho$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Το σημείο $M(3, 4)$ ως προς τον κύκλο $x^2 + y^2 = 16$ είναι:

Πρόκληση

Από το σημείο $P(4, 2)$ φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου $C: x^2 + y^2 = 10$ . Βρες τις εξισώσεις τους και δείξε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους. Γιατί συμβαίνει αυτό;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $A(x_1, y_1)$ σημείο επαφής. Η εφαπτομένη είναι $x_1 x + y_1 y = 10$ και περνά από το $P$ :

$4x_1 + 2y_1 = 10 \iff y_1 = 5 - 2x_1$

Αφού $A \in C$ : $x_1^2 + (5 - 2x_1)^2 = 10 \iff 5x_1^2 - 20x_1 + 15 = 0 \iff x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$ , άρα $x_1 = 1$ ή $x_1 = 3$ .

$A_1(1, 3)$ : εφαπτομένη $x + 3y = 10$ . Έλεγχος στο $P$ : $4 + 6 = 10$ ✓
$A_2(3, -1)$ : εφαπτομένη $3x - y = 10$ . Έλεγχος στο $P$ : $12 - 2 = 10$ ✓

Τα κάθετα διανύσματά τους $(1, 3)$ και $(3, -1)$ έχουν εσωτερικό γινόμενο $3 - 3 = 0$ , άρα οι εφαπτόμενες είναι κάθετες.

Γιατί; Είναι $(OP)^2 = 16 + 4 = 20 = 2\rho^2$ . Το εφαπτόμενο τμήμα έχει μήκος $(PA_1) = \sqrt{(OP)^2 - \rho^2} = \sqrt{10} = \rho$ . Άρα το $OA_1PA_2$ έχει τέσσερις ίσες πλευρές και ορθές γωνίες στα $A_1$ , $A_2$ — είναι τετράγωνο, οπότε και η γωνία στο $P$ είναι ορθή.

Συνηθισμένα λάθη

$\rho$ αντί για $\rho^2$ . Στην εξίσωση και στην εφαπτομένη το δεξί μέλος είναι $\rho^2$ .
Πρόσημα κέντρου. Το $(x + 3)^2$ αντιστοιχεί σε $x_0 = -3$ .
Τύπος εφαπτομένης σε λάθος σημείο. Το $xx_1 + yy_1 = \rho^2$ ισχύει μόνο αν το $A$ ανήκει στον κύκλο και το κέντρο είναι το $O$ . Για εξωτερικό σημείο δουλεύεις με $d(K, \varepsilon) = \rho$ .
Ξεχασμένη δεύτερη εφαπτομένη. Παράλληλες εφαπτόμενες προς δοσμένη διεύθυνση είναι πάντα δύο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$x^2 + y^2 = \rho^2$ (κέντρο $O$ )· $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$ (κέντρο $K(x_0, y_0)$ ).
Εφαπτομένη στο $A(x_1, y_1) \in C$ : $xx_1 + yy_1 = \rho^2$ — απόδειξη με $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ .
Γενικά: εφαπτομένη $\perp$ ακτίνα στο σημείο επαφής, και $d(K, \varepsilon) = \rho$ .
Θέση σημείου: σύγκρινε το $(x_0 - x_K)^2 + (y_0 - y_K)^2$ με το $\rho^2$ .

Κύκλος με κέντρο την αρχή

Ένας κύκλος με κέντρο

O

και ακτίνα

\rho

είναι όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το

O

ακριβώς

\rho

. Μετάφρασέ το σε συντεταγμένες με τον τύπο της απόστασης· για

M(x, y)

M \in C \iff (OM) = \rho \iff \sqrt{x^2 + y^2} = \rho \iff x^2 + y^2 = \rho^2

Ο Κύκλος: Εξίσωση & Εφαπτομένη

Πώς σε βρίσκει το GPS;

Κύκλος με κέντρο την αρχή

Εφαπτομένη κύκλου

Κύκλος με κέντρο K(x0,y0)K(x_0, y_0)K(x0​,y0​)

Μέθοδος: εξίσωση κύκλου και εφαπτομένης

Ο Κύκλος: Εξίσωση & Εφαπτομένη

Πώς σε βρίσκει το GPS;

Κύκλος με κέντρο την αρχή

Εφαπτομένη κύκλου

Κύκλος με κέντρο K(x0,y0)K(x_0, y_0)K(x0​,y0​)

Μέθοδος: εξίσωση κύκλου και εφαπτομένης

Κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$

Κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$