Λόγος & Σύμμετρα Τμήματα

Γιατί το χαρτί A4 έχει τόσο «περίεργες» διαστάσεις;

Μέτρησε ένα φύλλο A4: $21 \times 29{,}7$ cm. Γιατί όχι στρογγυλά $20 \times 30$; Δίπλωσέ το στη μέση και παίρνεις A5 — με ακριβώς το ίδιο σχήμα, μικρότερο. Αυτό το κόλπο δουλεύει μόνο αν ο λόγος των πλευρών είναι $\sqrt{2}$, ένας αριθμός που δεν γράφεται ως κλάσμα. Εδώ θα δεις τι σημαίνει λόγος δύο τμημάτων και γιατί κάποια ζευγάρια τμημάτων δεν έχουν κανέναν «κοινό χάρακα».

Λόγος δύο τμημάτων

Όταν λες «το $AB$ είναι τριπλάσιο του $\Gamma\Delta$», συγκρίνεις δύο τμήματα με έναν αριθμό. Ο αριθμός $\lambda$ για τον οποίο $AB = \lambda \cdot \Gamma\Delta$ λέγεται λόγος του $AB$ προς το $\Gamma\Delta$ και γράφεται $\frac{AB}{\Gamma\Delta} = \lambda$.

• Ο λόγος είναι καθαρός αριθμός — δεν έχει μονάδα. Αν $AB = 12$ cm και $\Gamma\Delta = 4$ cm, τότε $\frac{AB}{\Gamma\Delta} = 3$, όχι «$3$ cm».
• Ο λόγος δεν αλλάζει αν μετρήσεις και τα δύο τμήματα με άλλη (κοινή) μονάδα: $\frac{120 \text{ mm}}{40 \text{ mm}} = 3$ επίσης.
• Η σειρά μετράει: $\frac{\Gamma\Delta}{AB} = \frac{1}{3}$.

Η κλίμακα ενός χάρτη είναι ακριβώς ένας τέτοιος λόγος: κλίμακα $1 : 50\,000$ σημαίνει ότι κάθε απόσταση στον χάρτη έχει λόγο $\frac{1}{50\,000}$ προς την πραγματική.

Σύμμετρα και ασύμμετρα τμήματα

Οι αρχαίοι Έλληνες δεν μετρούσαν τμήματα με αριθμούς — τα σύγκριναν. Δύο τμήματα $\alpha$, $\beta$ λέγονται σύμμετρα όταν υπάρχει ένα τρίτο τμήμα $\delta$, το κοινό μέτρο τους, που χωράει ακέραιες φορές και στα δύο: $\alpha = \mu\delta$ και $\beta = \nu\delta$. Τότε ο λόγος τους είναι ρητός: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\mu}{\nu}$. Αν δεν υπάρχει κανένα κοινό μέτρο, τα τμήματα λέγονται ασύμμετρα και ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός.

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι «τα πάντα είναι αριθμός» — δηλαδή ότι όλα τα τμήματα είναι σύμμετρα. Η ίδια τους η σχολή όμως ανακάλυψε το αντιπαράδειγμα-σοκ: η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ασύμμετρες, αφού ο λόγος τους είναι $\frac{\delta}{\alpha} = \sqrt{2}$, που αποδεικνύεται ότι δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων. Ο θρύλος λέει ότι ο Ίππασος που το κοινοποίησε πλήρωσε ακριβά το «μυστικό»!

Για εμάς σήμερα το δίδαγμα είναι πρακτικό: ο λόγος δύο τμημάτων ορίζεται πάντα ως ο λόγος των μηκών τους με την ίδια μονάδα — απλώς δεν είναι πάντα ρητός. Έτσι η θεωρία των αναλογιών και το θεώρημα του Θαλή δουλεύουν για όλα τα τμήματα, σύμμετρα και ασύμμετρα.

Μέθοδος: πώς ελέγχω αν δύο τμήματα είναι σύμμετρα

1. Γράψε τον λόγο $\frac{\alpha}{\beta}$ και απλοποίησε (βγάλε κοινούς παράγοντες, απλοποίησε τις ρίζες).
2. Αν βγει ρητός $\frac{\mu}{\nu}$ (ανάγωγο κλάσμα), τα τμήματα είναι σύμμετρα με κοινό μέτρο $\delta = \frac{\alpha}{\mu}$.
3. Αν βγει άρρητος, είναι ασύμμετρα.

Το κριτήριο είναι ένα: είναι ο λόγος τους ρητός; Δεν μετράει αν τα ίδια τα μήκη είναι άρρητα — μετράει μόνο ο λόγος.

• $\alpha = \sqrt{8}$, $\beta = \sqrt{2}$: $\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{4} = 2$ → σύμμετρα (κοινό μέτρο το $\sqrt{2}$).
• $\alpha = \sqrt{3}$, $\beta = \sqrt{12}$: $\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{\frac{3}{12}} = \frac{1}{2}$ → σύμμετρα.
• $\alpha = 1$, $\beta = \sqrt{3}$: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, άρρητος → ασύμμετρα.

Όταν τα τμήματα είναι σύμμετρα με λόγο $\frac{\mu}{\nu}$ (ανάγωγο κλάσμα), κοινό μέτρο τους είναι το $\delta = \frac{\alpha}{\mu} = \frac{\beta}{\nu}$. Για παράδειγμα, τα $18$ και $12$ έχουν λόγο $\frac{3}{2}$ και κοινό μέτρο $6$ — το μεγαλύτερο δυνατό, όπως ο ΜΚΔ στους ακεραίους.