🔺

Θεώρημα του Θαλή

Παράλληλες ευθείες και ανάλογα τμήματα, Θαλής στο τρίγωνο, αντίστροφο και απόδειξη παραλληλίας

Πώς μετράς μια πυραμίδα χωρίς να την ανέβεις;

Σύμφωνα με αρχαίες πηγές (Διογένης Λαέρτιος, Πλούταρχος), ο Θαλής μέτρησε το ύψος πυραμίδας με ένα ραβδί και τη σκιά του: οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες, άρα η πυραμίδα και το ραβδί ρίχνουν σκιές στον ίδιο λόγο με τα ύψη τους. Την ίδια ιδέα χρησιμοποιεί κάθε χάρτης με κλίμακα και κάθε φωτογραφία που μεγεθύνεις στο κινητό σου. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις πώς οι παράλληλες «μεταφέρουν» λόγους από μια ευθεία σε άλλη — το κλειδί για την ομοιότητα που ακολουθεί.

Το Θεώρημα του Θαλή

Ο λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων είναι ο λόγος των μηκών τους — ένας καθαρός αριθμός που λέει πόσες φορές «χωράει» το ένα μέσα στο άλλο. Τέσσερα τμήματα λέγονται ανάλογα όταν σχηματίζουν αναλογία: $\frac{AB}{\Gamma\Delta} = \frac{EZ}{H\Theta}$ .

Θεώρημα Θαλή: Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε ορίζουν πάνω τους ανάλογα τμήματα. Οι παράλληλες δουλεύουν σαν «φωτοτυπικό μηχάνημα» λόγων: ό,τι αναλογία υπάρχει στη μία ευθεία, αντιγράφεται αυτούσια στην άλλη.

Η πιο χρήσιμη μορφή ζει μέσα στο τρίγωνο: αν μια ευθεία είναι παράλληλη σε πλευρά τριγώνου, χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα μέρη — και ισχύει και το αντίστροφο, που είναι το βασικό εργαλείο για να αποδεικνύεις παραλληλία.

Σύρε τις παράλληλες: όπου κι αν κόβουν, ο λόγος ΑΔ/ΔΒ μένει πάντα ίσος με τον ΑΕ/ΕΓ — δες πώς οι παράλληλες «αντιγράφουν» τους λόγους από τη μία ευθεία στην άλλη.

$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3 \Rightarrow \frac{AB}{B\Gamma} = \frac{\Delta E}{EZ}$ $\text{Σε τρίγωνο } AB\Gamma: \quad \Delta E \parallel B\Gamma \iff \frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$

Γιατί ισχύει — η ιδέα της απόδειξης

Ξεκινάς από κάτι που ξέρεις από την Α΄ Λυκείου: αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μία τέμνουσα, ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη τέμνουσα (όπως στο θεώρημα των μέσων).

Έστω τώρα ότι οι παράλληλες $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ , $\varepsilon_3$ ορίζουν στη μία τέμνουσα τα $AB$ , $B\Gamma$ με $\frac{AB}{B\Gamma} = \frac{\mu}{\nu}$ (σύμμετρα τμήματα με κοινό μέτρο $\delta$ ). Χώρισε το $AB$ σε $\mu$ και το $B\Gamma$ σε $\nu$ ίσα κομμάτια μήκους $\delta$ και φέρε από κάθε σημείο διαίρεσης παράλληλη προς την $\varepsilon_1$ . Στην άλλη τέμνουσα σχηματίζονται $\mu + \nu$ ίσα κομμάτια, έστω μήκους $\delta'$ : $\mu$ από αυτά στο $\Delta E$ και $\nu$ στο $EZ$ . Άρα

$\frac{\Delta E}{EZ} = \frac{\mu\delta'}{\nu\delta'} = \frac{\mu}{\nu} = \frac{AB}{B\Gamma}$

Το θεώρημα ισχύει και για ασύμμετρα τμήματα· η απόδειξη εκείνης της περίπτωσης απαιτεί οριακή διαδικασία και δεν ζητείται.

Οι «σωστοί» λόγοι στο τρίγωνο

Όταν $\Delta E \parallel B\Gamma$ (με $\Delta$ στην $AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ ), ο Θαλής δίνει ισοδύναμες μορφές — από τη μία περνάς στις άλλες με τις ιδιότητες των αναλογιών:

$\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma} \iff \frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma} \iff \frac{\Delta B}{AB} = \frac{E\Gamma}{A\Gamma}$

Η ίδια η παράλληλη $\Delta E$ δεν μπαίνει στις αναλογίες του Θαλή. Τη βρίσκεις μόνο από την ομοιότητα των τριγώνων $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ , και ο λόγος της είναι «κομμάτι προς ολόκληρη πλευρά»:

$\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma} \qquad \left(\text{όχι } \frac{A\Delta}{\Delta B}\right)$

Το αντίστροφο είναι το εργαλείο για απόδειξη παραλληλίας: αν δείξεις ότι $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ (ή ισοδύναμα $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ ), τότε $\Delta E \parallel B\Gamma$ .

Ήξερες ότι;

Το «θεώρημα του Θαλή» δεν σημαίνει το ίδιο παντού. Στην Ελλάδα και στη Γαλλία (théorème de Thalès) είναι αυτό που μαθαίνεις εδώ, για τις παράλληλες. Στα αγγλόφωνα βιβλία όμως, «Thales's theorem» λέγεται ότι η εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή — και το δικό μας λέγεται «intercept theorem».

Μέθοδος: ασκήσεις με το θεώρημα του Θαλή

Εντόπισε τις παράλληλες και τις δύο τέμνουσες. Στο τρίγωνο, τέμνουσες είναι οι δύο πλευρές που ξεκινούν από την κορυφή απέναντι από την πλευρά στην οποία φέρεται η παράλληλη.
Γράψε την αναλογία με τα κομμάτια με την ίδια σειρά στις δύο τέμνουσες: $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ ή $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ .
Λύσε με χιαστί ή με τις ιδιότητες των αναλογιών (π.χ. όταν δίνεται ολόκληρη η πλευρά).
Απόδειξη παραλληλίας: υπολόγισε χωριστά τους λόγους $\frac{A\Delta}{\Delta B}$ και $\frac{AE}{E\Gamma}$ · αν είναι ίσοι, το αντίστροφο δίνει $\Delta E \parallel B\Gamma$ .
Η ίδια η παράλληλη $\Delta E$ δεν μπαίνει στις αναλογίες του Θαλή.

Άσκηση: Τρεις παράλληλες ευθείες $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ , $\varepsilon_3$ τέμνουν την ευθεία $\delta_1$ στα $A$ , $B$ , $\Gamma$ και την ευθεία $\delta_2$ στα $\Delta$ , $E$ , $Z$ αντίστοιχα. Αν $AB = 4$ , $B\Gamma = 6$ και $\Delta Z = 15$ , να βρεθούν τα $\Delta E$ και $EZ$ .

Λύση: Από το θεώρημα του Θαλή:

$\frac{\Delta E}{EZ} = \frac{AB}{B\Gamma} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Θέτουμε $\Delta E = 2\kappa$ και $EZ = 3\kappa$ , με $\Delta E + EZ = \Delta Z = 15$ :

$5\kappa = 15 \Rightarrow \kappa = 3 \Rightarrow \Delta E = 6, \ EZ = 9$

Έλεγχος: $\frac{6}{9} = \frac{4}{6}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\Delta E \parallel B\Gamma$ , με $\Delta$ στην $AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ . Αν $A\Delta = 4$ , $\Delta B = 2$ και $AE = 6$ , πόσο είναι το $E\Gamma$ ;

Άσκηση (αντίστροφο): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $AB = 10$ και $A\Gamma = 15$ . Παίρνουμε σημείο $\Delta$ στην $AB$ με $A\Delta = 4$ και σημείο $E$ στην $A\Gamma$ με $AE = 6$ . (α) Είναι $\Delta E \parallel B\Gamma$ ; (β) Αν αντί για το $E$ πάρουμε σημείο $E'$ της $A\Gamma$ με $AE' = 5$ , είναι $\Delta E' \parallel B\Gamma$ ;

Λύση: (α) $\Delta B = 10 - 4 = 6$ και $E\Gamma = 15 - 6 = 9$ . Οι λόγοι είναι

$\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \qquad \frac{AE}{E\Gamma} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Είναι ίσοι, άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή $\Delta E \parallel B\Gamma$ .

(β) $E'\Gamma = 10$ και $\frac{AE'}{E'\Gamma} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$ , άρα η $\Delta E'$ δεν είναι παράλληλη στη $B\Gamma$ . (Αφού από το $\Delta$ περνά μόνο μία παράλληλη προς τη $B\Gamma$ , και αυτή είναι η $\Delta E$ .)

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ παίρνουμε $\Delta$ στην $AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ με $A\Delta = 3$ , $AB = 9$ και $AE = 4$ . Πόση πρέπει να είναι η $A\Gamma$ ώστε $\Delta E \parallel B\Gamma$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ με $AB \parallel \Gamma\Delta$ . Μια ευθεία παράλληλη στις βάσεις τέμνει τη μη παράλληλη πλευρά $A\Delta$ στο $E$ , τη διαγώνιο $A\Gamma$ στο $K$ και τη μη παράλληλη πλευρά $B\Gamma$ στο $Z$ .

(α) Να αποδείξετε ότι $\frac{AE}{E\Delta} = \frac{BZ}{Z\Gamma}$ .

(β) Αν $AE = 2$ , $E\Delta = 3$ και $B\Gamma = 10$ , να βρεθούν τα $BZ$ και $Z\Gamma$ .

Σχήμα: Η μικρή βάση $AB$ πάνω (το $A$ αριστερά), η μεγάλη βάση $\Delta\Gamma$ κάτω (το $\Delta$ αριστερά). Η οριζόντια ευθεία $EZ$ διασχίζει το τραπέζιο ανάμεσα στις βάσεις: το $E$ στην αριστερή πλευρά $A\Delta$ , το $Z$ στη δεξιά πλευρά $B\Gamma$ , και το $K$ εκεί όπου η $EZ$ κόβει τη διαγώνιο $A\Gamma$ .

Δεδομένα: $AB \parallel EZ \parallel \Gamma\Delta$ , $K = EZ \cap A\Gamma$ .

Ζητούμενο: $\frac{AE}{E\Delta} = \frac{BZ}{Z\Gamma}$ και τα $BZ$ , $Z\Gamma$ .

Απόδειξη (α): Η διαγώνιος $A\Gamma$ χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα.

Στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ είναι $EK \parallel \Delta\Gamma$ , άρα από το θεώρημα του Θαλή $\frac{AE}{E\Delta} = \frac{AK}{K\Gamma}$ .
Στο τρίγωνο $\Gamma AB$ είναι $KZ \parallel AB$ , άρα $\frac{\Gamma K}{KA} = \frac{\Gamma Z}{ZB}$ , δηλαδή (αντιστρέφοντας) $\frac{AK}{K\Gamma} = \frac{BZ}{Z\Gamma}$ .

Οι δύο αναλογίες έχουν κοινό λόγο $\frac{AK}{K\Gamma}$ , άρα $\frac{AE}{E\Delta} = \frac{BZ}{Z\Gamma}$ .

Λύση (β): $\frac{BZ}{Z\Gamma} = \frac{2}{3}$ με $BZ + Z\Gamma = 10$ , άρα $BZ = 4$ και $Z\Gamma = 6$ .

Συμπέρασμα: το θεώρημα του Θαλή ισχύει και για τις μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου — η διαγώνιος είναι η «γέφυρα» που μεταφέρει τον λόγο.

Κόλπο μνήμης

«πάνω προς κάτω = πάνω προς κάτω». Σε κάθε τέμνουσα διάβασε τα κομμάτια με την ίδια σειρά, από την κοινή κορυφή προς τα έξω: $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ ή «πάνω προς όλο» $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ . Η παράλληλη $\Delta E$ δεν είναι κομμάτι καμίας τέμνουσας — γι' αυτό δεν μπαίνει στο παιχνίδι.

Γρήγορος έλεγχος

Τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο ευθείες. Στην πρώτη ορίζουν διαδοχικά τμήματα $5$ και $7$ , στη δεύτερη το πρώτο τμήμα είναι $10$ . Πόσο είναι το δεύτερο;

Πρόκληση

Η παράλληλη χωρίς ομοιότητα. Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ φέρνουμε από σημείο $\Delta$ της $AB$ την $\Delta E \parallel B\Gamma$ ( $E$ στην $A\Gamma$ ) και από το $E$ την $EZ \parallel AB$ ( $Z$ στη $B\Gamma$ ). Αν $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{2}{3}$ , βρες τον λόγο $\frac{\Delta E}{B\Gamma}$ χρησιμοποιώντας μόνο το θεώρημα του Θαλή.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Delta E \parallel B\Gamma$ : $\frac{AE}{E\Gamma} = \frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{2}{3}$ .

Στο ίδιο τρίγωνο με $EZ \parallel AB$ (τέμνουσες οι $\Gamma A$ και $\Gamma B$ από την κορυφή $\Gamma$ ): $\frac{\Gamma Z}{ZB} = \frac{\Gamma E}{EA} = \frac{3}{2}$ , άρα $\frac{BZ}{B\Gamma} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}$ .

Το $\Delta BZE$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες ( $\Delta E \parallel BZ$ και $EZ \parallel \Delta B$ ), άρα είναι παραλληλόγραμμο και $\Delta E = BZ$ . Επομένως

$\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{BZ}{B\Gamma} = \frac{2}{5} = \frac{A\Delta}{AB}$

Να λοιπόν γιατί η παράλληλη έχει λόγο «κομμάτι προς όλη την πλευρά» $\frac{A\Delta}{AB}$ και όχι $\frac{A\Delta}{\Delta B}$ — η ίδια ιδέα αποδεικνύει τα κριτήρια ομοιότητας.

Συνηθισμένα λάθη

Βάζουν την παράλληλη $\Delta E$ μέσα στις αναλογίες του Θαλή ή γράφουν $\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{A\Delta}{\Delta B}$ . Διόρθωση: η $\Delta E$ βγαίνει μόνο από ομοιότητα, με λόγο $\frac{A\Delta}{AB}$ (κομμάτι προς όλη την πλευρά).
Εφαρμόζουν τον Θαλή σε ευθείες που δεν έχει αποδειχθεί ότι είναι παράλληλες. Διόρθωση: η παραλληλία πρέπει να είναι δεδομένο ή να αποδειχθεί πρώτα.
Στο αντίστροφο συγκρίνουν λόγους με ανάποδη σειρά, π.χ. $\frac{A\Delta}{\Delta B}$ με $\frac{E\Gamma}{AE}$ . Διόρθωση: και οι δύο λόγοι ξεκινούν από την κοινή κορυφή $A$ .
Ανακατεύουν τις δύο μορφές: $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{A\Gamma}$ . Διόρθωση: κομμάτι/κομμάτι με κομμάτι/κομμάτι, ή κομμάτι/όλο με κομμάτι/όλο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θαλής: παράλληλες ευθείες ορίζουν ανάλογα τμήματα σε δύο τέμνουσες.
Στο τρίγωνο: $\Delta E \parallel B\Gamma \iff \frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma} \iff \frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ .
Το αντίστροφο είναι το εργαλείο για απόδειξη παραλληλίας.
Η παράλληλη πλευρά δεν μπαίνει στον Θαλή: $\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{A\Delta}{AB}$ (από ομοιότητα).
Στο τραπέζιο, μια παράλληλη στις βάσεις χωρίζει τις μη παράλληλες πλευρές σε ανάλογα τμήματα.

Το Θεώρημα του Θαλή

\frac{AB}{\Gamma\Delta} = \frac{EZ}{H\Theta}