🟩

Εμβαδόν & Ισοδύναμα Σχήματα

Πολυγωνικό χωρίο, ιδιότητες του εμβαδού, μονάδες, ισοδύναμα σχήματα

Γιατί το τάνγκραμ «χωράει» σε τόσα σχήματα;

Το τάνγκραμ είναι ένα κινέζικο παζλ: ένα τετράγωνο κομμένο σε $7$ κομμάτια, με τα οποία φτιάχνεις γάτες, βάρκες, ανθρωπάκια. Όσο διαφορετικά κι αν φαίνονται αυτά τα σχήματα, έχουν όλα το ίδιο εμβαδόν με το αρχικό τετράγωνο — αφού είναι φτιαγμένα από τα ίδια κομμάτια. Σε αυτό το κεφάλαιο ορίζεις με ακρίβεια τι είναι το εμβαδόν και πότε δύο σχήματα είναι ισοδύναμα.

Τι είναι το εμβαδόν;

Ένα πολυγωνικό χωρίο είναι το «γεμάτο» πολύγωνο: το σχήμα μαζί με όλα τα εσωτερικά του σημεία. Το εμβαδόν του είναι ένας θετικός αριθμός που μετράει πόση επιφάνεια πιάνει — σκέψου πόσα πλακάκια $1 \times 1$ χρειάζεσαι για να το στρώσεις ολόκληρο.

Τρεις «κανόνες του παιχνιδιού» που κουβαλούν όλο το κεφάλαιο:

Ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά
Αν κόψεις ένα χωρίο σε κομμάτια που δεν επικαλύπτονται, το εμβαδόν του είναι το άθροισμα των εμβαδών τους
Το τετράγωνο πλευράς $1$ έχει εμβαδόν $1$

Δύο σχήματα με ίσα εμβαδά λέγονται ισοδύναμα: μπορεί να μη μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους, αλλά «κοστίζουν» ακριβώς το ίδιο σε χαρτί. Προσοχή στη φορά: τα ίσα σχήματα είναι πάντα ισοδύναμα, αλλά τα ισοδύναμα δεν είναι αναγκαστικά ίσα!

Σύρε τα όρια του χωρίου και δες την επιφάνεια να «γεμίζει» — θα ανακαλύψεις ότι σχήματα με τελείως διαφορετική μορφή μπορούν να κλείνουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή να είναι ισοδύναμα.

Εμβαδόν και μονάδα μέτρησης

Το εμβαδόν είναι αριθμός που εξαρτάται από τη μονάδα: όταν αλλάζεις μονάδα μήκους, η μονάδα εμβαδού αλλάζει με το τετράγωνο. Αφού $1$ m $= 100$ cm, ένα τετράγωνο πλευράς $1$ m χωράει $100 \times 100$ τετραγωνάκια του $1$ cm², δηλαδή $1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$ .

Δύο συνέπειες των κανόνων του εμβαδού που θα χρησιμοποιείς συνεχώς:

Αν ένα χωρίο περιέχεται σε άλλο, έχει μικρότερο εμβαδόν (το υπόλοιπο κομμάτι έχει θετικό εμβαδόν).
Αν δύο σχήματα αποτελούνται από κομμάτια ίσα ανά δύο, είναι ισοδύναμα — έτσι αποδεικνύεις ισοδυναμία χωρίς κανέναν τύπο, μόνο «κόβοντας και κολλώντας».

$\text{ίσα σχήματα} \Rightarrow \text{ισοδύναμα} \qquad \text{(το αντίστροφο δεν ισχύει)}$ $E(\Omega_1 \cup \Omega_2) = E(\Omega_1) + E(\Omega_2) \ \ \text{(χωρίς επικάλυψη)} \qquad 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$

Κόλπο μνήμης

«ίσα» σημαίνει ότι το ένα σχήμα ταυτίζεται με το άλλο αν το μετακινήσεις — ίδια μορφή και ίδιο μέγεθος. «Ισοδύναμα» σημαίνει μόνο ότι «κοστίζουν» το ίδιο χαρτί. Κάθε ζευγάρι ίσων είναι και ισοδύναμο, αλλά ένα τετράγωνο κι ένα μακρύ ορθογώνιο μπορεί να είναι ισοδύναμα χωρίς να μοιάζουν καθόλου.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

Μέθοδος: απόδειξη ότι δύο σχήματα είναι ισοδύναμα

Κόψε και κόλλησε: χώρισε τα δύο σχήματα σε κομμάτια ίσα ανά δύο (αποδεικνύοντας την ισότητα με τα κριτήρια ισότητας τριγώνων).
Πρόσθεσε ή αφαίρεσε: αν $\Omega_1 = K + A$ και $\Omega_2 = K + B$ με κοινό κομμάτι $K$ και $(A) = (B)$ , τότε $\Omega_1$ και $\Omega_2$ είναι ισοδύναμα.
Υπολόγισε: βρες και τα δύο εμβαδά με τύπους και δείξε ότι είναι ίσα.
Σε αριθμητικές ασκήσεις, πρόσεξε να είναι όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα πριν υπολογίσεις.

Άσκηση: (α) Είναι ισοδύναμα ένα ορθογώνιο $8 \times 2$ και ένα τετράγωνο $4 \times 4$ ; Είναι ίσα; (β) Δείξε πώς κόβεται το ορθογώνιο σε δύο κομμάτια που σχηματίζουν το τετράγωνο. (γ) Σύγκρινε τις περιμέτρους.

Λύση: (α) Εμβαδά $8 \cdot 2 = 16$ και $4 \cdot 4 = 16$ → ισοδύναμα. Δεν είναι ίσα, αφού έχουν διαφορετικές πλευρές.

(β) Κόψε το ορθογώνιο στη μέση της μεγάλης πλευράς: προκύπτουν δύο ορθογώνια $4 \times 2$ . Τοποθέτησε το ένα πάνω στο άλλο: σχηματίζεται τετράγωνο $4 \times 4$ . Τα δύο σχήματα αποτελούνται από τα ίδια (ίσα) κομμάτια.

(γ) Περίμετροι $2(8 + 2) = 20$ και $4 \cdot 4 = 16$ . Ισοδύναμα σχήματα μπορεί να έχουν διαφορετική περίμετρο — το τετράγωνο έχει τη μικρότερη περίμετρο από όλα τα ισοδύναμά του ορθογώνια.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά $2$ m. Πόσο είναι το εμβαδόν του σε $\text{cm}^2$ ;

Άσκηση: Δίνονται δύο τετράγωνα με πλευρές $3$ και $4$ . Να βρεθεί η πλευρά ενός τετραγώνου ισοδύναμου (α) με το άθροισμά τους και (β) με τη διαφορά τους, και να περιγραφεί πώς κατασκευάζεται.

Λύση: (α) Ζητάμε $x^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ , άρα $x = 5$ : είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $3$ και $4$ — το Πυθαγόρειο διαβασμένο ως πρόταση για εμβαδά.

(β) Ζητάμε $y^2 = 4^2 - 3^2 = 7$ , άρα $y = \sqrt{7}$ : είναι η κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $4$ και άλλη κάθετη $3$ — κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ . Έστω $M$ το μέσο της $AB$ και $N$ το μέσο της $A\Gamma$ . Στην προέκταση της $MN$ προς το $N$ παίρνουμε σημείο $K$ με $NK = MN$ .

(α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $AMN$ και $\Gamma KN$ είναι ίσα.

(β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $MB\Gamma K$ είναι παραλληλόγραμμο.

(γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ και το παραλληλόγραμμο $MB\Gamma K$ είναι ισοδύναμα.

Σχήμα: Η κορυφή $A$ πάνω, η $B\Gamma$ κάτω. Η $MN$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $AB$ και $A\Gamma$ και προεκτείνεται πέρα από το $N$ ως το $K$ , στο ίδιο ύψος· το $K$ βρίσκεται πάνω δεξιά από το $\Gamma$ και η $\Gamma K$ είναι παράλληλη στην $AB$ . Το τριγωνάκι $AMN$ στην κορυφή «περιστρέφεται» κατά $180^\circ$ γύρω από το $N$ και πέφτει στη θέση $\Gamma KN$ .

Δεδομένα: $AM = MB$ , $AN = N\Gamma$ , $NK = MN$ .

Ζητούμενο: $AMN = \Gamma KN$ , $MB\Gamma K$ παραλληλόγραμμο, $(AB\Gamma) = (MB\Gamma K)$ .

Απόδειξη (α): Τα τρίγωνα $AMN$ και $\Gamma KN$ έχουν $AN = N\Gamma$ , $MN = NK$ και $A\hat{N}M = \Gamma\hat{N}K$ (κατακορυφήν). Από το κριτήριο ΠΓΠ είναι ίσα.

(β) Από το θεώρημα των μέσων $MN \parallel B\Gamma$ και $MN = \frac{B\Gamma}{2}$ . Άρα $MK = 2MN = B\Gamma$ και $MK \parallel B\Gamma$ : το τετράπλευρο $MB\Gamma K$ έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο.

(γ) Το τρίγωνο αποτελείται από το τραπέζιο $MB\Gamma N$ και το τρίγωνο $AMN$ · το παραλληλόγραμμο από το ίδιο τραπέζιο και το τρίγωνο $\Gamma KN$ . Αφού $(AMN) = (\Gamma KN)$ από το (α):

$(AB\Gamma) = (MB\Gamma N) + (AMN) = (MB\Gamma N) + (\Gamma KN) = (MB\Gamma K)$

Συμπέρασμα: το παραλληλόγραμμο έχει βάση $B\Gamma$ και ύψος το μισό του ύψους του τριγώνου — να γιατί το τρίγωνο έχει εμβαδόν $\frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο είναι ισοδύναμο με ορθογώνιο διαστάσεων $2 \times 8$ . Πόση είναι η πλευρά του;

Ήξερες ότι;

Σύμφωνα με το θεώρημα Wallace–Bolyai–Gerwien (αρχές του 19ου αιώνα), οποιαδήποτε δύο ισοδύναμα πολύγωνα μπορούν να κοπούν σε πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών κομματιών που ταιριάζουν ανά δύο — δηλαδή το ένα μετατρέπεται στο άλλο «κόβοντας και κολλώντας». Στον χώρο αυτό δεν ισχύει: ο Max Dehn απέδειξε το 1900 ότι ένας κύβος και ένα κανονικό τετράεδρο ίσου όγκου δεν μετατρέπονται έτσι το ένα στο άλλο.

Πρόκληση

Ορθογώνιο σε τετράγωνο με δύο κομμάτια. Κόψε ένα ορθογώνιο $9 \times 4$ σε δύο κομμάτια που ενώνονται σε τετράγωνο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το εμβαδόν είναι $36$ , άρα το τετράγωνο έχει πλευρά $6$ . Βάλε το ορθογώνιο με το κάτω αριστερό άκρο στο $(0, 0)$ και το πάνω δεξί στο $(9, 4)$ και κόψε κατά μήκος μιας «σκάλας»: από το $(3, 4)$ κατεβαίνεις ως το $(3, 2)$ , πας δεξιά ως το $(6, 2)$ και κατεβαίνεις ως το $(6, 0)$ .

Το αριστερό κομμάτι αποτελείται από τα ορθογώνια $3 \times 4$ (αριστερά) και $3 \times 2$ (κάτω μέση).
Το δεξί κομμάτι αποτελείται από τα ορθογώνια $3 \times 2$ (πάνω μέση) και $3 \times 4$ (δεξιά).

Μετακίνησε το δεξί κομμάτι κατά $3$ αριστερά και $2$ πάνω. Τότε η στήλη $0$ – $3$ γεμίζει από ύψος $0$ ως $6$ και το ίδιο η στήλη $3$ – $6$ , χωρίς κενά και επικαλύψεις: σχηματίζεται ακριβώς το τετράγωνο $6 \times 6$ . Τα δύο σχήματα είναι ισοδύναμα γιατί αποτελούνται από τα ίδια κομμάτια.

Συνηθισμένα λάθη

Θεωρούν ότι ισοδύναμα σχήματα είναι και ίσα. Διόρθωση: ισοδύναμα σημαίνει μόνο ίσα εμβαδά· η μορφή μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική.
Πιστεύουν ότι ίδια περίμετρος σημαίνει ίδιο εμβαδόν. Διόρθωση: τα ορθογώνια $5 \times 5$ και $9 \times 1$ έχουν περίμετρο $20$ αλλά εμβαδά $25$ και $9$ .
Μετατρέπουν $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ cm}^2$ . Διόρθωση: η μετατροπή εμβαδού γίνεται με το τετράγωνο του συντελεστή μήκους: $1 \text{ m}^2 = 100^2 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πολυγωνικό χωρίο = πολύγωνο μαζί με το εσωτερικό του· εμβαδόν = θετικός αριθμός που μετρά την επιφάνειά του.
Κανόνες: ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά· εμβαδά κομματιών χωρίς επικάλυψη προστίθενται· το μοναδιαίο τετράγωνο έχει εμβαδόν $1$ .
Ισοδύναμα = ίσα εμβαδά· ίσα ⇒ ισοδύναμα, όχι αντίστροφα.
Ισοδυναμία αποδεικνύεται κόβοντας σε ίσα κομμάτια, προσθέτοντας/αφαιρώντας ίσα κομμάτια ή υπολογίζοντας.
$1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$ .

Τι είναι το εμβαδόν;

1 \times 1

χρειάζεσαι για να το στρώσεις ολόκληρο.

Τρεις «κανόνες του παιχνιδιού» που κουβαλούν όλο το κεφάλαιο:

Ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά

Αν κόψεις ένα χωρίο σε κομμάτια που δεν επικαλύπτονται, το εμβαδόν του είναι το άθροισμα των εμβαδών τους

Το τετράγωνο πλευράς

1

έχει εμβαδόν

1