➡️

Η Έννοια του Διανύσματος

Διάνυσμα, μέτρο, παράλληλα, ίσα και αντίθετα διανύσματα, γωνία διανυσμάτων

Πώς ξέρει ένας πιλότος πού θα βρεθεί;

Ένα αεροπλάνο πετά με $800\ \text{km/h}$ , αλλά ένας δυνατός άνεμος φυσά από το πλάι. Ο αριθμός «800» μόνος του δεν σου λέει πού θα φτάσεις — χρειάζεσαι και προς τα πού. Αυτό ακριβώς είναι το διάνυσμα: μέγεθος μαζί με κατεύθυνση. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις τη «γλώσσα» του, πάνω στην οποία χτίζεται όλη η Αναλυτική Γεωμετρία της χρονιάς.

Τι είναι διάνυσμα

Για το μήκος, τη θερμοκρασία ή τη μάζα σού αρκεί ένας αριθμός: είναι μονόμετρα μεγέθη. Για τη μετατόπιση, την ταχύτητα ή τη δύναμη χρειάζεσαι και κατεύθυνση: είναι διανυσματικά. Το εργαλείο που τα περιγράφει είναι το διάνυσμα.

Ορισμός. Διάνυσμα λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα: το πρώτο άκρο $A$ λέγεται αρχή και το δεύτερο $B$ πέρας. Το συμβολίζουμε $\overrightarrow{AB}$ ή, όταν δεν μας ενδιαφέρουν τα άκρα, με ένα μικρό γράμμα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , $\vec{v}$ .

Αν η αρχή και το πέρας συμπίπτουν, έχουμε το μηδενικό διάνυσμα $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$ .
Μέτρο $|\overrightarrow{AB}|$ είναι η απόσταση $(AB)$ των άκρων — ένας μη αρνητικός αριθμός, όχι διάνυσμα. Αν $|\vec{\alpha}| = 1$ , το $\vec{\alpha}$ λέγεται μοναδιαίο.
Φορέας ενός μη μηδενικού $\overrightarrow{AB}$ είναι η ευθεία $AB$ .

Ήξερες ότι;

Η λέξη «vector» (διάνυσμα) καθιερώθηκε στα μαθηματικά γύρω στο 1846 από τον Ιρλανδό William Rowan Hamilton. Προέρχεται από το λατινικό vehere, «μεταφέρω»: το διάνυσμα «μεταφέρει» ένα σημείο από τη μια θέση στην άλλη. Γι' αυτό και στην ιατρική «φορέας» μιας ασθένειας λέγεται στα αγγλικά vector!

Παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά ( $\vec{\alpha} \parallel \vec{\beta}$ ) όταν οι φορείς τους είναι παράλληλοι ή ταυτίζονται. Τότε:

είναι ομόρροπα ( $\vec{\alpha} \upuparrows \vec{\beta}$ ) αν «δείχνουν» προς την ίδια μεριά,
είναι αντίρροπα ( $\vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}$ ) αν δείχνουν προς αντίθετες μεριές.

Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται παράλληλο (συγγραμμικό) με κάθε διάνυσμα.

Ίσα και αντίθετα διανύσματα

Ίσα λέγονται δύο διανύσματα που είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Δηλαδή ίδια κατεύθυνση και ίδιο μήκος — η θέση τους στο επίπεδο δεν παίζει ρόλο.
Αντίθετα λέγονται δύο διανύσματα που είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Το αντίθετο του $\vec{\alpha}$ είναι το $-\vec{\alpha}$ , και ειδικά $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

Αν $M$ είναι το μέσο του $AB$ , τότε $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ και $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$ .

Ισότητα διανυσμάτων και παραλληλόγραμμο

Για τέσσερα σημεία $A, B, \Gamma, \Delta$ που δεν είναι συνευθειακά ισχύει:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta} \iff \text{το } AB\Delta\Gamma \text{ είναι παραλληλόγραμμο}$

Προσοχή στη σειρά των κορυφών: $A \to B \to \Delta \to \Gamma$ (όχι $AB\Gamma\Delta$ ). Ισοδύναμα, τα τμήματα $A\Delta$ και $B\Gamma$ έχουν κοινό μέσο — οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

Έτσι, σε κάθε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ ισχύουν $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Delta\Gamma}$ και $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν για τα μη συνευθειακά σημεία $A, B, \Gamma, \Delta$ ισχύει $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ , ποιο τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο;

Γωνία δύο διανυσμάτων

Για δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ παίρνουμε ένα σημείο $O$ και σχεδιάζουμε $\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{\beta}$ — δηλαδή τα φέρνουμε σε κοινή αρχή. Η κυρτή γωνία $\widehat{AOB}$ λέγεται γωνία των διανυσμάτων και τη συμβολίζουμε $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}})$ ή $\theta$ . Ισχύει:

$0 \le \theta \le \pi$

$\theta = 0$ ακριβώς όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα.
$\theta = \pi$ ακριβώς όταν είναι αντίρροπα.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ : τα διανύσματα λέγονται κάθετα, $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}$ .

Η γωνία δεν εξαρτάται από την επιλογή του $O$ . Αν ένα από τα δύο διανύσματα είναι μηδενικό, ως γωνία μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε $\theta \in [0, \pi]$ .

$(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \theta \in [0, \pi], \qquad \theta = 0 \iff \vec{\alpha} \upuparrows \vec{\beta}, \qquad \theta = \pi \iff \vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}$

Κόλπο μνήμης

Για τη γωνία δύο διανυσμάτων σκέψου «κόλλα τις ουρές»: μετέφερε παράλληλα τα δύο βέλη ώστε να ξεκινούν από το ίδιο σημείο και μέτρα το άνοιγμα ανάμεσά τους. Γι' αυτό η γωνία είναι πάντα από $0$ έως $\pi$ — ποτέ πάνω από $180^\circ$ .

Μέθοδος: αναγνώριση ίσων διανυσμάτων και γωνιών σε σχήμα

Για ισότητα διανυσμάτων έλεγξε δύο πράγματα: ίδια κατεύθυνση (παράλληλοι φορείς και ίδια φορά) και ίσα μήκη.
Σε παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές διαβασμένες με την ίδια φορά δίνουν ίσα διανύσματα· οι διαγώνιοι χωρίζονται από το κέντρο σε ίσα διανύσματα ( $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{O\Gamma}$ ).
Για γωνία διανυσμάτων μετατόπισε το ένα ώστε να έχουν κοινή αρχή· μόνο τότε μετράς τη γωνία.
Αν τα διανύσματα είναι «κεφαλή–ουρά» (το πέρας του ενός είναι αρχή του άλλου), η γωνία τους είναι η παραπληρωματική της γωνίας του σχήματος.

Παράδειγμα 1: Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ με κέντρο $O$ . Να βρεθούν ίσα και αντίθετα διανύσματα με άκρα τις κορυφές ή το $O$ .

Λύση:

Απέναντι πλευρές: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Delta\Gamma}$ και $\overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma}$ .
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται: $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{O\Gamma}$ και $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{O\Delta}$ .
Αντίθετα: $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ (ίδιο μήκος, αντίθετη φορά), $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{O\Gamma}$ , $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{O\Delta}$ .

Προσοχή: $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}|$ ισχύει μόνο αν οι διαγώνιοι είναι ίσες (ορθογώνιο)· και ακόμη και τότε $\overrightarrow{OA} \ne \overrightarrow{OB}$ , γιατί δεν είναι ομόρροπα.

Παράδειγμα 2: Σε ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ να βρεθούν οι γωνίες $(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}})$ , $(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}})$ και $(\widehat{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{\Gamma A}})$ .

Λύση:

Τα $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ έχουν ήδη κοινή αρχή $A$ : η γωνία είναι $\hat{A} = 60^\circ$ .
Τα $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{B\Gamma}$ είναι «κεφαλή–ουρά». Αν προεκτείνουμε την $AB$ πέρα από το $B$ κατά $BE$ , τότε $\overrightarrow{BE}$ είναι ομόρροπο του $\overrightarrow{AB}$ με αρχή το $B$ . Η ζητούμενη γωνία είναι η $\widehat{EB\Gamma}$ , η εξωτερική γωνία του τριγώνου στο $B$ : $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .
Τα $\overrightarrow{BA}$ και $\overrightarrow{\Gamma A}$ έχουν κοινό πέρας. Αντικαθιστώντας και τα δύο με τα αντίθετά τους ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{A\Gamma}$ ) η γωνία δεν αλλάζει: $60^\circ$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ , πόση είναι η γωνία των διανυσμάτων $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{B\Gamma}$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και $M$ το μέσο της $B\Gamma$ . Θεωρούμε σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M\Delta}$ . Να αποδειχθεί ότι $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ και $\overrightarrow{A\Gamma} = \overrightarrow{B\Delta}$ .

Δεδομένα: $M$ μέσο του $B\Gamma$ , $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M\Delta}$ .

Ζητούμενο: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ και $\overrightarrow{A\Gamma} = \overrightarrow{B\Delta}$ .

Απόδειξη:

Από $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M\Delta}$ το $M$ είναι μέσο του $A\Delta$ .
Άρα τα τμήματα $A\Delta$ και $B\Gamma$ έχουν κοινό μέσο το $M$ — οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου $AB\Delta\Gamma$ διχοτομούνται, οπότε το $AB\Delta\Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο (τα σημεία δεν είναι συνευθειακά, αφού $A \notin B\Gamma$ ).
Στο παραλληλόγραμμο $AB\Delta\Gamma$ οι απέναντι πλευρές $AB$ , $\Gamma\Delta$ είναι ίσες και παράλληλες και, διαβασμένες ως $A \to B$ και $\Gamma \to \Delta$ , ομόρροπες: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ . Ομοίως $\overrightarrow{A\Gamma} = \overrightarrow{B\Delta}$ .

Έλεγχος με αριθμούς: για $A(0, 2)$ , $B(-1, 0)$ , $\Gamma(1, 0)$ είναι $M(0, 0)$ , $\Delta(0, -2)$ και πράγματι $\overrightarrow{AB} = (-1, -2) = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Το διάνυσμα $\overrightarrow{BA}$ σε σχέση με το $\overrightarrow{AB}$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Δύο μη μηδενικά διανύσματα σχηματίζουν γωνία $\theta = \pi$ . Τότε είναι:

Πρόκληση

Δίνεται κανονικό εξάγωνο $AB\Gamma\Delta EZ$ με κέντρο $O$ . Χρησιμοποιώντας ως άκρα μόνο τα $7$ σημεία $O, A, B, \Gamma, \Delta, E, Z$ :

(α) Βρες όλα τα διανύσματα που είναι ίσα με το $\overrightarrow{OA}$ .

(β) Βρες τη γωνία $(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{\Delta E}})$ .

(γ) Βρες τη γωνία $(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}})$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι ακτίνες προς τις κορυφές χωρίζουν το εξάγωνο σε $6$ ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς $\rho$ .

(α) Τα $OAB\Gamma$ και $OAZE$ έχουν και τις τέσσερις πλευρές ίσες με $\rho$ , άρα είναι ρόμβοι — επομένως παραλληλόγραμμα. Έτσι $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\Gamma B}$ και $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{EZ}$ . Επίσης τα $\Delta, O, A$ είναι συνευθειακά με $(\Delta O) = (OA) = \rho$ και ίδια φορά, άρα $\overrightarrow{\Delta O} = \overrightarrow{OA}$ . Σύνολο τέσσερα διανύσματα: $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{\Delta O}$ , $\overrightarrow{\Gamma B}$ , $\overrightarrow{EZ}$ .

(β) Στο κανονικό εξάγωνο οι απέναντι πλευρές $AB$ και $\Delta E$ είναι παράλληλες και ίσες, αλλά «τρέχουν» αντίθετα: $\overrightarrow{\Delta E} = -\overrightarrow{AB}$ . Άρα τα διανύσματα είναι αντίρροπα και η γωνία τους είναι $\pi$ .

(γ) Παγίδα! Η εσωτερική γωνία του εξαγώνου στο $B$ είναι $120^\circ$ , όμως εκεί τα βέλη $\overrightarrow{BA}$ και $\overrightarrow{B\Gamma}$ ξεκινούν από το $B$ . Εμείς θέλουμε το $\overrightarrow{AB}$ , που καταλήγει στο $B$ · «κολλώντας τις ουρές» παίρνουμε την παραπληρωματική: $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ , δηλαδή $\frac{\pi}{3}$ .

Συνηθισμένα λάθη

«Ίσο μέτρο ⇒ ίσα διανύσματα». Λάθος: τα ίσα διανύσματα πρέπει να είναι και ομόρροπα. Οι ακτίνες $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ ενός κύκλου έχουν ίσα μέτρα αλλά γενικά δεν είναι ίσες.
Λάθος σειρά κορυφών. Από $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ παραλληλόγραμμο είναι το $AB\Delta\Gamma$ , όχι το $AB\Gamma\Delta$ .
Γωνία χωρίς κοινή αρχή. Μέτρα τη γωνία μόνο αφού φέρεις τα διανύσματα σε κοινή αρχή· σε μορφή «κεφαλή–ουρά» παίρνεις την παραπληρωματική.
Το μέτρο ως διάνυσμα. Το $|\overrightarrow{AB}|$ είναι αριθμός· γράφουμε $|\overrightarrow{AB}| = 5$ , ποτέ $\overrightarrow{AB} = 5$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ : τμήμα με αρχή $A$ και πέρας $B$ · μέτρο $|\overrightarrow{AB}| = (AB) \ge 0$ .
Ίσα = ομόρροπα με ίσα μέτρα· αντίθετα = αντίρροπα με ίσα μέτρα, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\Gamma\Delta} \iff AB\Delta\Gamma$ παραλληλόγραμμο $\iff$ τα $A\Delta$ , $B\Gamma$ έχουν κοινό μέσο.
Γωνία διανυσμάτων: με κοινή αρχή, $0 \le \theta \le \pi$ · $\theta = 0$ ομόρροπα, $\theta = \pi$ αντίρροπα, $\theta = \frac{\pi}{2}$ κάθετα.

Τι είναι διάνυσμα

Ορισμός. Διάνυσμα λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα: το πρώτο άκρο

A

λέγεται αρχή και το δεύτερο

B

πέρας. Το συμβολίζουμε

\overrightarrow{AB}

ή, όταν δεν μας ενδιαφέρουν τα άκρα, με ένα μικρό γράμμα

\vec{\alpha}

\vec{\beta}

\vec{v}

Αν η αρχή και το πέρας συμπίπτουν, έχουμε το μηδενικό διάνυσμα

\overrightarrow{AA} = \vec{0}

Μέτρο

|\overrightarrow{AB}|

είναι η απόσταση

(AB)

των άκρων — ένας μη αρνητικός αριθμός, όχι διάνυσμα. Αν

|\vec{\alpha}| = 1

, το

\vec{\alpha}

λέγεται μοναδιαίο.

Φορέας ενός μη μηδενικού

\overrightarrow{AB}

είναι η ευθεία

AB