Εγγεγραμμένες Γωνίες
Επίκεντρη και εγγεγραμμένη γωνία, τόξα, γωνία σε ημικύκλιο
Ο φακός της κάμεράς σου «βλέπει» υπό γωνία και θέλεις η πρόσοψη ενός κτιρίου να γεμίζει ακριβώς το κάδρο. Πού να σταθείς; Δεν υπάρχει μόνο ένα σωστό σημείο: υπάρχει ολόκληρο τόξο κύκλου από σημεία που βλέπουν την πρόσοψη υπό την ίδια γωνία. Το μυστικό κρύβεται στις εγγεγραμμένες γωνίες.
Η γωνία που κάθεται στο κέντρο
Φαντάσου μια πίτσα. Κάθε κομμάτι «ανοίγει» από το κέντρο της: οι δύο κοψιές ξεκινούν από το κέντρο και καταλήγουν στην άκρη. Στη γλώσσα της Γεωμετρίας, μια γωνία με κορυφή το κέντρο του κύκλου λέγεται επίκεντρη γωνία.
Η επίκεντρη γωνία «κόβει» από τον κύκλο ένα κομμάτι της περιφέρειας — ένα τόξο. Λέμε ότι η γωνία βαίνει στο τόξο αυτό. Και εδώ έρχεται η πιο βολική σύμβαση της Γεωμετρίας: μετράμε το τόξο σε μοίρες, δίνοντάς του ακριβώς τις μοίρες της επίκεντρης γωνίας του. Επίκεντρη ; Το τόξο της είναι . Ολόκληρος ο κύκλος; Ένα τόξο , και το ημικύκλιο .
Πρόσεξε: οι μοίρες ενός τόξου δεν είναι το μήκος του — δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες έχουν τόξα με διαφορετικό μήκος. Οι μοίρες λένε «πόσο μεγάλο μερίδιο του κύκλου» πήρες, όχι πόσα εκατοστά.
Στο καντράν ενός ρολογιού, οι δείκτες που δείχνουν δύο διαδοχικούς αριθμούς (π.χ. το και το ) σχηματίζουν επίκεντρη γωνία. Πόσες μοίρες είναι;
Η γωνία που κάθεται στην κερκίδα
Τώρα άλλαξε θέση: αντί για το κέντρο, στάσου πάνω στον κύκλο, σαν θεατής στην κερκίδα ενός κυκλικού σταδίου που κοιτάζει τη σκηνή. Μια γωνία με κορυφή πάνω στον κύκλο και πλευρές χορδές του λέγεται εγγεγραμμένη γωνία. Κι αυτή βαίνει σε ένα τόξο: το τόξο που «βλέπει» απέναντί της, ανάμεσα στις δύο πλευρές της.
Το μεγάλο ερώτημα: αν μια επίκεντρη και μια εγγεγραμμένη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο, πώς συγκρίνονται; Ο θεατής στην κερκίδα είναι πιο μακριά από τη σκηνή απ' ό,τι κάποιος στο κέντρο — οπότε βλέπει τη σκηνή υπό μικρότερη γωνία. Πόσο μικρότερη; Εδώ η Γεωμετρία δίνει μια εκπληκτικά καθαρή απάντηση.
Σύρε την κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας πάνω στον κύκλο — θα ανακαλύψεις ότι η γωνία μένει σταθερή απ' όπου κι αν «βλέπει» το τόξο, και είναι πάντα ακριβώς η μισή της επίκεντρης.
«Στο κέντρο ολόκληρη, στον κύκλο η μισή.» Η επίκεντρη γωνία έχει όσες μοίρες και το τόξο της· η εγγεγραμμένη, που κάθεται πιο μακριά, «βλέπει» το τόξο μισό. Και μια σύντομη ατάκα για τη διάμετρο: διάμετρος → .
Δύο συνέπειες-υπερόπλα
1. Όλες οι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. Αφού καθεμιά είναι το μισό του ίδιου τόξου, δεν έχουν άλλη επιλογή! Όλοι οι θεατές της ίδιας κερκίδας βλέπουν τη σκηνή υπό την ίδια γωνία, όπου κι αν κάθονται.
2. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Το ημικύκλιο είναι τόξο , άρα η εγγεγραμμένη είναι . Με άλλα λόγια: αν μια πλευρά εγγεγραμμένου τριγώνου είναι διάμετρος, η απέναντι γωνία είναι — το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, χωρίς να χρειαστεί να μετρήσεις τίποτα.
Σε πολλές χώρες (π.χ. Γερμανία, Αγγλία) η πρόταση «η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή» λέγεται θεώρημα του Θαλή. Στην Ελλάδα όμως με το όνομα «θεώρημα του Θαλή» μαθαίνουμε ένα άλλο θεώρημα, για παράλληλες ευθείες που τέμνουν δύο ευθείες. Ίδιος μαθηματικός, δύο διαφορετικά θεωρήματα — ανάλογα με τη χώρα!
Μια εγγεγραμμένη γωνία βαίνει σε τόξο . Πόσες μοίρες είναι η γωνία;
Οι εγγεγραμμένες γωνίες και βαίνουν στο ίδιο τόξο . Αν , πόση είναι η ;
Μέθοδος: ασκήσεις με επίκεντρες και εγγεγραμμένες
- Για κάθε γωνία, κοίτα πού είναι η κορυφή: στο κέντρο (επίκεντρη) ή πάνω στον κύκλο (εγγεγραμμένη);
- Βρες το τόξο στο οποίο βαίνει: το τόξο ανάμεσα στις πλευρές της, που δεν περιέχει την κορυφή.
- Μετάφρασε σε τόξα: επίκεντρη τόξο, εγγεγραμμένη .
- Χρησιμοποίησε τα «σταθερά» αθροίσματα: όλα τα τόξα κάνουν , το ημικύκλιο , οι γωνίες τριγώνου .
- Έλεγχος: τα τόξα που βρήκες αθροίζουν σε ;
Άσκηση: Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και η πλευρά είναι διάμετρος του κύκλου. Αν , να βρεθούν οι γωνίες και , καθώς και το τόξο στο οποίο βαίνει η .
Λύση: Η γωνία βαίνει στο ημικύκλιο (αφού η είναι διάμετρος), άρα:
Από το άθροισμα γωνιών τριγώνου:
Η είναι εγγεγραμμένη, άρα το τόξο της είναι το διπλάσιό της:
Έλεγχος: η βαίνει στο τόξο και πράγματι — όλο το ημικύκλιο. ✓
Παράδειγμα 2 (δύο τόξα, δύο γωνίες): Σε κύκλο κέντρου είναι . Το σημείο βρίσκεται στο μεγάλο τόξο και το στο μικρό. Να βρεθούν οι γωνίες και .
Η επίκεντρη ορίζει το μικρό τόξο , οπότε το μεγάλο τόξο είναι .
- Η έχει κορυφή στο μεγάλο τόξο, άρα βαίνει στο μικρό: .
- Η έχει κορυφή στο μικρό τόξο, άρα βαίνει στο μεγάλο: .
Παρατήρησε ότι : οι δύο γωνίες «μοιράζονται» ολόκληρο τον κύκλο.
Παράδειγμα 3 (από τα τόξα στις γωνίες τριγώνου): Οι κορυφές τριγώνου χωρίζουν τον περιγεγραμμένο κύκλο σε τόξα και . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου.
Το τρίτο τόξο: .
Κάθε γωνία του τριγώνου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο απέναντί της:
Έλεγχος: ✓
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και η είναι διάμετρος. Αν , πόση είναι η ;
Οι κορυφές τριγώνου ορίζουν στον κύκλο τα τόξα , και . Πόση είναι η γωνία ;
Έχεις ένα στρογγυλό τραπέζι, ένα φύλλο χαρτί A4 και ένα μολύβι — τίποτε άλλο. Πώς βρίσκεις ακριβώς το κέντρο του τραπεζιού;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
- Βάλε μια γωνία του χαρτιού πάνω στο χείλος του τραπεζιού, ώστε η κορυφή της να ακουμπά στον κύκλο. Οι δύο πλευρές του χαρτιού κόβουν τον κύκλο σε δύο σημεία και · σημάδεψέ τα.
- Η γωνία του χαρτιού είναι και είναι εγγεγραμμένη, άρα το τόξο της είναι : ημικύκλιο. Επομένως το είναι διάμετρος — χάραξέ το με την ίσια άκρη του χαρτιού.
- Επανάλαβε με το χαρτί σε άλλη θέση και πάρε μια δεύτερη διάμετρο .
- Όλες οι διάμετροι περνούν από το κέντρο, άρα το σημείο τομής των και είναι το κέντρο . Οι ξυλουργοί χρησιμοποιούν το ίδιο κόλπο με τη γωνιά τους!
Στις ασκήσεις με κύκλους, μόλις δεις τη λέξη διάμετρος, ψάξε αμέσως για εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ημικύκλιο — εκεί κρύβεται σχεδόν πάντα μια ορθή γωνία που ξεκλειδώνει την άσκηση. Γενική στρατηγική: μετάφρασε τα πάντα σε τόξα. Εγγεγραμμένη διπλασίασε για το τόξο της· τόξο μοίρασε στα δύο για την εγγεγραμμένη· και θυμήσου ότι όλα τα τόξα του κύκλου αθροίζουν σε — ο τελικός σου έλεγχος.
- Διπλασιασμός αντί για μισό: η εγγεγραμμένη είναι το μισό του τόξου της· το τόξο είναι το διπλάσιο της εγγεγραμμένης.
- Λάθος τόξο: η γωνία βαίνει στο τόξο που δεν περιέχει την κορυφή της — με κορυφή στο μικρό τόξο, βαίνει στο μεγάλο.
- Επίκεντρη ή εγγεγραμμένη; Αν η κορυφή είναι στο κέντρο, η γωνία ισούται με το τόξο· αν είναι πάνω στον κύκλο, είναι το μισό.
- Μοίρες ή μήκος; Τα ενός τόξου δεν είναι εκατοστά — για μήκος θέλεις τον τύπο .
- Επίκεντρη γωνία: κορυφή στο κέντρο · το τόξο της έχει τις ίδιες μοίρες.
- Εγγεγραμμένη γωνία: κορυφή πάνω στον κύκλο, πλευρές χορδές · .
- Εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες.
- Εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο : πλευρά–διάμετρος ορθογώνιο τρίγωνο.
- Όλα τα τόξα του κύκλου αθροίζουν σε .