✴️

Η Υπερβολή

Ορισμός με εστίες, x²/α² − y²/β² = 1, ασύμπτωτες, εκκεντρότητα, ισοσκελής υπερβολή, εφαπτομένη

Πού ακούστηκε ο κρότος;

Δύο μικρόφωνα σε απόσταση $10\ \text{m}$ καταγράφουν έναν κρότο, το ένα $0{,}01\ \text{s}$ πριν από το άλλο. Αφού ο ήχος διανύει περίπου $340\ \text{m/s}$ , η πηγή απέχει $3{,}4\ \text{m}$ περισσότερο από το ένα μικρόφωνο. Όλα τα σημεία με σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο σημεία σχηματίζουν έναν κλάδο υπερβολής — με αυτή την ιδέα λειτουργούσαν για δεκαετίες συστήματα ναυσιπλοΐας όπως το LORAN.

Ορισμός

Έστω δύο σημεία $E'$ , $E$ με $(E'E) = 2\gamma$ . Υπερβολή με εστίες $E'$ , $E$ λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου με σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων $2\alpha$ από τις εστίες, όπου $0 < 2\alpha < 2\gamma$ :

$M \in C \iff \big|(ME') - (ME)\big| = 2\alpha$

Εξίσωση

Βάλε ξανά τις εστίες στα $E'(-\gamma, 0)$ , $E(\gamma, 0)$ και θέσε $\beta = \sqrt{\gamma^2 - \alpha^2}$ — τώρα $\gamma > \alpha$ , το αντίθετο από την έλλειψη. Με τους ίδιους τετραγωνισμούς καταλήγεις στην:

$C:\ \frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1, \qquad \beta^2 = \gamma^2 - \alpha^2, \qquad E'(-\gamma, 0),\ E(\gamma, 0)$

Αν οι εστίες είναι στον $y'y$ : $\frac{y^2}{\alpha^2} - \frac{x^2}{\beta^2} = 1$ .

Κανόνας: το $\alpha^2$ είναι ο παρονομαστής του θετικού όρου (όχι απαραίτητα ο μεγαλύτερος!) και δείχνει τον άξονα των εστιών.

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$

Συμμετρική ως προς τους άξονες και την αρχή $O$ (κέντρο).
Κορυφές $A'(-\alpha, 0)$ , $A(\alpha, 0)$ · δεν τέμνει τον $y'y$ .
Αποτελείται από δύο κλάδους: $x \le -\alpha$ ή $x \ge \alpha$ .
Εκκεντρότητα $\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} > 1$ και $\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{\varepsilon^2 - 1}$ · όσο μεγαλώνει η $\varepsilon$ , τόσο πιο «ανοιχτοί» οι κλάδοι.

Γρήγορος έλεγχος

Για την υπερβολή $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{9} = 1$ , πόσο είναι το $\gamma$ ;

Ασύμπτωτες

Οι ευθείες

$y = \frac{\beta}{\alpha}x \quad \text{και} \quad y = -\frac{\beta}{\alpha}x$

λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ : οι κλάδοι πλησιάζουν όλο και περισσότερο αυτές τις ευθείες καθώς απομακρύνονται από το κέντρο, χωρίς να τις συναντούν (η απόδειξη είναι εκτός ύλης). Είναι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου βάσης με κορυφές $(\pm\alpha, \pm\beta)$ — πολύ βολικό για το σχήμα.

Για την $\frac{y^2}{\alpha^2} - \frac{x^2}{\beta^2} = 1$ οι ασύμπτωτες είναι $y = \pm\frac{\alpha}{\beta}x$ .

Γρήγορος κανόνας: οι ασύμπτωτες βγαίνουν αν βάλεις $0$ αντί για $1$ στο δεύτερο μέλος: $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 0 \iff y = \pm\frac{\beta}{\alpha}x$ .

Διάλεξε «Υπερβολή» και σύρε το M: η διαφορά των αποστάσεων μένει 2α και η καμπύλη πλησιάζει τις ασύμπτωτες.

$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1:\quad y = \pm\frac{\beta}{\alpha}x, \qquad \varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} > 1$

Κόλπο μνήμης

Τα ονόματα λένε την αλήθεια. Η υπερβολή «υπερβάλλει»: εκεί το $\gamma$ ξεπερνά το $\alpha$ , άρα $\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2$ και $\varepsilon > 1$ . Η έλλειψη «ελλείπει»: $\gamma < \alpha$ και $\varepsilon < 1$ . Για τις ασύμπτωτες: βάλε $0$ στη θέση του $1$ , $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 0$ , και παραγοντοποίησε: $y = \pm\frac{\beta}{\alpha}x$ .

Ισοσκελής υπερβολή

Αν $\alpha = \beta$ , η υπερβολή $x^2 - y^2 = \alpha^2$ λέγεται ισοσκελής. Οι ασύμπτωτές της είναι οι διχοτόμοι $y = \pm x$ , κάθετες μεταξύ τους, και η εκκεντρότητά της είναι $\varepsilon = \frac{\alpha\sqrt{2}}{\alpha} = \sqrt{2}$ . (Η υπερβολή $y = \frac{\alpha}{x}$ του Γυμνασίου είναι ισοσκελής υπερβολή «στραμμένη» κατά $45^\circ$ , με ασύμπτωτες τους άξονες.)

Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη της $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ στο σημείο της $M(x_1, y_1)$ είναι:

$\frac{xx_1}{\alpha^2} - \frac{yy_1}{\beta^2} = 1$

Ανακλαστική ιδιότητα: η εφαπτομένη στο $M$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat{E'ME}$ .

Ήξερες ότι;

Οι πύργοι ψύξης των σταθμών παραγωγής ενέργειας έχουν σχήμα υπερβολοειδούς: αν τους κόψεις με κατακόρυφο επίπεδο που περνά από τον άξονά τους, το περίγραμμα είναι υπερβολή. Και το εκπληκτικό: αυτή η καμπύλη επιφάνεια μπορεί να κατασκευαστεί ολόκληρη από ευθύγραμμα δοκάρια, γι' αυτό είναι ταυτόχρονα ανθεκτική και οικονομική.

Μέθοδος: στοιχεία υπερβολής

Φέρε την εξίσωση στη μορφή « $\ldots - \ldots = 1$ ».
Ο παρονομαστής του θετικού όρου είναι το $\alpha^2$ · αυτός ο άξονας περιέχει εστίες και κορυφές.
$\gamma = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ , $\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha}$ .
Ασύμπτωτες: μηδένισε το δεύτερο μέλος και λύσε ως προς $y$ .

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν τα στοιχεία της υπερβολής $9x^2 - 16y^2 = 144$ .

Λύση: Διαιρώντας με $144$ : $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ . Άρα $\alpha = 4$ , $\beta = 3$ , $\gamma = \sqrt{16 + 9} = 5$ .

Εστίες $(\pm 5, 0)$ , κορυφές $(\pm 4, 0)$ .
Εκκεντρότητα $\varepsilon = \frac{5}{4}$ .
Ασύμπτωτες $y = \pm\frac{3}{4}x$ .

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η υπερβολή με εστίες $(0, \pm 5)$ και κορυφές $(0, \pm 3)$ , καθώς και οι ασύμπτωτές της.

Λύση: Εστίες στον $y'y$ , $\gamma = 5$ , $\alpha = 3$ , οπότε $\beta^2 = 25 - 9 = 16$ :

$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$

Ασύμπτωτες: $\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{16} \iff y = \pm\frac{3}{4}x$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι ασύμπτωτες της υπερβολής $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ ;

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η εφαπτομένη της $x^2 - y^2 = 3$ στο σημείο $M(2, 1)$ .

Λύση: Έλεγχος: $4 - 1 = 3$ ✓. Γράφεται $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = 1$ , οπότε η εφαπτομένη είναι $\frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1$ , δηλαδή $2x - y = 3$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μια υπερβολή με κέντρο $O$ και εστίες $(\pm\sqrt{5}, 0)$ έχει ασύμπτωτες $y = \pm 2x$ .

(α) Να βρεθεί η εξίσωσή της και η εκκεντρότητά της.

(β) Να δειχθεί ότι το $M(\sqrt{2}, 2)$ ανήκει στην υπερβολή και να βρεθεί η εφαπτομένη σε αυτό.

(γ) Πόσο είναι το $|(ME') - (ME)|$ ;

Λύση:

(α) $\frac{\beta}{\alpha} = 2 \Rightarrow \beta = 2\alpha$ και $\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2 = 5 \Rightarrow 5\alpha^2 = 5 \Rightarrow \alpha = 1$ , $\beta = 2$ :

$x^2 - \frac{y^2}{4} = 1, \qquad \varepsilon = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$

(β) $2 - \frac{4}{4} = 1$ ✓. Εφαπτομένη: $\sqrt{2}\,x - \frac{2y}{4} = 1$ , δηλαδή $2\sqrt{2}\,x - y = 2$ .

(γ) Από τον ορισμό, $|(ME') - (ME)| = 2\alpha = 2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η εκκεντρότητα μιας ισοσκελούς υπερβολής;

Γρήγορος έλεγχος

Για κάθε σημείο $M$ της υπερβολής $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ , η απόλυτη διαφορά $|(ME') - (ME)|$ ισούται με:

Πρόκληση

Δείξε ότι για κάθε σημείο $M$ της υπερβολής $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ το γινόμενο των αποστάσεών του από τις δύο ασύμπτωτες είναι σταθερό, και βρες την τιμή του.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εδώ $\alpha = 3$ , $\beta = 4$ , άρα ασύμπτωτες $y = \pm\frac{4}{3}x$ , δηλαδή $\varepsilon_1: 4x - 3y = 0$ και $\varepsilon_2: 4x + 3y = 0$ . Για $M(x, y)$ της υπερβολής:

$d_1 \cdot d_2 = \frac{|4x - 3y|}{5} \cdot \frac{|4x + 3y|}{5} = \frac{|16x^2 - 9y^2|}{25}$

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση της υπερβολής επί $144$ : $16x^2 - 9y^2 = 144$ . Άρα

$d_1 \cdot d_2 = \frac{144}{25}$

ανεξάρτητα από το σημείο! Έλεγχος στην κορυφή $A(3, 0)$ : $d_1 = d_2 = \frac{12}{5}$ και $\frac{12}{5} \cdot \frac{12}{5} = \frac{144}{25}$ ✓

Αυτό εξηγεί γιατί η καμπύλη «πλησιάζει» τις ασύμπτωτες: όσο απομακρύνεται η μία απόσταση, τόσο μικραίνει η άλλη, ώστε το γινόμενο να μένει ίδιο.

Συνηθισμένα λάθη

$\beta^2 = \alpha^2 - \gamma^2$ (τύπος έλλειψης). Στην υπερβολή $\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2$ , άρα $\gamma > \alpha$ .
$\alpha^2$ = ο μεγαλύτερος παρονομαστής. Όχι: είναι ο παρονομαστής του θετικού όρου.
Λάθος ασύμπτωτες όταν οι εστίες είναι στον $y'y$ . Για $\frac{y^2}{\alpha^2} - \frac{x^2}{\beta^2} = 1$ είναι $y = \pm\frac{\alpha}{\beta}x$ · με τον κανόνα « $= 0$ » δεν κάνεις ποτέ λάθος.
Διαφορά χωρίς απόλυτη τιμή. Στον έναν κλάδο $(ME') - (ME) = 2\alpha$ , στον άλλο $= -2\alpha$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Υπερβολή: $|(ME') - (ME)| = 2\alpha$ , με $2\alpha < 2\gamma$ .
$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ , $\beta^2 = \gamma^2 - \alpha^2$ · το $\alpha^2$ κάτω από τον θετικό όρο.
Ασύμπτωτες $y = \pm\frac{\beta}{\alpha}x$ (κανόνας: « $= 0$ »)· $\varepsilon = \frac{\gamma}{\alpha} > 1$ .
Ισοσκελής: $x^2 - y^2 = \alpha^2$ , ασύμπτωτες $y = \pm x$ , $\varepsilon = \sqrt{2}$ .
Εφαπτομένη: $\frac{xx_1}{\alpha^2} - \frac{yy_1}{\beta^2} = 1$ .

Ορισμός

Έστω δύο σημεία

E'

E

με

(E'E) = 2\gamma

. Υπερβολή με εστίες

E'

E

λέγεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου με σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων

2\alpha

από τις εστίες, όπου

0 < 2\alpha < 2\gamma

M \in C \iff \big|(ME') - (ME)\big| = 2\alpha

Εξίσωση

Βάλε ξανά τις εστίες στα

E'(-\gamma, 0)

E(\gamma, 0)

και θέσε

\beta = \sqrt{\gamma^2 - \alpha^2}

— τώρα $\gamma > \alpha$ , το αντίθετο από την έλλειψη. Με τους ίδιους τετραγωνισμούς καταλήγεις στην:

Η Υπερβολή

Πού ακούστηκε ο κρότος;

Ορισμός

Εξίσωση

Ιδιότητες της x2α2−y2β2=1\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1α2x2​−β2y2​=1

Ασύμπτωτες

Ισοσκελής υπερβολή

Εφαπτομένη

Μέθοδος: στοιχεία υπερβολής

Η Υπερβολή

Πού ακούστηκε ο κρότος;

Ορισμός

Εξίσωση

Ιδιότητες της x2α2−y2β2=1\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1α2x2​−β2y2​=1

Ασύμπτωτες

Ισοσκελής υπερβολή

Εφαπτομένη

Μέθοδος: στοιχεία υπερβολής

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$

Ιδιότητες της $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$