🎯

Εξισώσεις & Ανισώσεις β' βαθμού

Διακρίνουσα, Vieta, πρόσημο τριωνύμου

Πότε θα προσγειωθεί η μπάλα;

Πετάς μια μπάλα από μια ταράτσα· το ύψος της μετά από $t$ δευτερόλεπτα είναι περίπου $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ μέτρα. Πότε ακουμπά το έδαφος; Όταν $h(t) = 0$ , δηλαδή $t^2 - 2t - 3 = 0$ , άρα $t = 3$ s. Τροχιές, κέρδη, εμβαδά: πίσω από όλα κρύβεται ένα τριώνυμο.

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$

Με $\alpha \neq 0$ , όλα κρίνονται από τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ :

$\Delta > 0$ : δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_{1,2}$
$\Delta = 0$ : μία διπλή ρίζα $x = -\frac{\beta}{2\alpha}$
$\Delta < 0$ : καμία πραγματική ρίζα — η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$

Η διακρίνουσα «διακρίνει» τις περιπτώσεις πριν καν λύσεις — γι' αυτό σε παραμετρικά θέματα την υπολογίζεις πρώτη.

$x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}, \qquad \Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$

Πείραξε τα α, β, γ — δες πώς οι ρίζες και η κορυφή της παραβολής ακολουθούν τη διακρίνουσα.

Παράδειγμα: Να λυθούν οι εξισώσεις: α) $2x^2 - 5x + 2 = 0$ , β) $3x^2 - 12x = 0$ , γ) $x^2 + x + 1 = 0$ .

Λύση: α) Με $\alpha = 2$ , $\beta = -5$ , $\gamma = 2$ : $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$ , άρα $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$ , δηλαδή $x_1 = 2$ και $x_2 = \frac{1}{2}$ .

β) Λείπει ο σταθερός όρος — δεν χρειάζεται διακρίνουσα. Κοινός παράγοντας: $3x(x - 4) = 0 \iff x = 0$ ή $x = 4$ .

γ) $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$ .

Στις ελλιπείς μορφές ( $\gamma = 0$ ή $\beta = 0$ ) η παραγοντοποίηση ή η μορφή $x^2 = \kappa$ είναι πιο γρήγορη από τον τύπο.

Γρήγορος έλεγχος

Για ποια τιμή του $\lambda$ η εξίσωση $x^2 - 4x + \lambda = 0$ έχει διπλή ρίζα;

Τύποι Vieta: άθροισμα και γινόμενο ριζών

Όταν $\Delta \ge 0$ , οι ρίζες συνδέονται με τους συντελεστές χωρίς να τις βρούμε:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{\beta}{\alpha}, \qquad P = x_1 \cdot x_2 = \frac{\gamma}{\alpha}$

Ισχύει και το αντίστροφο: δύο αριθμοί με άθροισμα $S$ και γινόμενο $P$ είναι ρίζες της $x^2 - Sx + P = 0$ . Έτσι φτιάχνεις εξίσωση από τις ρίζες της — ή βρίσκεις ρίζες «με το μάτι». Στην $x^2 - 7x + 12 = 0$ ψάχνεις δύο αριθμούς με $S = 7$ και $P = 12$ : τους $3$ και $4$ !

Ήξερες ότι;

Ο François Viète (Βιέτ, 1540–1603), που έδωσε το όνομά του στους τύπους αθροίσματος και γινομένου, ήταν νομικός σύμβουλος του βασιλιά της Γαλλίας Ερρίκου Δ΄ — και έσπασε τον κρυπτογραφημένο κώδικα της ισπανικής αλληλογραφίας. Ήταν επίσης από τους πρώτους που έγραψαν εξισώσεις με γράμματα αντί για αριθμούς.

Παράδειγμα: Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες της $x^2 - 3x - 5 = 0$ , να υπολογιστούν χωρίς να βρεθούν οι ρίζες: α) $x_1^2 + x_2^2$ , β) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ . γ) Να κατασκευαστεί εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς $2$ και $-5$ .

Λύση: Πρώτα ελέγχουμε ότι υπάρχουν ρίζες: $\Delta = 9 + 20 = 29 > 0$ ✓. Από Vieta: $S = 3$ και $P = -5$ .

α) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P = 9 + 10 = 19$ .

β) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{S}{P} = -\frac{3}{5}$ .

γ) $S = 2 + (-5) = -3$ και $P = 2 \cdot (-5) = -10$ , άρα η $x^2 - Sx + P = 0$ γίνεται $x^2 + 3x - 10 = 0$ . Έλεγχος: $4 + 6 - 10 = 0$ ✓ και $25 - 15 - 10 = 0$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Για την εξίσωση $2x^2 - 6x - 8 = 0$ , ποιο είναι το άθροισμα $S$ και το γινόμενο $P$ των ριζών της;

Πρόσημο τριωνύμου — ο χρυσός κανόνας

Για το τριώνυμο $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ :

$\Delta > 0$ (ρίζες $x_1 < x_2$ ): ομόσημο του $\alpha$ έξω από τις ρίζες, ετερόσημο του $\alpha$ ανάμεσα στις ρίζες
$\Delta = 0$ : ομόσημο του $\alpha$ παντού, εκτός από τη διπλή ρίζα όπου μηδενίζεται
$\Delta < 0$ : ομόσημο του $\alpha$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ — η παραβολή δεν ακουμπά ποτέ τον άξονα

Αυτός ο πίνακας προσήμων λύνει όλες τις ανισώσεις 2ου βαθμού: βρίσκεις ρίζες, ζωγραφίζεις άξονα, σημειώνεις πρόσημα, διαβάζεις την απάντηση.

Κόλπο μνήμης

Ζωγράφισε την παραβολή. Με $\alpha > 0$ είναι χαμόγελο $\smile$ : πάνω από τον άξονα έξω από τις ρίζες, κάτω ανάμεσά τους. Με $\alpha < 0$ είναι συνοφρύωμα $\frown$ και όλα αντιστρέφονται. Σύντομα: «έξω ομόσημο, μέσα ετερόσημο».

Μέθοδος: ανίσωση 2ου βαθμού

Μετέφερε όλους τους όρους στο ένα μέλος: $\alpha x^2 + \beta x + \gamma > 0$ (ή $\ge$ , $<$ , $\le$ ).
Υπολόγισε τη $\Delta$ και, αν $\Delta \ge 0$ , τις ρίζες.
Γράψε το πρόσημο του τριωνύμου με τον χρυσό κανόνα: ομόσημο του $\alpha$ έξω από τις ρίζες, ετερόσημο ανάμεσα.
Διάβασε τη λύση: σε $\ge$ ή $\le$ οι ρίζες ανήκουν στη λύση, σε $>$ ή $<$ όχι.
Αν $\Delta < 0$ , η απάντηση είναι όλο το $\mathbb{R}$ ή το $\varnothing$ , ανάλογα με το πρόσημο του $\alpha$ .

Χρήσιμη και η παραγοντοποίηση: αν $\Delta \ge 0$ , τότε $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha(x - x_1)(x - x_2)$ .

Άσκηση: Να λυθεί η ανίσωση $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$ .

Λύση: Πολλαπλασιάζουμε με $-1$ και αντιστρέφουμε τη φορά: $x^2 - 4x + 3 \le 0$ .

Ρίζες του τριωνύμου: $\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$ , άρα $x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2}$ , δηλαδή $x_1 = 1$ και $x_2 = 3$ .

Εδώ $\alpha = 1 > 0$ , οπότε το τριώνυμο είναι αρνητικό ή μηδέν ανάμεσα στις ρίζες (ετερόσημο του $\alpha$ ):

$x^2 - 4x + 3 \le 0 \iff 1 \le x \le 3$

Άρα η λύση είναι $x \in [1, 3]$ . Επαλήθευση με $x = 2$ : $-4 + 8 - 3 = 1 \ge 0$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Για ένα τριώνυμο με $\alpha > 0$ και $\Delta < 0$ , τι ισχύει για το πρόσημό του;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι λύσεις της ανίσωσης $x^2 - 9 > 0$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται η εξίσωση $x^2 - 2x + \lambda - 3 = 0$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ .

α) Για ποιες τιμές του $\lambda$ έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες;

β) Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες της, να βρεθεί το $\lambda$ ώστε $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

γ) Για ποιες τιμές του $\lambda$ οι ρίζες είναι ετερόσημες;

δ) Για την τιμή του (β), να λυθεί η ανίσωση $x^2 - 2x + \lambda - 3 < 0$ .

Λύση:

α) $\Delta = (-2)^2 - 4(\lambda - 3) = 4 - 4\lambda + 12 = 16 - 4\lambda$ . Θέλουμε $\Delta > 0 \iff 16 - 4\lambda > 0 \iff \lambda < 4$ .

β) Από Vieta: $S = 2$ , $P = \lambda - 3$ . Τότε $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 4 - 2(\lambda - 3) = 10 - 2\lambda$ . Άρα $10 - 2\lambda = 10 \iff \lambda = 0$ , δεκτή αφού $0 < 4$ (υπάρχουν ρίζες).

γ) Ετερόσημες ρίζες $\iff P < 0 \iff \lambda - 3 < 0 \iff \lambda < 3$ . Όταν $P = \frac{\gamma}{\alpha} < 0$ , τα $\alpha, \gamma$ είναι ετερόσημα, οπότε $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma > 0$ αυτόματα.

δ) Για $\lambda = 0$ : $x^2 - 2x - 3 < 0$ . Είναι $\Delta = 4 + 12 = 16$ και ρίζες $\frac{2 \pm 4}{2}$ , δηλαδή $-1$ και $3$ . Με $\alpha = 1 > 0$ το τριώνυμο είναι αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες: $x \in (-1, 3)$ .

Απάντηση: α) $\lambda < 4$ , β) $\lambda = 0$ , γ) $\lambda < 3$ , δ) $x \in (-1, 3)$ .

Πρόκληση

Για ποια τιμή του $\lambda$ η εξίσωση $x^2 - 5x + \lambda = 0$ έχει δύο ρίζες, από τις οποίες η μία είναι τετραπλάσια της άλλης;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω ρίζες $x_2$ και $x_1 = 4x_2$ . Από τους τύπους Vieta:

$x_1 + x_2 = 5 \ \Rightarrow \ 4x_2 + x_2 = 5 \ \Rightarrow \ x_2 = 1, \quad x_1 = 4$

$\lambda = x_1 x_2 = 4 \cdot 1 = 4$

Έλεγχος (μην τον ξεχνάς — το Vieta προϋποθέτει ρίζες!): για $\lambda = 4$ η εξίσωση $x^2 - 5x + 4 = 0$ έχει $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$ και ρίζες $\frac{5 \pm 3}{2}$ , δηλαδή $4$ και $1$ ✓

Απάντηση: $\lambda = 4$ .

Σε παραμετρικά θέματα, μετάφρασε την εκφώνηση σε συνθήκη: «δύο άνισες ρίζες» → $\Delta > 0$ , «ρίζες ετερόσημες» → $P < 0$ , «ρίζες θετικές» → $\Delta \ge 0$ , $S > 0$ , $P > 0$ . Και αν ζητούνται παραστάσεις όπως $x_1^2 + x_2^2$ , μην βρεις τις ρίζες — γράψε $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$ και δούλεψε μόνο με Vieta.

Συνηθισμένα λάθη

Εφαρμόζουν Vieta χωρίς να ελέγξουν ότι $\Delta \ge 0$ . Αν δεν υπάρχουν ρίζες, το $S^2 - 2P$ δεν αντιστοιχεί σε τίποτα — γράψε πρώτα τη συνθήκη για τη $\Delta$ .
Γράφουν $S = \frac{\beta}{\alpha}$ αντί για $S = -\frac{\beta}{\alpha}$ .
Πολλαπλασιάζουν την ανίσωση με $-1$ χωρίς να αλλάξουν τη φορά.
Στην $x^2 < 9$ γράφουν « $x < \pm 3$ ». Σωστό: $-3 < x < 3$ , ενώ στην $x^2 > 9$ : $x < -3$ ή $x > 3$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ και $x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$ : δύο ρίζες αν $\Delta > 0$ , διπλή αν $\Delta = 0$ , καμία αν $\Delta < 0$
Vieta: $S = -\frac{\beta}{\alpha}$ , $P = \frac{\gamma}{\alpha}$ · εξίσωση με ρίζες $x_1, x_2$ : $x^2 - Sx + P = 0$
$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$ και $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P}$
Πρόσημο τριωνύμου: ομόσημο του $\alpha$ έξω από τις ρίζες, ετερόσημο ανάμεσα· με $\Delta < 0$ παντού ομόσημο του $\alpha$
$\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha(x - x_1)(x - x_2)$ όταν $\Delta \ge 0$

Η εξίσωση

\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0

Με

\alpha \neq 0

, όλα κρίνονται από τη διακρίνουσα

\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma

\Delta > 0

: δύο άνισες πραγματικές ρίζες

x_{1,2}

\Delta = 0

: μία διπλή ρίζα

x = -\frac{\beta}{2\alpha}

\Delta < 0

: καμία πραγματική ρίζα — η εξίσωση είναι αδύνατη στο

\mathbb{R}

Εξισώσεις & Ανισώσεις β' βαθμού

Πότε θα προσγειωθεί η μπάλα;

Η εξίσωση αx2+βx+γ=0\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0αx2+βx+γ=0

Τύποι Vieta: άθροισμα και γινόμενο ριζών

Πρόσημο τριωνύμου — ο χρυσός κανόνας

Μέθοδος: ανίσωση 2ου βαθμού

Εξισώσεις & Ανισώσεις β' βαθμού

Πότε θα προσγειωθεί η μπάλα;

Η εξίσωση αx2+βx+γ=0\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0αx2+βx+γ=0

Τύποι Vieta: άθροισμα και γινόμενο ριζών

Πρόσημο τριωνύμου — ο χρυσός κανόνας

Μέθοδος: ανίσωση 2ου βαθμού

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$