🎡

Τριγωνομετρικός Κύκλος & Συναρτήσεις

Γενικευμένες γωνίες, ακτίνια, ημ/συν/εφ, περιοδικότητα

Πού θα βρίσκεσαι στη ρόδα του λούνα παρκ;

Μπαίνεις σε μια ρόδα λούνα παρκ που γυρίζει ξανά και ξανά. Μετά από περιστροφή $1590°$ , πόσο ψηλά βρίσκεσαι; Ως τώρα οι γωνίες σου ήταν σχήματα με άνοιγμα ως $360°$ . Όμως ρόδες, τροχοί, ρολόγια και μοτέρ γυρίζουν χωρίς όριο. Εδώ οι γωνίες γίνονται περιστροφές και ο τριγωνομετρικός κύκλος γίνεται ο χάρτης σου — η απάντηση για τη ρόδα σε περιμένει στην Πρόκληση.

Γενικευμένες γωνίες

Στο Γυμνάσιο οι γωνίες ζούσαν ανάμεσα στο $0°$ και το $360°$ . Τώρα τις απελευθερώνεις. Μια γενικευμένη γωνία παράγεται από την περιστροφή μιας ημιευθείας γύρω από την αρχή της. Είναι θετική όταν στρίβεις αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και αρνητική όταν στρίβεις όπως οι δείκτες. Μπορείς να κάνεις όσες πλήρεις στροφές θέλεις: η $390°$ είναι μια πλήρης στροφή συν $30°$ , άρα έχει την ίδια τελική πλευρά με την $30°$ .

Το ακτίνιο (rad)

Η φυσική μονάδα μέτρησης γωνιών: 1 ακτίνιο είναι η γωνία που, ως επίκεντρη σε κύκλο ακτίνας $\rho$ , βαίνει σε τόξο μήκους $\rho$ . Επειδή ολόκληρος ο κύκλος έχει μήκος $2\pi\rho$ , μια πλήρης στροφή είναι $2\pi$ rad — δηλαδή $\pi \text{ rad} = 180°$ .

$\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}, \quad \text{όπου } \alpha \text{ σε rad και } \mu \text{ σε μοίρες}$

Ήξερες ότι;

Οι $360°$ του κύκλου συνδέονται με το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης των Βαβυλώνιων αστρονόμων — γι' αυτό και σήμερα η μοίρα χωρίζεται σε $60$ πρώτα λεπτά. Το ακτίνιο είναι πολύ νεότερο ως όνομα: ο όρος «radian» εμφανίζεται τυπωμένος το $1873$ , σε θέματα εξετάσεων του James Thomson (αδελφού του Λόρδου Kelvin) στο Μπέλφαστ.

Παράδειγμα: α) Να μετατραπούν σε μοίρες οι γωνίες $\frac{3\pi}{4}$ rad και $\frac{5\pi}{3}$ rad. β) Να μετατραπεί σε ακτίνια η γωνία $240°$ . γ) Πόσες μοίρες είναι περίπου το $1$ rad;

Λύση: Από την αναλογία $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$ έχουμε $\mu = \frac{180\alpha}{\pi}$ και $\alpha = \frac{\pi\mu}{180}$ .

α) $\frac{3\pi}{4}$ rad $= \frac{3 \cdot 180°}{4} = 135°$ και $\frac{5\pi}{3}$ rad $= \frac{5 \cdot 180°}{3} = 300°$ .

β) $240° = \frac{240\pi}{180}$ rad $= \frac{4\pi}{3}$ rad.

γ) $1$ rad $= \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°$ .

Πρακτικός κανόνας: όπου βλέπεις $\pi$ rad, βάλε $180°$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες μοίρες είναι η γωνία $\frac{5\pi}{6}$ rad;

Σύρε τη γωνία στον τριγωνομετρικό κύκλο — δες το ημ και το συν να αλλάζουν ζωντανά.

Ημίτονο και συνημίτονο στον κύκλο

Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει κέντρο $O(0,0)$ και ακτίνα $1$ . Αν η τελική πλευρά γωνίας $\omega$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $M$ , τότε εξ ορισμού:

$\sigma\upsilon\nu\omega =$ η τετμημένη του $M$
$\eta\mu\omega =$ η τεταγμένη του $M$
$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$ , εφόσον $\sigma\upsilon\nu\omega \neq 0$

Τα πρόσημα διαβάζονται από τα τεταρτημόρια: στο 1ο όλα θετικά, στο 2ο μόνο το ημίτονο, στο 3ο μόνο η εφαπτομένη, στο 4ο μόνο το συνημίτονο. Και αφού το $M$ μένει πάντα πάνω στον κύκλο ακτίνας $1$ , οι συντεταγμένες του δεν ξεφεύγουν ποτέ από το $[-1, 1]$ .

$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1, \qquad -1 \le \eta\mu\omega \le 1, \qquad -1 \le \sigma\upsilon\nu\omega \le 1$

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών

Οι γωνίες του 1ου τεταρτημορίου που εμφανίζονται παντού:

$0$ : $\eta\mu 0 = 0$ , $\sigma\upsilon\nu 0 = 1$ , $\varepsilon\varphi 0 = 0$
$\frac{\pi}{6}$ ( $30°$ ): $\eta\mu = \frac{1}{2}$ , $\sigma\upsilon\nu = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\varepsilon\varphi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{4}$ ( $45°$ ): $\eta\mu = \sigma\upsilon\nu = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\varepsilon\varphi = 1$
$\frac{\pi}{3}$ ( $60°$ ): $\eta\mu = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sigma\upsilon\nu = \frac{1}{2}$ , $\varepsilon\varphi = \sqrt{3}$
$\frac{\pi}{2}$ ( $90°$ ): $\eta\mu = 1$ , $\sigma\upsilon\nu = 0$ , η εφαπτομένη δεν ορίζεται

Για τις γωνίες $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ τα σημεία του κύκλου είναι τα $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(-1, 0)$ , $(0, -1)$ — από αυτά διαβάζεις κατευθείαν το συνημίτονο (τετμημένη) και το ημίτονο (τεταγμένη).

Η εφαπτομένη έχει κι αυτή γεωμετρική εικόνα: στον άξονα των εφαπτομένων, την ευθεία $x = 1$ . Αν η ευθεία $OM$ την τέμνει στο σημείο $E(1, y_E)$ , τότε $\varepsilon\varphi\omega = y_E$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για ποιες τιμές του $\lambda$ υπάρχει γωνία $x$ με $\sigma\upsilon\nu x = 2\lambda - 3$ ;

Περιοδικότητα

Μετά από μια πλήρη στροφή το σημείο $M$ επιστρέφει ακριβώς εκεί που ήταν. Άρα για κάθε $\kappa \in \mathbb{Z}$ :

$\eta\mu(x + 2\kappa\pi) = \eta\mu x, \qquad \sigma\upsilon\nu(x + 2\kappa\pi) = \sigma\upsilon\nu x$

Οι συναρτήσεις $f(x) = \eta\mu x$ και $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$ είναι περιοδικές με περίοδο $2\pi$ — οι γραφικές τους παραστάσεις είναι τα γνωστά «κύματα». Η $\varepsilon\varphi x$ έχει περίοδο $\pi$ . Γενικότερα, η $f(x) = \rho\,\eta\mu(\omega x)$ με $\rho, \omega > 0$ έχει μέγιστο $\rho$ , ελάχιστο $-\rho$ και περίοδο $T = \frac{2\pi}{\omega}$ .

Μέθοδος: τριγωνομετρικοί αριθμοί «μεγάλης» γωνίας

Αφαίρεσε όσες πλήρεις στροφές χωράνε: γράψε $\omega = \kappa \cdot 360° + \theta$ (ή $\omega = 2\kappa\pi + \theta$ ) με $0 \le \theta < 360°$ . Το $\kappa$ είναι το πηλίκο της διαίρεσης της γωνίας με το $360$ .
Λόγω περιοδικότητας: $\eta\mu\omega = \eta\mu\theta$ και $\sigma\upsilon\nu\omega = \sigma\upsilon\nu\theta$ .
Βρες το τεταρτημόριο της $\theta$ για τα πρόσημα και υπολόγισε τους αριθμούς της — αν δεν είναι στο 1ο τεταρτημόριο, με αναγωγή.
Σε αρνητική γωνία πρόσθεσε πλήρεις στροφές μέχρι να γίνει θετική: π.χ. $-300° + 360° = 60°$ .

Άσκηση: α) Να μετατρέψετε τις $150°$ σε ακτίνια. β) Να υπολογίσετε τα $\eta\mu 150°$ , $\sigma\upsilon\nu 150°$ και $\eta\mu 390°$ .

Λύση: α) Από την αναλογία $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{150}{180} = \frac{5}{6}$ , άρα $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ rad.

β) Η $150° = 180° - 30°$ βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο, όπου το ημίτονο είναι θετικό και το συνημίτονο αρνητικό:

$\eta\mu 150° = \eta\mu 30° = \frac{1}{2}, \qquad \sigma\upsilon\nu 150° = -\sigma\upsilon\nu 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Για την $390° = 360° + 30°$ χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα: $\eta\mu 390° = \eta\mu 30° = \frac{1}{2}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Γωνία $\omega$ έχει την τελική της πλευρά στο 3ο τεταρτημόριο. Ποια είναι τα πρόσημα των $\eta\mu\omega$ και $\sigma\upsilon\nu\omega$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος:

α) Να υπολογιστούν τα $\eta\mu 1110°$ και $\sigma\upsilon\nu\frac{25\pi}{4}$ .

β) Να βρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης $A = 3 - 2\eta\mu x$ , καθώς και οι γωνίες $x \in [0, 2\pi)$ στις οποίες τις παίρνει.

γ) Να εξεταστεί αν υπάρχει γωνία $x$ με $\eta\mu x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Λύση:

α) $1110° = 3 \cdot 360° + 30°$ , άρα $\eta\mu 1110° = \eta\mu 30° = \frac{1}{2}$ . Επίσης $\frac{25\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$ , άρα $\sigma\upsilon\nu\frac{25\pi}{4} = \sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

β) Από $-1 \le \eta\mu x \le 1$ , πολλαπλασιάζοντας με $-2$ (αλλάζει η φορά): $-2 \le -2\eta\mu x \le 2$ , και προσθέτοντας $3$ : $1 \le A \le 5$ . Μέγιστη τιμή $5$ όταν $\eta\mu x = -1$ , δηλαδή για $x = \frac{3\pi}{2}$ · ελάχιστη τιμή $1$ όταν $\eta\mu x = 1$ , δηλαδή για $x = \frac{\pi}{2}$ .

γ) $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ , άρα $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$ . Αφού $\eta\mu x \le 1$ για κάθε $x$ , τέτοια γωνία δεν υπάρχει.

Απάντηση: α) $\frac{1}{2}$ και $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , β) μέγιστο $5$ για $x = \frac{3\pi}{2}$ , ελάχιστο $1$ για $x = \frac{\pi}{2}$ , γ) όχι.

Πρόκληση

Ο άξονας μιας ρόδας λούνα παρκ βρίσκεται $22$ m πάνω από το έδαφος και η ακτίνα της είναι $20$ m. Η καμπίνα σου ξεκινά στο ύψος του άξονα, στη δεξιά πλευρά, και η ρόδα γυρίζει αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού. Μετά από στροφή κατά γωνία $\theta$ , το ύψος σου είναι $h = 22 + 20\,\eta\mu\theta$ (η τεταγμένη ενός σημείου του κύκλου ακτίνας $20$ ). Να βρεθεί το ύψος για: α) $\theta = 1590°$ , β) $\theta = \frac{17\pi}{4}$ rad, γ) $\theta = -750°$ . δ) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο ύψος;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $1590° = 4 \cdot 360° + 150°$ , άρα $\eta\mu 1590° = \eta\mu 150°$ . Το σημείο της $150°$ είναι συμμετρικό της $30°$ ως προς τον άξονα $y'y$ — ίδιο ύψος: $\eta\mu 150° = \frac{1}{2}$ . Άρα $h = 22 + 10 = 32$ m.

β) $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$ (δύο πλήρεις στροφές), άρα $\eta\mu\frac{17\pi}{4} = \eta\mu\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ και $h = 22 + 10\sqrt{2} \approx 36{,}14$ m.

γ) $-750° + 3 \cdot 360° = 330°$ , στο 4ο τεταρτημόριο όπου το ημίτονο είναι αρνητικό: $\eta\mu 330° = -\frac{1}{2}$ . Άρα $h = 22 - 10 = 12$ m — κάτω από τον άξονα.

δ) Αφού $-1 \le \eta\mu\theta \le 1$ , είναι $2 \le h \le 42$ : μέγιστο ύψος $42$ m (για $\eta\mu\theta = 1$ , στην κορυφή) και ελάχιστο $2$ m (για $\eta\mu\theta = -1$ , στο χαμηλότερο σημείο).

Κόλπο μνήμης

τα πρόσημα με το «Ο.Η.Ε.Σ.» — 1ο τεταρτημόριο Όλα θετικά, 2ο μόνο το Ημίτονο, 3ο μόνο η Εφαπτομένη, 4ο μόνο το Συνημίτονο. Και στις εξετάσεις, πριν από κάθε υπολογισμό, ζωγράφισε έναν μικρό κύκλο στο πρόχειρο — ένα σωστό σχήμα προλαβαίνει τα μισά λάθη προσήμου.

Συνηθισμένα λάθη

Στη μετατροπή βάζουν $\pi = 360°$ . Σωστό: $\pi$ rad $= 180°$ .
Μπερδεύουν τους άξονες: το συνημίτονο είναι η τετμημένη του $M$ , το ημίτονο η τεταγμένη.
Δέχονται τιμές όπως $\eta\mu x = 2$ ή $\sigma\upsilon\nu x = -\frac{3}{2}$ . Ημίτονο και συνημίτονο παίρνουν τιμές μόνο στο $[-1, 1]$ .
Στην $A = 3 - 2\eta\mu x$ θεωρούν ότι το μέγιστο είναι όταν $\eta\mu x = 1$ . Το μείον αντιστρέφει τους ρόλους: μέγιστο όταν $\eta\mu x = -1$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\pi$ rad $= 180°$ , δηλαδή $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$
Στον τριγωνομετρικό κύκλο: $\sigma\upsilon\nu\omega$ = τετμημένη, $\eta\mu\omega$ = τεταγμένη του $M$ , $\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$
$-1 \le \eta\mu\omega \le 1$ , $-1 \le \sigma\upsilon\nu\omega \le 1$ και $\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$
Πρόσημα: 1ο τεταρτημόριο όλα θετικά, 2ο το ημίτονο, 3ο η εφαπτομένη, 4ο το συνημίτονο
$\eta\mu(\omega + 2\kappa\pi) = \eta\mu\omega$ και $\sigma\upsilon\nu(\omega + 2\kappa\pi) = \sigma\upsilon\nu\omega$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$

Γενικευμένες γωνίες

Στο Γυμνάσιο οι γωνίες ζούσαν ανάμεσα στο

0°

και το

360°

. Τώρα τις απελευθερώνεις. Μια γενικευμένη γωνία παράγεται από την περιστροφή μιας ημιευθείας γύρω από την αρχή της. Είναι θετική όταν στρίβεις αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και αρνητική όταν στρίβεις όπως οι δείκτες. Μπορείς να κάνεις όσες πλήρεις στροφές θέλεις: η

390°

είναι μια πλήρης στροφή συν

30°

, άρα έχει την ίδια τελική πλευρά με την

30°

Το ακτίνιο (rad)

Η φυσική μονάδα μέτρησης γωνιών: 1 ακτίνιο είναι η γωνία που, ως επίκεντρη σε κύκλο ακτίνας

\rho

, βαίνει σε τόξο μήκους

\rho

. Επειδή ολόκληρος ο κύκλος έχει μήκος

2\pi\rho

, μια πλήρης στροφή είναι

2\pi

rad — δηλαδή

\pi \text{ rad} = 180°