📐

Ορθές Προβολές & Πυθαγόρειο Θεώρημα

Προβολές, μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο, Πυθαγόρειο και αντίστροφο

Πόσο μακριά είναι ο ορίζοντας;

Στέκεσαι στην παραλία και κοιτάς τη θάλασσα. Πόσα χιλιόμετρα βλέπεις; Και από την κορυφή του Ολύμπου; Η απάντηση κρύβεται σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφή το κέντρο της Γης. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις τις σχέσεις που δένουν πλευρές, προβολές και ύψη στο ορθογώνιο τρίγωνο — και αποδεικνύεις το Πυθαγόρειο με ομοιότητα.

Ορθές προβολές

Η ορθή προβολή ενός σημείου πάνω σε ευθεία είναι το ίχνος της καθέτου από το σημείο προς την ευθεία· η προβολή ενός τμήματος είναι το τμήμα που ορίζουν οι προβολές των άκρων του.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\hat{A} = 90^\circ$ φέρνουμε το ύψος $A\Delta$ προς την υποτείνουσα $B\Gamma$ . Τότε:

$B\Delta$ είναι η προβολή της κάθετης πλευράς $AB$ πάνω στην υποτείνουσα
$\Delta\Gamma$ είναι η προβολή της κάθετης πλευράς $A\Gamma$

Το ύψος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο μικρότερα τρίγωνα, όμοια μεταξύ τους και με το αρχικό — και από αυτή την ομοιότητα γεννιούνται όλες οι μετρικές σχέσεις του κεφαλαίου!

Γιατί ισχύουν οι μετρικές σχέσεις — η απόδειξη

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A} = 90^\circ$ ) με ύψος $A\Delta$ υπάρχουν τρία όμοια τρίγωνα: το μεγάλο $AB\Gamma$ και τα δύο «κομμάτια» $\Delta BA$ και $\Delta A\Gamma$ .

$\Delta BA \sim AB\Gamma$ : έχουν τη $\hat{B}$ κοινή και από μία ορθή ( $\hat{\Delta} = \hat{A} = 90^\circ$ ), άρα $\frac{B\Delta}{AB} = \frac{AB}{B\Gamma}$ , δηλαδή $AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma$ . Με τον ίδιο τρόπο (κοινή $\hat{\Gamma}$ ) προκύπτει $A\Gamma^2 = \Gamma\Delta \cdot \Gamma B$ .
$\Delta BA \sim \Delta A\Gamma$ : είναι και τα δύο ορθογώνια στο $\Delta$ και $B\hat{A}\Delta = \hat{\Gamma}$ (και οι δύο είναι συμπληρωματικές της $\hat{B}$ ). Άρα $\frac{B\Delta}{A\Delta} = \frac{A\Delta}{\Delta\Gamma}$ , δηλαδή $A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma$ : το ύψος είναι μέση ανάλογος των δύο προβολών.
Η $A\Delta \cdot B\Gamma = AB \cdot A\Gamma$ προκύπτει γράφοντας το εμβαδόν με δύο τρόπους: $\frac{1}{2}B\Gamma \cdot A\Delta = \frac{1}{2}AB \cdot A\Gamma$ .

$AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma \qquad A\Gamma^2 = \Gamma\Delta \cdot \Gamma B$ $A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma \qquad A\Delta \cdot B\Gamma = AB \cdot A\Gamma$

Κόλπο μνήμης

σε κάθε μετρική σχέση, το τμήμα στο τετράγωνο και τα δύο τμήματα του γινομένου ξεκινούν από το ίδιο σημείο. $AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma$ — όλα από το $B$ . $A\Gamma^2 = \Gamma\Delta \cdot \Gamma B$ — όλα από το $\Gamma$ . $A\Delta^2 = \Delta B \cdot \Delta\Gamma$ — όλα από το $\Delta$ . Αν τα γράμματα δεν «ταιριάζουν», η σχέση είναι λάθος.

Δες τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών να γεμίζουν ακριβώς το τετράγωνο της υποτείνουσας — το α² = β² + γ² που τώρα αποδεικνύεις με ομοιότητα.

Το Πυθαγόρειο — απόδειξη σε μία γραμμή

Πρόσθεσε τις δύο πρώτες μετρικές σχέσεις και δες το θαύμα:

$AB^2 + A\Gamma^2 = B\Delta \cdot B\Gamma + \Gamma\Delta \cdot B\Gamma = B\Gamma(B\Delta + \Delta\Gamma) = B\Gamma^2$

Δηλαδή $\gamma^2 + \beta^2 = \alpha^2$ — το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αποδειγμένο πια με ομοιότητα. Ισχύει και το αντίστροφο: αν σε τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ήξερες ότι;

Ανάμεσα στις εκατοντάδες αποδείξεις του Πυθαγορείου υπάρχει και μία από Πρόεδρο των ΗΠΑ: ο James Garfield, πριν γίνει πρόεδρος, δημοσίευσε το 1876 μια απόδειξη με ένα τραπέζιο φτιαγμένο από δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα και ένα ισοσκελές ορθογώνιο. Υπολογίζεις το εμβαδόν του τραπεζίου με δύο τρόπους — και το $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ βγαίνει μόνο του.

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A} = 90^\circ$ ) με ύψος $A\Delta$ είναι $AB = 6$ και $B\Delta = 4$ . Η υποτείνουσα $B\Gamma$ είναι:

Μέθοδος: υπολογισμοί στο ορθογώνιο τρίγωνο

Κάνε σχήμα και ονόμασε όλα τα τμήματα: υποτείνουσα $\alpha = B\Gamma$ , κάθετες $\beta = A\Gamma$ , $\gamma = AB$ , ύψος $A\Delta$ , προβολές $B\Delta$ , $\Delta\Gamma$ .
Διάλεξε τη σχέση που έχει έναν μόνο άγνωστο (π.χ. γνωστές προβολές → $A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma$ ). Θυμήσου ότι $B\Delta + \Delta\Gamma = B\Gamma$ .
Την τρίτη πλευρά τη βρίσκεις με Πυθαγόρειο.
Επαλήθευσε με τη σχέση του εμβαδού $A\Delta \cdot B\Gamma = AB \cdot A\Gamma$ .
Είναι ορθογώνιο; Βρες τη μεγαλύτερη πλευρά και έλεγξε αν το τετράγωνό της ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο (αντίστροφο του Πυθαγορείου).

Άσκηση: Σε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\hat{A} = 90^\circ$ είναι $B\Gamma = 10$ και $AB = 6$ . Να βρεθούν η $A\Gamma$ , οι προβολές $B\Delta$ , $\Delta\Gamma$ και το ύψος $A\Delta$ .

Λύση: Πυθαγόρειο: $A\Gamma^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \Rightarrow A\Gamma = 8$ .

Από την $AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma$ : $36 = 10 \cdot B\Delta \Rightarrow B\Delta = 3{,}6$ , οπότε $\Delta\Gamma = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$ .

Από την $A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 \Rightarrow A\Delta = 4{,}8$ .

Επαλήθευση: $AB \cdot A\Gamma = 6 \cdot 8 = 48$ και $A\Delta \cdot B\Gamma = 4{,}8 \cdot 10 = 48$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( $\hat{A} = 90^\circ$ ) το ύψος $A\Delta$ χωρίζει την υποτείνουσα σε $B\Delta = 2$ και $\Delta\Gamma = 8$ . Πόσο είναι το $A\Delta$ ;

Άσκηση (αντίστροφο): Να εξεταστεί αν είναι ορθογώνιο το τρίγωνο με πλευρές (α) $9$ , $12$ , $15$ (β) $5$ , $7$ , $9$ (γ) $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $2\sqrt{2}$ . Όπου είναι, να βρεθεί ποια γωνία είναι ορθή.

Λύση: Σε κάθε περίπτωση συγκρίνουμε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων.

(α) $15^2 = 225$ και $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$ → ορθογώνιο, με ορθή γωνία απέναντι από την πλευρά $15$ .

(β) $9^2 = 81$ και $5^2 + 7^2 = 74$ → $81 \neq 74$ , όχι ορθογώνιο (η μεγαλύτερη γωνία είναι αμβλεία — θα δεις γιατί στη γενίκευση του Πυθαγορείου).

(γ) Η μεγαλύτερη είναι η $2\sqrt{2}$ (αφού $8 > 5 > 3$ ): $(2\sqrt{2})^2 = 8$ και $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 = 3 + 5 = 8$ → ορθογώνιο, με ορθή γωνία απέναντι από την $2\sqrt{2}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια τριάδα μηκών μπορεί να είναι οι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\hat{A} = 90^\circ$ και το ύψος του $A\Delta$ .

(α) Να αποδείξετε ότι $\frac{AB^2}{A\Gamma^2} = \frac{B\Delta}{\Delta\Gamma}$ .

(β) Αν $B\Delta = 4$ και $\Delta\Gamma = 9$ , να βρεθούν τα $A\Delta$ , $AB$ , $A\Gamma$ και το εμβαδόν του τριγώνου.

Σχήμα: Η υποτείνουσα $B\Gamma$ οριζόντια (το $B$ αριστερά), η κορυφή $A$ από πάνω και το $\Delta$ το ίχνος της καθέτου από το $A$ πάνω στη $B\Gamma$ , πιο κοντά στο $B$ .

Δεδομένα: $\hat{A} = 90^\circ$ , $A\Delta \perp B\Gamma$ . Ζητούμενο: η σχέση του (α) και τα μήκη του (β).

Απόδειξη (α): Από τις μετρικές σχέσεις $AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma$ και $A\Gamma^2 = \Gamma\Delta \cdot \Gamma B$ . Διαιρώντας κατά μέλη, ο κοινός παράγοντας $B\Gamma$ απλοποιείται:

$\frac{AB^2}{A\Gamma^2} = \frac{B\Delta \cdot B\Gamma}{\Delta\Gamma \cdot B\Gamma} = \frac{B\Delta}{\Delta\Gamma}$

Λύση (β): $B\Gamma = 4 + 9 = 13$ .

$A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma = 36 \Rightarrow A\Delta = 6$

$AB^2 = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow AB = 2\sqrt{13} \qquad A\Gamma^2 = 9 \cdot 13 = 117 \Rightarrow A\Gamma = 3\sqrt{13}$

$E = \frac{1}{2} B\Gamma \cdot A\Delta = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$

Επαλήθευση: $AB^2 + A\Gamma^2 = 52 + 117 = 169 = B\Gamma^2$ ✓ και $\frac{AB^2}{A\Gamma^2} = \frac{52}{117} = \frac{4}{9} = \frac{B\Delta}{\Delta\Gamma}$ ✓

Πρόκληση

Πόσο μακριά είναι ο ορίζοντας; Πάρε την ακτίνα της Γης $R = 6370$ km και αγνόησε τη διάθλαση της ατμόσφαιρας (που στην πράξη σε αφήνει να βλέπεις λίγο πιο μακριά).

(α) Τα μάτια σου βρίσκονται σε ύψος $h = 1{,}8$ m πάνω από τη θάλασσα. (β) Βρίσκεσαι στην κορυφή του Ολύμπου, $h \approx 2918$ m. (γ) Πόσο πρέπει να ανέβεις για να βλέπεις διπλάσια απόσταση;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $O$ το κέντρο της Γης, $\Pi$ το μάτι σου και $T$ το σημείο του ορίζοντα. Η οπτική ακτίνα $\Pi T$ εφάπτεται στη Γη, άρα είναι κάθετη στην ακτίνα $OT$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OT\Pi$ ( $\hat{T} = 90^\circ$ ), με $O\Pi = R + h$ , το Πυθαγόρειο δίνει

$d^2 = (R+h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2$

(α) Σε μέτρα: $d^2 = 2 \cdot 6\,370\,000 \cdot 1{,}8 + 1{,}8^2 \approx 22\,932\,003$ , άρα $d \approx 4789$ m — λιγότερο από 5 km!

(β) Σε km: $d^2 = 2 \cdot 6370 \cdot 2{,}918 + 2{,}918^2 \approx 37\,183{,}8$ , άρα $d \approx 193$ km.

(γ) Το $h^2$ είναι αμελητέο μπροστά στο $2Rh$ , οπότε $d \approx \sqrt{2Rh}$ . Για να διπλασιαστεί το $d$ πρέπει το $2Rh$ να τετραπλασιαστεί: από $1{,}8$ m θέλεις περίπου $7{,}2$ m ύψος — π.χ. ένα μπαλκόνι δεύτερου ορόφου. Διπλάσια θέα, τετραπλάσιο ύψος.

Μόλις δεις ορθογώνιο τρίγωνο με ύψος προς την υποτείνουσα, σχεδίασε το σχήμα και γράψε και τις τέσσερις μετρικές σχέσεις — η σωστή θα «φωτιστεί» από τα δεδομένα. Μνημονικός κανόνας: κάθε κάθετη πλευρά στο τετράγωνο ισούται με την υποτείνουσα επί τη δική της προβολή. Και για το είδος γωνίας, σύγκρινε πάντα το τετράγωνο της απέναντι πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων.

Συνηθισμένα λάθη

Γράφουν $AB^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma$ . Διόρθωση: κάθετη πλευρά² = υποτείνουσα × δική της προβολή· το γινόμενο των δύο προβολών δίνει το ύψος².
Εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο σε τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο. Διόρθωση: πρώτα εξασφάλισε ορθή γωνία — αλλιώς χρειάζεται η γενίκευση.
Στο αντίστροφο ελέγχουν μια τυχαία πλευρά. Διόρθωση: στο τετράγωνο μπαίνει πάντα η μεγαλύτερη πλευρά.
Ξεχνούν ότι $B\Delta + \Delta\Gamma = B\Gamma$ και ψάχνουν ξανά τη δεύτερη προβολή. Διόρθωση: βρες τη μία και αφαίρεσε από την υποτείνουσα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ορθή προβολή σημείου σε ευθεία = ίχνος της καθέτου· στο ορθογώνιο τρίγωνο οι $B\Delta$ , $\Delta\Gamma$ είναι οι προβολές των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα.
$AB^2 = B\Delta \cdot B\Gamma$ , $A\Gamma^2 = \Gamma\Delta \cdot \Gamma B$ , $A\Delta^2 = B\Delta \cdot \Delta\Gamma$ , $A\Delta \cdot B\Gamma = AB \cdot A\Gamma$ .
Όλες προκύπτουν από την ομοιότητα των τριών ορθογώνιων τριγώνων του σχήματος· προσθέτοντας τις δύο πρώτες βγαίνει το Πυθαγόρειο.
Αντίστροφο: αν $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ για τη μεγαλύτερη πλευρά $\alpha$ , το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο $A$ .

Ορθές προβολές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

AB\Gamma

με

\hat{A} = 90^\circ

φέρνουμε το ύψος

A\Delta

προς την υποτείνουσα

B\Gamma

. Τότε:

B\Delta

είναι η προβολή της κάθετης πλευράς

AB

πάνω στην υποτείνουσα

\Delta\Gamma

είναι η προβολή της κάθετης πλευράς

A\Gamma