⚖️

Ανάλογα Τμήματα & Αναλογίες

Ανάλογα τμήματα, ιδιότητες αναλογιών, τέταρτη ανάλογος, μήκος τμήματος

Γιατί με νοιάζει;

Τυπώνεις μια φωτογραφία $10 \times 15$ cm σε αφίσα. Αν η αφίσα βγει $40 \times 60$ cm, όλα δείχνουν σωστά· αν βγει $40 \times 50$ , τα πρόσωπα «μακραίνουν». Η διαφορά; Στην πρώτη περίπτωση οι διαστάσεις είναι ανάλογες: $\frac{10}{40} = \frac{15}{60}$ . Οι αναλογίες είναι η γλώσσα με την οποία η Γεωμετρία μιλά για «ίδιο σχήμα, άλλο μέγεθος» — και σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να τις χειρίζεσαι σαν εργαλείο.

Ανάλογα τμήματα

Τα τμήματα $\alpha$ , $\gamma$ λέγονται ανάλογα προς τα τμήματα $\beta$ , $\delta$ όταν

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$

Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία. Τα $\alpha$ , $\delta$ λέγονται άκρα και τα $\beta$ , $\gamma$ μέσοι όροι της αναλογίας. Το $\delta$ λέγεται τέταρτη ανάλογος των $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Όταν οι μέσοι όροι είναι ίσοι, $\frac{\alpha}{x} = \frac{x}{\beta}$ , το $x$ λέγεται μέση ανάλογος των $\alpha$ , $\beta$ .

Μήκος ευθύγραμμου τμήματος

Διαλέγουμε ένα τμήμα $e$ ως μονάδα μέτρησης. Μήκος ενός τμήματος $AB$ λέγεται ο λόγος $\frac{AB}{e}$ — ο αριθμός που λέει πόσες φορές χωράει η μονάδα στο $AB$ . Με αυτόν τον ορισμό:

ο λόγος δύο τμημάτων ισούται με τον λόγο των μηκών τους, αρκεί να μετρηθούν με την ίδια μονάδα·
αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος τμημάτων, και για τα ασύμμετρα — τότε απλώς ο λόγος των μηκών είναι άρρητος αριθμός.

Έτσι οι αναλογίες τμημάτων γίνονται αναλογίες αριθμών και λύνονται με άλγεβρα.

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \iff \alpha\delta = \beta\gamma \iff \frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\beta}{\delta}$ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \Rightarrow \frac{\alpha \pm \beta}{\beta} = \frac{\gamma \pm \delta}{\delta} \qquad \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta}$

Γιατί ισχύουν οι ιδιότητες — μία ιδέα για όλες

Θέσε την κοινή τιμή των λόγων ίση με $\lambda$ : $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \lambda$ , δηλαδή $\alpha = \lambda\beta$ και $\gamma = \lambda\delta$ . Τότε:

$\alpha\delta = \lambda\beta\delta = \beta(\lambda\delta) = \beta\gamma$ — το «χιαστί».
$\frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{\lambda\beta + \beta}{\beta} = \lambda + 1$ και ομοίως $\frac{\gamma + \delta}{\delta} = \lambda + 1$ — ίσα.
$\alpha + \gamma = \lambda(\beta + \delta)$ , άρα $\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta} = \lambda$ — προσθέτεις αριθμητές και παρονομαστές και ο λόγος μένει ίδιος.

Αυτή η τεχνική, «θέτω τον λόγο ίσο με $\lambda$ », είναι και η πιο σίγουρη μέθοδος για κάθε απόδειξη με αναλογίες.

Μείνε στη λειτουργία «Ανάλογα» και άλλαξε τον λόγο: όλα τα ζεύγη $(x, y)$ με $\frac{y}{x}$ σταθερό πέφτουν σε μία ευθεία που περνά από την αρχή — διπλασιάζεις το $x$, διπλασιάζεται και το $y$. Αυτό ακριβώς σημαίνει ότι δύο ζεύγη τμημάτων είναι ανάλογα.

Κόλπο μνήμης

διάβασε την αναλογία $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ ως «α προς β όπως γ προς δ». Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι τα άκρα, οι δύο στη μέση οι μέσοι. Κανόνας: γινόμενο άκρων = γινόμενο μέσων, $\alpha\delta = \beta\gamma$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{5}$ , πόσο είναι ο λόγος $\frac{\alpha + \beta}{\beta}$ ;

Μέθοδος: υπολογισμοί και αποδείξεις με αναλογίες

Γράψε την αναλογία με σωστή αντιστοιχία: όροι που αντιστοιχούν μπαίνουν στην ίδια θέση και στους δύο λόγους.
Ένας άγνωστος; Λύσε με το «χιαστί» $\alpha\delta = \beta\gamma$ .
Δίνεται λόγος και άθροισμα (ή διαφορά); Θέσε $\alpha = \mu\kappa$ , $\beta = \nu\kappa$ και λύσε ως προς $\kappa$ — ή χρησιμοποίησε την ιδιότητα $\frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{\mu + \nu}{\nu}$ .
Απόδειξη; Θέσε την κοινή τιμή των λόγων ίση με $\lambda$ και αντικατάστησε, ή εφάρμοσε διαδοχικά τις ιδιότητες.
Έλεγξε ότι όλα τα μήκη βγαίνουν θετικά και ότι ο λόγος επαληθεύεται.

Άσκηση: (α) Να βρεθεί η τέταρτη ανάλογος $x$ των τμημάτων $4$ , $6$ και $10$ , δηλαδή το $x$ για το οποίο $\frac{4}{6} = \frac{10}{x}$ . (β) Δύο τμήματα έχουν λόγο $\frac{2}{3}$ και άθροισμα $25$ cm. Να βρεθούν τα μήκη τους.

Λύση: (α) Χιαστί: $4x = 6 \cdot 10 = 60$ , άρα $x = 15$ . Έλεγχος: $\frac{4}{6} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ ✓

(β) Θέτουμε $\alpha = 2\kappa$ και $\beta = 3\kappa$ . Τότε $2\kappa + 3\kappa = 25 \Rightarrow \kappa = 5$ , άρα $\alpha = 10$ cm και $\beta = 15$ cm.

Με ιδιότητα: $\frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{2 + 3}{3} \Rightarrow \frac{25}{\beta} = \frac{5}{3} \Rightarrow \beta = 15$ και $\alpha = 25 - 15 = 10$ .

Γρήγορος έλεγχος

Τα τμήματα $x$ , $6$ είναι ανάλογα προς τα $4$ , $8$ , δηλαδή $\frac{x}{4} = \frac{6}{8}$ . Πόσο είναι το $x$ ;

Άσκηση: (α) Σε χάρτη κλίμακας $1 : 25\,000$ δύο χωριά απέχουν $18$ cm. Πόση είναι η πραγματική απόστασή τους; (β) Ένα τμήμα $AB$ έχει μήκος $12$ με μονάδα $u$ και μήκος $8$ με μονάδα $v$ . Να βρεθεί ο λόγος $\frac{u}{v}$ και το μήκος, με μονάδα $v$ , ενός τμήματος που έχει μήκος $9$ με μονάδα $u$ .

Λύση: (α) Ο λόγος χάρτη προς πραγματικότητα είναι $\frac{1}{25\,000}$ , άρα η πραγματική απόσταση είναι

$18 \cdot 25\,000 = 450\,000 \text{ cm} = 4{,}5 \text{ km}$

(β) Το ίδιο τμήμα γράφεται $AB = 12u = 8v$ , άρα

$\frac{u}{v} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Ένα τμήμα μήκους $9$ με μονάδα $u$ είναι $9u = 9 \cdot \frac{2}{3}v = 6v$ , δηλαδή έχει μήκος $6$ με μονάδα $v$ . Έλεγχος: ο λόγος των δύο τμημάτων είναι $\frac{9}{12} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ και με τις δύο μονάδες ✓ — ο λόγος τμημάτων δεν εξαρτάται από τη μονάδα.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνονται θετικά μήκη με $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ και $\alpha \neq \beta$ .

(α) Να αποδείξετε ότι $\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\gamma + \delta}{\gamma - \delta}$ .

(β) Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ στην πλευρά $AB$ και σημείο $E$ στην πλευρά $A\Gamma$ με $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ . Να αποδείξετε ότι $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ .

Σχήμα: Τρίγωνο με την κορυφή $A$ πάνω και τη $B\Gamma$ κάτω. Το $\Delta$ βρίσκεται πάνω στην αριστερή πλευρά $AB$ και το $E$ πάνω στη δεξιά πλευρά $A\Gamma$ , ώστε η $AB$ να χωρίζεται σε $A\Delta$ και $\Delta B$ και η $A\Gamma$ σε $AE$ και $E\Gamma$ .

Δεδομένα: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ , $\alpha \neq \beta$ · στο (β) $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ .

Ζητούμενο: οι δύο νέες αναλογίες.

Απόδειξη (α): Θέτουμε $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \lambda$ , οπότε $\alpha = \lambda\beta$ , $\gamma = \lambda\delta$ και $\lambda \neq 1$ (αφού $\alpha \neq \beta$ ). Τότε

$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{(\lambda + 1)\beta}{(\lambda - 1)\beta} = \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1} \qquad \frac{\gamma + \delta}{\gamma - \delta} = \frac{(\lambda + 1)\delta}{(\lambda - 1)\delta} = \frac{\lambda + 1}{\lambda - 1}$

άρα τα δύο κλάσματα είναι ίσα.

(β) Αντιστρέφουμε τη δοσμένη αναλογία: $\frac{\Delta B}{A\Delta} = \frac{E\Gamma}{AE}$ . Προσθέτουμε $1$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα $\frac{\alpha + \beta}{\beta} = \frac{\gamma + \delta}{\delta}$ ):

$\frac{\Delta B + A\Delta}{A\Delta} = \frac{E\Gamma + AE}{AE} \Rightarrow \frac{AB}{A\Delta} = \frac{A\Gamma}{AE}$

αφού το $\Delta$ είναι σημείο της $AB$ και το $E$ της $A\Gamma$ . Αντιστρέφοντας ξανά: $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ .

Συμπέρασμα: οι μορφές «κομμάτι προς κομμάτι» και «κομμάτι προς όλο» είναι ισοδύναμες — θα τις χρησιμοποιείς συνεχώς στο Θεώρημα του Θαλή.

Ήξερες ότι;

Η θεωρία των αναλογιών που δουλεύει και για ασύμμετρα μεγέθη αποδίδεται στον Εύδοξο τον Κνίδιο (4ος αι. π.Χ.) και σώζεται στο Βιβλίο V των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ο ορισμός του για το πότε δύο λόγοι είναι ίσοι θεωρείται πρόδρομος του αυστηρού ορισμού των πραγματικών αριθμών που έδωσε ο Richard Dedekind το 1872.

Γρήγορος έλεγχος

Αν $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \frac{2}{5}$ και $\beta + \delta = 20$ , πόσο είναι το $\alpha + \gamma$ ;

Πρόκληση

Συνεχής αναλογία. Για θετικά τμήματα ισχύει $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{\gamma}{\delta}$ . (α) Δείξε ότι $\frac{\alpha}{\delta} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^3$ . (β) Αν $\alpha = 8$ και $\delta = 27$ , βρες τα $\beta$ και $\gamma$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Θέτουμε τον κοινό λόγο ίσο με $\lambda$ . Τότε

$\frac{\alpha}{\delta} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\gamma} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \lambda \cdot \lambda \cdot \lambda = \lambda^3$

(β) $\lambda^3 = \frac{8}{27}$ , άρα $\lambda = \frac{2}{3}$ . Από $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$ : $\beta = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ , και από $\frac{\beta}{\gamma} = \frac{2}{3}$ : $\gamma = 18$ .

Έλεγχος: $\frac{8}{12} = \frac{12}{18} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ ✓. Τα $12$ και $18$ «γεμίζουν» το κενό ανάμεσα στο $8$ και στο $27$ με γεωμετρική πρόοδο — το ίδιο πρόβλημα που είχαν οι αρχαίοι στο Δήλιο πρόβλημα, με δύο μέσες αναλόγους.

Συνηθισμένα λάθη

Προσθέτουν τον ίδιο αριθμό σε αριθμητή και παρονομαστή: από $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$ γράφουν $\frac{\alpha + 1}{\beta + 1} = \frac{3}{4}$ . Διόρθωση: διατηρούν τον λόγο μόνο οι ιδιότητες $\frac{\alpha \pm \beta}{\beta} = \frac{\gamma \pm \delta}{\delta}$ και $\frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta} = \frac{\alpha}{\beta}$ .
Κάνουν λάθος «χιαστί»: από $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ γράφουν $\alpha\gamma = \beta\delta$ . Διόρθωση: άκρα επί άκρα = μέσοι επί μέσους, $\alpha\delta = \beta\gamma$ .
Παίρνουν λόγο τμημάτων μετρημένων με διαφορετικές μονάδες (cm με m). Διόρθωση: ο λόγος τμημάτων ισούται με τον λόγο των μηκών τους μόνο με κοινή μονάδα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τα $\alpha$ , $\gamma$ είναι ανάλογα προς τα $\beta$ , $\delta$ όταν $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ · άκρα $\alpha$ , $\delta$ και μέσοι $\beta$ , $\gamma$ .
Χιαστί: $\alpha\delta = \beta\gamma$ · εναλλαγή μέσων: $\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\beta}{\delta}$ .
$\frac{\alpha \pm \beta}{\beta} = \frac{\gamma \pm \delta}{\delta}$ και $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha + \gamma}{\beta + \delta}$ .
Για αποδείξεις: θέσε τον κοινό λόγο ίσο με $\lambda$ .
Μήκος = λόγος προς τη μονάδα· ο λόγος δύο τμημάτων είναι ο λόγος των μηκών τους (με κοινή μονάδα), και για ασύμμετρα τμήματα.

Ανάλογα τμήματα

Τα τμήματα

\alpha

\gamma

λέγονται ανάλογα προς τα τμήματα

\beta

\delta

όταν

\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}

Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία. Τα

\alpha

\delta

λέγονται άκρα και τα

\beta

\gamma

μέσοι όροι της αναλογίας. Το

\delta

λέγεται τέταρτη ανάλογος των

\alpha

\beta

\gamma

. Όταν οι μέσοι όροι είναι ίσοι,

\frac{\alpha}{x} = \frac{x}{\beta}

, το

x

λέγεται μέση ανάλογος των

\alpha

\beta

Μήκος ευθύγραμμου τμήματος

Διαλέγουμε ένα τμήμα

e

ως μονάδα μέτρησης. Μήκος ενός τμήματος

AB

λέγεται ο λόγος

\frac{AB}{e}

— ο αριθμός που λέει πόσες φορές χωράει η μονάδα στο

AB

. Με αυτόν τον ορισμό:

ο λόγος δύο τμημάτων ισούται με τον λόγο των μηκών τους, αρκεί να μετρηθούν με την ίδια μονάδα·

αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος τμημάτων, και για τα ασύμμετρα — τότε απλώς ο λόγος των μηκών είναι άρρητος αριθμός.

Έτσι οι αναλογίες τμημάτων γίνονται αναλογίες αριθμών και λύνονται με άλγεβρα.