🧭

Γενίκευση του Πυθαγορείου

Πλευρά απέναντι από αμβλεία ή οξεία γωνία, προβολές, είδος τριγώνου από τις πλευρές

Ξέρεις αν μια γωνία είναι αμβλεία χωρίς μοιρογνωμόνιο;

Οι μάστορες ελέγχουν αν μια γωνία τοίχου είναι ορθή με το « $3$ - $4$ - $5$ »: σημαδεύουν $3$ m στον έναν τοίχο, $4$ m στον άλλον και μετρούν τη «διαγώνιο». Αν βγει ακριβώς $5$ m, η γωνία είναι ορθή. Αν όμως βγει $5{,}1$ m; Ή $4{,}9$ m; Η γενίκευση του Πυθαγορείου λέει ακριβώς προς ποια μεριά «ανοίγει» η γωνία — και κατά πόσο — μόνο από τα μήκη.

Γενίκευση: όταν η γωνία δεν είναι ορθή

Σε τυχαίο τρίγωνο $AB\Gamma$ , έστω $\Delta$ η προβολή του $B$ πάνω στην ευθεία $A\Gamma$ , οπότε $A\Delta$ είναι η προβολή της $AB$ πάνω στην $A\Gamma$ . Το $\beta^2 + \gamma^2$ «διορθώνεται» με έναν όρο προβολής:

Αν η $\hat{A}$ είναι αμβλεία, η απέναντι πλευρά $\alpha$ μεγαλώνει: προσθέτουμε $2\beta \cdot A\Delta$
Αν η $\hat{A}$ είναι οξεία, η $\alpha$ μικραίνει: αφαιρούμε $2\beta \cdot A\Delta$

Έτσι, συγκρίνοντας το $\alpha^2$ με το $\beta^2 + \gamma^2$ , διαβάζεις το είδος της γωνίας $\hat{A}$ μόνο από τα μήκη — χωρίς μοιρογνωμόνιο!

Η απόδειξη — Πυθαγόρειο δύο φορές

Αμβλεία $\hat{A}$ : η κάθετη από το $B$ πέφτει στην προέκταση της $\Gamma A$ πέρα από το $A$ , στο $\Delta$ . Τότε $\Delta\Gamma = \Delta A + A\Gamma = A\Delta + \beta$ . Στα ορθογώνια τρίγωνα $B\Delta\Gamma$ και $B\Delta A$ :

$\alpha^2 = B\Delta^2 + \Delta\Gamma^2 = (\gamma^2 - A\Delta^2) + (A\Delta + \beta)^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot A\Delta$

Οξεία $\hat{A}$ : τώρα $\Delta\Gamma = |\beta - A\Delta|$ (το $\Delta$ πέφτει πάνω στην $A\Gamma$ ή στην προέκτασή της πέρα από το $\Gamma$ ), και ο ίδιος υπολογισμός δίνει

$\alpha^2 = (\gamma^2 - A\Delta^2) + (\beta - A\Delta)^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot A\Delta$

Λεκτικά: το τετράγωνο πλευράς απέναντι από αμβλεία (οξεία) γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, αυξημένο (ελαττωμένο) κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω της. Μπορείς να διαλέξεις όποια από τις δύο πλευρές βολεύει: ισοδύναμα $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \mp 2\gamma \cdot AE$ , με $AE$ την προβολή της $\beta$ πάνω στη $\gamma$ .

Αφού ο όρος $2\beta \cdot A\Delta$ είναι θετικός, προκύπτει το κριτήριο για το είδος της γωνίας — και το αντίστροφο ισχύει, γιατί οι τρεις περιπτώσεις (οξεία, ορθή, αμβλεία) αλληλοαποκλείονται.

$\hat{A} > 90^\circ: \ \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot A\Delta \qquad \hat{A} < 90^\circ: \ \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot A\Delta$ $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2 \iff \hat{A} > 90^\circ \qquad \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 \iff \hat{A} = 90^\circ \qquad \alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2 \iff \hat{A} < 90^\circ$

Κόλπο μνήμης

φαντάσου έναν διαβήτη με σκέλη $\beta$ και $\gamma$ . Όσο ανοίγεις τη γωνία $A$ πέρα από τις $90^\circ$ , τόσο απομακρύνονται οι μύτες του — η απέναντι πλευρά $\alpha$ μεγαλώνει, άρα $+$ . Κλείνεις τη γωνία κάτω από τις $90^\circ$ → οι μύτες πλησιάζουν → $-$ .

Μέθοδος: τυχαίο τρίγωνο με γνωστές πλευρές

Είδος τριγώνου: βρες τη μεγαλύτερη πλευρά και σύγκρινε το τετράγωνό της με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο — αυτή η γωνία αποφασίζει αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.
Προβολή: βρες πρώτα το είδος της γωνίας που σε ενδιαφέρει, γράψε τη γενίκευση με το σωστό πρόσημο και λύσε ως προς την προβολή.
Ύψος: Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν η πλευρά, η προβολή της και το ύψος.
Εμβαδόν: $\frac{1}{2} \cdot \text{βάση} \cdot \text{ύψος}$ — και έλεγχος με τον τύπο του Ήρωνα.

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο έχει πλευρές $\alpha = 6$ , $\beta = 4$ , $\gamma = 3$ . Τι είδους είναι η γωνία $\hat{A}$ , που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά;

Άσκηση: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $\alpha = B\Gamma = 4$ , $\beta = A\Gamma = 5$ και $\gamma = AB = 6$ . (α) Να βρεθεί το είδος του τριγώνου. (β) Να βρεθεί η προβολή $AE$ της $A\Gamma$ πάνω στην $AB$ . (γ) Να βρεθούν το ύψος $\Gamma E$ και το εμβαδόν.

Λύση: (α) Μεγαλύτερη πλευρά η $\gamma = 6$ : $\gamma^2 = 36 < \alpha^2 + \beta^2 = 16 + 25 = 41$ , άρα η μεγαλύτερη γωνία $\hat{\Gamma}$ είναι οξεία και το τρίγωνο οξυγώνιο.

(β) Η $\hat{A}$ είναι οξεία, οπότε για την πλευρά $\alpha$ που βρίσκεται απέναντί της, με προβολή της $\beta$ πάνω στη $\gamma$ :

$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\gamma \cdot AE \Rightarrow 16 = 25 + 36 - 12 \cdot AE \Rightarrow AE = \frac{45}{12} = \frac{15}{4}$

(γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AE\Gamma$ :

$\Gamma E^2 = \beta^2 - AE^2 = 25 - \frac{225}{16} = \frac{175}{16} \Rightarrow \Gamma E = \frac{5\sqrt{7}}{4}$

$E = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \Gamma E = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{5\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

Έλεγχος με Ήρωνα: $\tau = 7{,}5$ και $\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma) = 7{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5 = \frac{1575}{16}$ , ενώ $\left(\frac{15\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{1575}{16}$ ✓

Άσκηση: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $\alpha = B\Gamma = 7$ , $\beta = A\Gamma = 8$ και $\gamma = AB = 5$ . (α) Να βρεθεί το είδος του τριγώνου. (β) Να υπολογιστούν η προβολή $A\Delta$ της $AB$ πάνω στην $A\Gamma$ και το ύψος $B\Delta$ . (γ) Να βρεθούν η γωνία $\hat{A}$ και το εμβαδόν.

Λύση: (α) Η μεγαλύτερη πλευρά είναι η $\beta = 8$ : $\beta^2 = 64$ και $\alpha^2 + \gamma^2 = 49 + 25 = 74$ . Αφού $64 < 74$ , η μεγαλύτερη γωνία $\hat{B}$ είναι οξεία, άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

(β) Για τη $\hat{A}$ : $\beta^2 + \gamma^2 = 89 > 49 = \alpha^2$ , άρα η $\hat{A}$ είναι οξεία και

$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot A\Delta \Rightarrow 49 = 89 - 16 \cdot A\Delta \Rightarrow A\Delta = \frac{40}{16} = 2{,}5$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Delta$ ( $\hat{\Delta} = 90^\circ$ ):

$B\Delta^2 = AB^2 - A\Delta^2 = 25 - 6{,}25 = 18{,}75 = \frac{75}{4} \Rightarrow B\Delta = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Delta$ η κάθετη πλευρά $A\Delta = 2{,}5$ είναι το μισό της υποτείνουσας $AB = 5$ , άρα η απέναντί της γωνία είναι $A\hat{B}\Delta = 30^\circ$ και επομένως $\hat{A} = 60^\circ$ . Εμβαδόν:

$E = \frac{1}{2} \cdot A\Gamma \cdot B\Delta = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

Επαλήθευση με Ήρωνα: $\tau = 10$ και $E = \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η γωνία $\hat{A}$ είναι αμβλεία, $\beta = 4$ , $\gamma = 3$ , και η προβολή της $AB$ πάνω στην ευθεία $A\Gamma$ έχει μήκος $1$ . Πόσο είναι το $\alpha^2$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύει $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + \beta\gamma$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η γωνία $\hat{A}$ είναι αμβλεία.

(β) Αν $\Delta$ είναι η προβολή του $B$ στην ευθεία $A\Gamma$ , να αποδείξετε ότι $A\Delta = \frac{\gamma}{2}$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι $\hat{A} = 120^\circ$ .

(δ) Για $\beta = 3$ και $\gamma = 5$ να βρεθούν η $\alpha$ και το εμβαδόν.

Σχήμα: Η πλευρά $A\Gamma$ οριζόντια με το $\Gamma$ δεξιά. Η γωνία στο $A$ είναι αμβλεία, οπότε το $B$ βρίσκεται πάνω αριστερά και η κάθετη $B\Delta$ πέφτει στην προέκταση της $\Gamma A$ πέρα από το $A$ , σχηματίζοντας το ορθογώνιο τρίγωνο $B\Delta A$ έξω από το $AB\Gamma$ .

Δεδομένα: $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + \beta\gamma$ , $B\Delta \perp A\Gamma$ .

Ζητούμενο: $\hat{A} > 90^\circ$ , $A\Delta = \frac{\gamma}{2}$ , $\hat{A} = 120^\circ$ , $\alpha$ και $E$ .

Απόδειξη (α): Αφού $\beta\gamma > 0$ , είναι $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2$ , άρα $\hat{A} > 90^\circ$ .

(β) Για αμβλεία $\hat{A}$ η γενίκευση δίνει $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot A\Delta$ . Συγκρίνοντας με τη δοσμένη σχέση: $2\beta \cdot A\Delta = \beta\gamma$ , άρα $A\Delta = \frac{\gamma}{2}$ .

(γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $B\Delta A$ η κάθετη πλευρά $A\Delta$ είναι το μισό της υποτείνουσας $AB = \gamma$ , άρα η απέναντί της γωνία είναι $A\hat{B}\Delta = 30^\circ$ και $B\hat{A}\Delta = 60^\circ$ . Η $\hat{A}$ του τριγώνου είναι παραπληρωματική της $B\hat{A}\Delta$ (το $\Delta$ είναι στην προέκταση της $\Gamma A$ ), άρα $\hat{A} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Λύση (δ): $\alpha^2 = 9 + 25 + 15 = 49$ , άρα $\alpha = 7$ . Το ύψος είναι $B\Delta = \sqrt{\gamma^2 - \frac{\gamma^2}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ , οπότε

$E = \frac{1}{2} \cdot A\Gamma \cdot B\Delta = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\alpha = 6$ , $\beta = 5$ , $\gamma = 4$ και η $\hat{A}$ είναι οξεία. Πόση είναι η προβολή $A\Delta$ της $\gamma$ πάνω στη $\beta$ ;

Ήξερες ότι;

Η γενίκευση του Πυθαγορείου υπάρχει ήδη στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη (Βιβλίο II, Προτάσεις 12 και 13) — χωρίς τριγωνομετρία, ακριβώς με τον όρο της προβολής όπως εδώ. Ο «νόμος των συνημιτόνων» $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta\gamma\,\sigma\upsilon\nu A$ είναι η ίδια σχέση, αφού η προβολή της $\gamma$ πάνω στη $\beta$ έχει μήκος $\gamma\,|\sigma\upsilon\nu A|$ .

Πρόκληση

Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου. Παραλληλόγραμμο έχει πλευρές $5$ και $7$ και μία διαγώνιο $8$ . Πόση είναι η άλλη διαγώνιος; (Υπόδειξη: δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές — η μία αμβλεία, η άλλη οξεία.)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $AB\Gamma\Delta$ με $AB = \alpha$ , $A\Delta = B\Gamma = \beta$ και $\hat{A}$ αμβλεία, οπότε $\hat{B}$ οξεία. Οι ίσες και παράλληλες πλευρές $A\Delta$ και $B\Gamma$ έχουν ίσες προβολές $x$ πάνω στην ευθεία $AB$ .

Στο τρίγωνο $AB\Delta$ , η $B\Delta$ είναι απέναντι από την αμβλεία $\hat{A}$ : $B\Delta^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha x$ .
Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ , η $A\Gamma$ είναι απέναντι από την οξεία $\hat{B}$ : $A\Gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha x$ .

Προσθέτοντας, ο όρος της προβολής φεύγει:

$A\Gamma^2 + B\Delta^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2)$

Με $\alpha = 7$ , $\beta = 5$ και μία διαγώνιο $8$ : η άλλη ικανοποιεί $d^2 = 2(49 + 25) - 64 = 84$ , άρα $d = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17$ . Αφού $84 > 64$ , η $2\sqrt{21}$ είναι η μεγάλη διαγώνιος, απέναντι από την αμβλεία γωνία.

Συνηθισμένα λάθη

Κρίνουν το είδος του τριγώνου από μια τυχαία πλευρά. Διόρθωση: το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο μόνο μέσω της γωνίας απέναντι στη μεγαλύτερη πλευρά· αυτήν ελέγχεις.
Μπερδεύουν το πρόσημο στη γενίκευση του Πυθαγορείου. Διόρθωση: αμβλεία γωνία → η απέναντι πλευρά μεγαλώνει → $+2\beta \cdot A\Delta$ · οξεία → $-2\beta \cdot A\Delta$ .
Ψάχνουν την προβολή μέσα στο τμήμα ενώ η γωνία είναι αμβλεία. Διόρθωση: τότε το ίχνος της καθέτου πέφτει στην προέκταση της πλευράς — το $A\Delta$ είναι πάλι θετικό μήκος.
Πολλαπλασιάζουν την προβολή με λάθος πλευρά. Διόρθωση: στο διπλό γινόμενο μπαίνει η πλευρά πάνω στην οποία παίρνεις την προβολή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γενίκευση: $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot A\Delta$ για αμβλεία $\hat{A}$ και $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot A\Delta$ για οξεία, με $A\Delta$ την προβολή της $\gamma$ πάνω στη $\beta$ .
Αποδεικνύεται με δύο Πυθαγόρεια στα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζει το ύψος.
Είδος γωνίας: $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ → ορθή, $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2$ → αμβλεία, $\alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2$ → οξεία.
Το είδος του τριγώνου το αποφασίζει η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.

🧭

Γενίκευση του Πυθαγορείου

Πλευρά απέναντι από αμβλεία ή οξεία γωνία, προβολές, είδος τριγώνου από τις πλευρές

Ξέρεις αν μια γωνία είναι αμβλεία χωρίς μοιρογνωμόνιο;

Γενίκευση: όταν η γωνία δεν είναι ορθή

Αν η $\hat{A}$ είναι αμβλεία, η απέναντι πλευρά $\alpha$ μεγαλώνει: προσθέτουμε $2\beta \cdot A\Delta$
Αν η $\hat{A}$ είναι οξεία, η $\alpha$ μικραίνει: αφαιρούμε $2\beta \cdot A\Delta$

Η απόδειξη — Πυθαγόρειο δύο φορές

$\alpha^2 = B\Delta^2 + \Delta\Gamma^2 = (\gamma^2 - A\Delta^2) + (A\Delta + \beta)^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta \cdot A\Delta$

$\alpha^2 = (\gamma^2 - A\Delta^2) + (\beta - A\Delta)^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta \cdot A\Delta$

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: τυχαίο τρίγωνο με γνωστές πλευρές

Είδος τριγώνου: βρες τη μεγαλύτερη πλευρά και σύγκρινε το τετράγωνό της με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο — αυτή η γωνία αποφασίζει αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.
Προβολή: βρες πρώτα το είδος της γωνίας που σε ενδιαφέρει, γράψε τη γενίκευση με το σωστό πρόσημο και λύσε ως προς την προβολή.
Ύψος: Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν η πλευρά, η προβολή της και το ύψος.
Εμβαδόν: $\frac{1}{2} \cdot \text{βάση} \cdot \text{ύψος}$ — και έλεγχος με τον τύπο του Ήρωνα.