🌙

Εμβαδόν Κύκλου, Τομέα & Τμήματος

E = πρ², κυκλικός τομέας, κυκλικό τμήμα και σύνθετα «σκιασμένα» χωρία

Πόσο νερό έχει ένας σωλήνας που δεν είναι γεμάτος;

Κόψε νοερά έναν σωλήνα αποχέτευσης που τρέχει μισογεμάτος — ή ένα κυλινδρικό ντεπόζιτο πετρελαίου ξαπλωμένο στο πλάι. Η «φέτα» του νερού είναι ένα κυκλικό τμήμα: το κομμάτι του κύκλου κάτω από μια χορδή. Οι μηχανικοί το υπολογίζουν για να βρουν πόσο υγρό κυλάει ή πόσο έμεινε στη δεξαμενή. Εσύ θα το υπολογίζεις με μία αφαίρεση.

Εμβαδόν κύκλου και κυκλικού τομέα

Το εμβαδόν ενός κανονικού $\nu$ -γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο $(O, \rho)$ είναι $E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu$ . Καθώς διπλασιάζεις τις πλευρές, η περίμετρος $\Pi_\nu$ πλησιάζει το μήκος του κύκλου $2\pi\rho$ και το απόθεμα $\alpha_\nu$ πλησιάζει την ακτίνα $\rho$ . Άρα το εμβαδόν του κύκλου είναι

$E = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\rho \cdot \rho = \pi\rho^2$

Κυκλικός τομέας $O.\overset{\frown}{AB}$ λέγεται το μέρος του δίσκου ανάμεσα σε δύο ακτίνες $OA$ , $OB$ και στο τόξο $AB$ . Ένας τομέας γωνίας $\mu^\circ$ είναι το $\frac{\mu}{360}$ του δίσκου, δηλαδή $\frac{\pi\rho^2\mu}{360}$ — ή $\frac{1}{2}\alpha\rho^2$ με τη γωνία $\alpha$ σε ακτίνια. Αφού το μήκος του τόξου είναι $\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ , ο τομέας γράφεται και $\frac{1}{2}\ell\rho$ — σαν «τρίγωνο» με βάση το τόξο και ύψος την ακτίνα.

Ξετύλιξε τον δίσκο σε λεπτές φέτες: σχηματίζουν «τρίγωνο» με βάση 2πρ και ύψος ρ — και βλέπεις με τα μάτια σου από πού βγαίνει το E = πρ².

$E = \pi\rho^2 \qquad E_{\tau o\mu} = \frac{\pi\rho^2\mu}{360} = \frac{1}{2}\ell\rho = \frac{1}{2}\alpha\rho^2 \ \ (\alpha \text{ σε rad})$

Γρήγορος έλεγχος

Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου, τι συμβαίνει στο μήκος και στο εμβαδόν του;

Άσκηση: Σε κύκλο ακτίνας $\rho = 6$ η επίκεντρη γωνία $B\hat{O}\Gamma = 80^\circ$ βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ . (α) Πόση είναι η εγγεγραμμένη $B\hat{A}\Gamma$ που βαίνει στο ίδιο τόξο; (β) Να βρεθούν το μήκος του τόξου $B\Gamma$ και το εμβαδόν του αντίστοιχου κυκλικού τομέα.

Λύση: (α) Η εγγεγραμμένη είναι το μισό της επίκεντρης: $B\hat{A}\Gamma = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$ .

(β) Το τόξο των $80^\circ$ είναι τα $\frac{80}{360} = \frac{2}{9}$ του κύκλου:

$\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 80}{180} = \frac{8\pi}{3}$

$E_{\text{τομέα}} = \frac{\pi\rho^2\mu}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 80}{360} = 8\pi$

Τι είναι το κυκλικό τμήμα;

Φέρε μια χορδή $AB$ σε κύκλο $(O, \rho)$ : ο κυκλικός δίσκος κόβεται σε δύο κομμάτια. Καθένα από αυτά — το χωρίο ανάμεσα στη χορδή και στο αντίστοιχο τόξο — λέγεται κυκλικό τμήμα. Μοιάζει με μισοφέγγαρο ή με τη διατομή μιας φέτας καρπουζιού.

Δεν χρειάζεσαι νέο τύπο, μόνο μια αφαίρεση. Ο κυκλικός τομέας $O.AB$ γωνίας $\mu°$ αποτελείται από το ισοσκελές τρίγωνο $OAB$ (δύο πλευρές του είναι ακτίνες) και το κυκλικό τμήμα που «κάθεται» πάνω στη χορδή. Άρα, όταν το τόξο είναι μικρότερο από $180°$ :

$\varepsilon_{\tau\mu} = E_{\tau o\mu\acute{\varepsilon}\alpha} - E_{\tau\rho\iota\gamma}$

Το εμβαδόν του τομέα το ξέρεις: $\frac{\pi\rho^2\mu}{360}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $OAB$ βγαίνει σχεδόν πάντα από τον τύπο $\frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu$ , αφού οι πλευρές $OA = OB = \rho$ περιέχουν τη γωνία $\mu$ .

Αν το τόξο είναι μεγαλύτερο από $180°$ , το τρίγωνο πέφτει μέσα στο τμήμα αντί να περισσεύει, οπότε προσθέτεις: $\varepsilon_{\tau\mu} = E_{\tau o\mu\acute{\varepsilon}\alpha} + E_{\tau\rho\iota\gamma}$ . Για τόξο ακριβώς $180°$ το τμήμα είναι ημικύκλιο: $\varepsilon = \frac{\pi\rho^2}{2}$ .

$E_{\tau o\mu} = \frac{\pi\rho^2\mu}{360} \qquad E_{\tau\rho\iota\gamma} = \frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu$ $\varepsilon_{\tau\mu} = \frac{\pi\rho^2\mu}{360} - \frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu \quad (\mu < 180°)$

Κόλπο μνήμης

σκέψου μια φέτα πίτσας. Ο τομέας είναι όλη η φέτα· αν κόψεις με το μαχαίρι ευθεία από άκρη σε άκρη, το τρίγωνο είναι η «μύτη» προς το κέντρο και αυτό που μένει είναι η κόρα. Κυκλικό τμήμα = φέτα − τρίγωνο = η κόρα.

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $\rho = 4$ θεωρούμε χορδή $AB$ που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία $90°$ . Το εμβαδόν του μικρού κυκλικού τμήματος είναι:

Μέθοδος: τομείς, κυκλικά τμήματα και σύνθετα χωρία

Βρες την ακτίνα $\rho$ και την επίκεντρη γωνία $\mu$ — συχνά κρύβεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ( $60^\circ$ ), τετράγωνο ( $90^\circ$ ) ή κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Τομέας: $\frac{\pi\rho^2\mu}{360}$ .
Κυκλικό τμήμα: τομέας μείον το τρίγωνο $\frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu$ για $\mu < 180^\circ$ , συν το τρίγωνο για $\mu > 180^\circ$ .
Σκιασμένα χωρία: γράψε το χωρίο ως άθροισμα ή διαφορά γνωστών σχημάτων (τετράγωνο, τρίγωνο, τομείς, τμήματα) πριν κάνεις πράξεις.
Άφησε το αποτέλεσμα με $\pi$ και ρίζες ( $6\pi - 9\sqrt{3}$ )· στρογγυλοποίησε μόνο αν το ζητά η εκφώνηση.

Άσκηση: Σε κύκλο $(O, 6)$ η χορδή $AB$ αντιστοιχεί σε τόξο $60°$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζουν η $AB$ και το τόξο αυτό.

Λύση: Εμβαδόν τομέα $60°$ :

$E_{\tau o\mu} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi$

Το τρίγωνο $OAB$ έχει $OA = OB = 6$ και $\hat{O} = 60°$ , άρα είναι ισόπλευρο πλευράς $6$ :

$E_{\tau\rho\iota\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \eta\mu 60° = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

Εμβαδόν κυκλικού τμήματος:

$\varepsilon = 6\pi - 9\sqrt{3} \approx 18{,}85 - 15{,}59 = 3{,}26$

Άσκηση: Σε κύκλο $(O, 6)$ η χορδή $AB$ αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία $A\hat{O}B = 120^\circ$ . Να βρεθούν τα εμβαδά του μικρού και του μεγάλου κυκλικού τμήματος που ορίζει η $AB$ .

Λύση: Τομέας $120^\circ$ :

$E_{\tau o\mu} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 120}{360} = 12\pi$

Τρίγωνο $OAB$ με $OA = OB = 6$ , $\hat{O} = 120^\circ$ και $\eta\mu 120^\circ = \eta\mu 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$E_{\tau\rho\iota\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

Μικρό τμήμα (τόξο $120^\circ < 180^\circ$ , αφαιρούμε):

$\varepsilon_1 = 12\pi - 9\sqrt{3} \approx 37{,}70 - 15{,}59 = 22{,}11$

Μεγάλο τμήμα (τόξο $240^\circ > 180^\circ$ , προσθέτουμε): ο τομέας $240^\circ$ έχει εμβαδόν $\frac{\pi \cdot 36 \cdot 240}{360} = 24\pi$ , άρα

$\varepsilon_2 = 24\pi + 9\sqrt{3} \approx 75{,}40 + 15{,}59 = 90{,}99$

Επαλήθευση: $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 36\pi = \pi\rho^2$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Για κυκλικό τμήμα που αντιστοιχεί σε τόξο μεγαλύτερο από $180°$ , το εμβαδόν του υπολογίζεται ως:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ πλευράς $4$ . Με κέντρο την κορυφή $A$ και ακτίνα $AB = 4$ γράφουμε το τόξο $B\Delta$ που βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο.

Σχήμα: Το $A$ κάτω αριστερά, το $B$ κάτω δεξιά, το $\Gamma$ πάνω δεξιά, το $\Delta$ πάνω αριστερά. Το τόξο ξεκινά από το $B$ , «φουσκώνει» προς το $\Gamma$ χωρίς να το φτάνει και καταλήγει στο $\Delta$ (τεταρτοκύκλιο). Ανάμεσα στο τόξο και στις πλευρές $B\Gamma$ , $\Gamma\Delta$ μένει μια «γωνιακή» περιοχή γύρω από το $\Gamma$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η κορυφή $\Gamma$ βρίσκεται έξω από τον κύκλο $(A, 4)$ .

(β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το τόξο $B\Delta$ και τις πλευρές $B\Gamma$ , $\Gamma\Delta$ .

(γ) Να βρεθεί η περίμετρος του ίδιου χωρίου.

Δεδομένα: τετράγωνο πλευράς $4$ , κύκλος $(A, 4)$ . Ζητούμενο: η θέση του $\Gamma$ , το εμβαδόν και η περίμετρος του χωρίου.

Απόδειξη (α): Η $A\Gamma$ είναι διαγώνιος. Από το Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ : $A\Gamma = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ . Αφού $4\sqrt{2} > 4 = \rho$ , το $\Gamma$ απέχει από το κέντρο περισσότερο από την ακτίνα, άρα είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Λύση (β): Ο τομέας με κέντρο $A$ έχει γωνία $\hat{A} = 90^\circ$ :

$E_{\tau o\mu} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = 4\pi$

Το ζητούμενο χωρίο είναι το τετράγωνο μείον τον τομέα:

$E = 16 - 4\pi \approx 16 - 12{,}57 = 3{,}43$

(γ) Μήκος τόξου: $\ell = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 90}{180} = 2\pi$ . Το σύνορο του χωρίου αποτελείται από τα $B\Gamma$ , $\Gamma\Delta$ και το τόξο:

$\Pi = 4 + 4 + 2\pi = 8 + 2\pi \approx 14{,}28$

Απάντηση: $E = 16 - 4\pi$ και $\Pi = 8 + 2\pi$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $\rho = 2$ η χορδή $AB$ αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία $120^\circ$ . Το εμβαδόν του μικρού κυκλικού τμήματος είναι:

Ήξερες ότι;

Γύρω στο 440 π.Χ. ο Ιπποκράτης ο Χίος υπολόγισε ακριβώς το εμβαδόν ενός «μηνίσκου» — σχήματος που φτιάχνουν δύο τόξα κύκλων, σαν φεγγαράκι — και έδειξε ότι ισούται με εμβαδόν τριγώνου. Είναι από τα πρώτα καμπυλόγραμμα σχήματα των οποίων το εμβαδόν βρέθηκε με ακρίβεια, και πυροδότησε την ελπίδα για τον «τετραγωνισμό του κύκλου» — που όμως αποδείχτηκε αδύνατος το 1882.

Πρόκληση

Ο μηνίσκος του Ιπποκράτη. Κύκλος $(O, R)$ έχει διάμετρο $B\Gamma$ , και το $A$ είναι σημείο του κύκλου με $AB = A\Gamma$ . Με διάμετρο την $AB$ γράφουμε ημικύκλιο προς τα έξω. Το χωρίο που βρίσκεται μέσα στο μικρό ημικύκλιο και έξω από τον μεγάλο κύκλο λέγεται μηνίσκος. Να δείξεις ότι ο μηνίσκος έχει ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνο $OAB$ — ένα καμπύλο σχήμα χωρίς $\pi$ στο εμβαδόν του!

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αφού $AB = A\Gamma$ , το $A$ είναι μέσο του ημικυκλίου, οπότε $A\hat{O}B = 90^\circ$ . Στο ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $OAB$ είναι $AB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$ , και $(OAB) = \frac{1}{2}R^2$ .

Μικρό ημικύκλιο, ακτίνας $\frac{AB}{2}$ : $E_1 = \frac{1}{2}\pi \cdot \frac{AB^2}{4} = \frac{1}{2}\pi \cdot \frac{2R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{4}$
Κυκλικό τμήμα του μεγάλου κύκλου πάνω στη χορδή $AB$ (τόξο $90^\circ$ ): $\varepsilon = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} - \frac{1}{2}R^2 = \frac{\pi R^2}{4} - \frac{R^2}{2}$

Ο μηνίσκος είναι το μικρό ημικύκλιο μείον αυτό το κυκλικό τμήμα:

$E_{\mu\eta\nu} = \frac{\pi R^2}{4} - \left(\frac{\pi R^2}{4} - \frac{R^2}{2}\right) = \frac{R^2}{2} = (OAB)$

Τα $\pi$ αλληλοαναιρούνται! Για $R = 2$ ο μηνίσκος έχει εμβαδόν ακριβώς $2$ . Και οι δύο μηνίσκοι, πάνω στην $AB$ και στην $A\Gamma$ , έχουν μαζί εμβαδόν $R^2 = (AB\Gamma)$ .

Συνηθισμένα λάθη

Αφαιρούν το τρίγωνο και όταν το τόξο ξεπερνά τις $180^\circ$ . Διόρθωση: τότε το τρίγωνο είναι μέσα στο τμήμα → πρόσθεση· εναλλακτικά, $\pi\rho^2$ μείον το μικρό τμήμα.
Παίρνουν το τρίγωνο $OAB$ ίσο με $\frac{1}{2}\rho^2$ για κάθε γωνία. Διόρθωση: αυτό ισχύει μόνο για $\mu = 90^\circ$ · γενικά $\frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu$ .
Γράφουν $E = \pi\delta^2$ . Διόρθωση: στο εμβαδόν μπαίνει η ακτίνα: $E = \pi\rho^2 = \frac{\pi\delta^2}{4}$ .
Μπερδεύουν τους παρονομαστές τόξου και τομέα. Διόρθωση: σκέψου πάντα «κλάσμα $\frac{\mu}{360}$ του όλου» — του $2\pi\rho$ για το μήκος, του $\pi\rho^2$ για το εμβαδόν.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κύκλος: $E = \pi\rho^2$ (όριο των εμβαδών εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων).
Τομέας $\mu^\circ$ : $\frac{\pi\rho^2\mu}{360} = \frac{1}{2}\ell\rho$ .
Κυκλικό τμήμα με $\mu < 180^\circ$ : $\varepsilon = \frac{\pi\rho^2\mu}{360} - \frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu$ · με $\mu > 180^\circ$ : τομέας συν τρίγωνο.
Μικρό και μεγάλο τμήμα της ίδιας χορδής έχουν άθροισμα $\pi\rho^2$ .
Διπλάσια ακτίνα → διπλάσιο μήκος, τετραπλάσιο εμβαδόν.

Εμβαδόν κύκλου και κυκλικού τομέα

Το εμβαδόν ενός κανονικού

\nu

-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο

(O, \rho)

είναι

E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu

. Καθώς διπλασιάζεις τις πλευρές, η περίμετρος

\Pi_\nu

πλησιάζει το μήκος του κύκλου

2\pi\rho

και το απόθεμα

\alpha_\nu

πλησιάζει την ακτίνα

\rho

. Άρα το εμβαδόν του κύκλου είναι

E = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\rho \cdot \rho = \pi\rho^2

Κυκλικός τομέας

O.\overset{\frown}{AB}

λέγεται το μέρος του δίσκου ανάμεσα σε δύο ακτίνες

OA

OB

και στο τόξο

AB

. Ένας τομέας γωνίας

\mu^\circ

είναι το

\frac{\mu}{360}

του δίσκου, δηλαδή

\frac{\pi\rho^2\mu}{360}

— ή

\frac{1}{2}\alpha\rho^2

με τη γωνία

\alpha

σε ακτίνια. Αφού το μήκος του τόξου είναι

\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180}

, ο τομέας γράφεται και

\frac{1}{2}\ell\rho

— σαν «τρίγωνο» με βάση το τόξο και ύψος την ακτίνα.

Τι είναι το κυκλικό τμήμα;

Φέρε μια χορδή

AB

σε κύκλο

(O, \rho)

: ο κυκλικός δίσκος κόβεται σε δύο κομμάτια. Καθένα από αυτά — το χωρίο ανάμεσα στη χορδή και στο αντίστοιχο τόξο — λέγεται κυκλικό τμήμα. Μοιάζει με μισοφέγγαρο ή με τη διατομή μιας φέτας καρπουζιού.

Δεν χρειάζεσαι νέο τύπο, μόνο μια αφαίρεση. Ο κυκλικός τομέας

O.AB

γωνίας

\mu°

αποτελείται από το ισοσκελές τρίγωνο

OAB

(δύο πλευρές του είναι ακτίνες) και το κυκλικό τμήμα που «κάθεται» πάνω στη χορδή. Άρα, όταν το τόξο είναι μικρότερο από

180°

\varepsilon_{\tau\mu} = E_{\tau o\mu\acute{\varepsilon}\alpha} - E_{\tau\rho\iota\gamma}

Το εμβαδόν του τομέα το ξέρεις:

\frac{\pi\rho^2\mu}{360}

. Το εμβαδόν του τριγώνου

OAB

βγαίνει σχεδόν πάντα από τον τύπο

\frac{1}{2}\rho^2\eta\mu\mu

, αφού οι πλευρές

OA = OB = \rho

περιέχουν τη γωνία

\mu

Αν το τόξο είναι μεγαλύτερο από

180°

, το τρίγωνο πέφτει μέσα στο τμήμα αντί να περισσεύει, οπότε προσθέτεις:

\varepsilon_{\tau\mu} = E_{\tau o\mu\acute{\varepsilon}\alpha} + E_{\tau\rho\iota\gamma}

. Για τόξο ακριβώς

180°

το τμήμα είναι ημικύκλιο:

\varepsilon = \frac{\pi\rho^2}{2}