✂️

Διαίρεση Τμήματος σε Λόγο

Εσωτερική και εξωτερική διαίρεση, μοναδικότητα, συζυγή αρμονικά, χρυσή τομή

Πού βάζεις τον ορίζοντα σε μια φωτογραφία;

Οι φωτογράφοι ακολουθούν συχνά τον «κανόνα των τρίτων»: ο ορίζοντας δεν μπαίνει στη μέση του κάδρου, αλλά σε μια γραμμή που χωρίζει το ύψος του σε λόγο $1 : 2$ . Γεωμετρικά αυτό είναι διαίρεση τμήματος σε δοσμένο λόγο. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να βρίσκεις τέτοια σημεία — μέσα στο τμήμα, αλλά και έξω από αυτό — και φτάνεις ως τη διάσημη χρυσή τομή.

Διαίρεση τμήματος με δοσμένο λόγο

Δύο φίλοι έπαιξαν λαχείο βάζοντας $2€$ και $3€$ — το κέρδος μοιράζεται σε λόγο $2:3$ . Το ίδιο κάνουμε και σε τμήματα: λέμε ότι σημείο $M$ διαιρεί εσωτερικά το τμήμα $AB$ σε λόγο $\lambda$ όταν βρίσκεται ανάμεσα στα $A$ , $B$ και $\frac{MA}{MB} = \lambda$ . Για κάθε $\lambda > 0$ υπάρχει ακριβώς ένα τέτοιο σημείο.

Υπάρχει και εξωτερική διαίρεση: σημείο $N$ πάνω στην ευθεία $AB$ αλλά έξω από το τμήμα, με $\frac{NA}{NB} = \lambda$ . Εδώ απαιτείται $\lambda \neq 1$ : σημείο εκτός του τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα δεν υπάρχει πάνω στην ευθεία — μόνο το μέσο ισαπέχει, και αυτό είναι εσωτερικό.

Όταν το $M$ διαιρεί εσωτερικά και το $N$ εξωτερικά το $AB$ στον ίδιο λόγο, τα $M$ και $N$ λέγονται συζυγή αρμονικά των $A$ και $B$ . Όλοι οι υπολογισμοί γίνονται με τις ιδιότητες των αναλογιών.

Γιατί το σημείο είναι μοναδικό

Εσωτερική διαίρεση: αν $\frac{MA}{MB} = \lambda$ με $M$ μεταξύ $A$ , $B$ , τότε από την ιδιότητα των αναλογιών $\frac{MA}{MA + MB} = \frac{\lambda}{\lambda + 1}$ , δηλαδή

$MA = \frac{\lambda}{\lambda + 1} \cdot AB$

Η απόσταση $MA$ καθορίζεται πλήρως από τα $\lambda$ και $AB$ , άρα υπάρχει ένα μόνο τέτοιο σημείο.

Εξωτερική διαίρεση: αν $\lambda < 1$ , το $N$ βρίσκεται στην προέκταση προς το $A$ και $NB = NA + AB$ · από $NA = \lambda(NA + AB)$ βγαίνει $NA = \frac{\lambda}{1 - \lambda} AB$ . Αν $\lambda > 1$ , το $N$ είναι προς το $B$ και $NA = NB + AB$ , οπότε $NB = \frac{AB}{\lambda - 1}$ και $NA = \frac{\lambda}{\lambda - 1} AB$ . Και στις δύο περιπτώσεις η θέση είναι μοναδική. Για $\lambda = 1$ οι σχέσεις δίνουν διαίρεση με το $0$ : εξωτερικό σημείο δεν υπάρχει.

Σύρε το σημείο στη βοηθητική ημιευθεία και δες τις παράλληλες να «μεταφέρουν» τον λόγο πάνω στο $AB$ — θα ανακαλύψεις πώς κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη το σημείο που διαιρεί τμήμα σε οποιονδήποτε λόγο.

$\text{Εσωτερικά: } M \text{ μεταξύ } A, B, \ \frac{MA}{MB} = \lambda \qquad \text{Εξωτερικά: } N \text{ εκτός } AB, \ \frac{NA}{NB} = \lambda, \ \lambda \neq 1$ $MA = \frac{\lambda}{1 + \lambda} \cdot AB \qquad NA = \frac{\lambda}{|1 - \lambda|} \cdot AB$

Γρήγορος έλεγχος

Το σημείο $M$ διαιρεί εσωτερικά τμήμα $AB = 12$ σε λόγο $\frac{MA}{MB} = \frac{1}{3}$ . Πόσο είναι το $MA$ ;

Μέθοδος: διαίρεση τμήματος σε λόγο $\lambda = \frac{\mu}{\nu}$

Εσωτερικά: θέσε $MA = \mu k$ , $MB = \nu k$ και λύσε $MA + MB = AB$ .
Εξωτερικά: αποφάσισε πρώτα πού είναι το $N$ : αν $\lambda < 1$ είναι πιο κοντά στο $A$ (προέκταση προς το $A$ ), αν $\lambda > 1$ πιο κοντά στο $B$ (προέκταση προς το $B$ ).
Γράψε τη σχέση των αποστάσεων: $NB = NA + AB$ στην πρώτη περίπτωση, $NA = NB + AB$ στη δεύτερη, και λύσε την αναλογία.
Επαλήθευσε ότι ο λόγος βγαίνει $\lambda$ και ότι όλα τα μήκη είναι θετικά.

Άσκηση: Δίνεται τμήμα $AB = 10$ . Να βρεθούν τα σημεία $M$ (εσωτερικό) και $N$ (εξωτερικό) που διαιρούν το $AB$ σε λόγο $\frac{2}{3}$ .

Λύση (εσωτερικά): $MA = 2k$ , $MB = 3k$ και $MA + MB = AB$ :

$5k = 10 \Rightarrow k = 2 \Rightarrow MA = 4, \ MB = 6$

Λύση (εξωτερικά): Αφού $\lambda = \frac{2}{3} < 1$ , το $N$ είναι πιο κοντά στο $A$ , δηλαδή στην προέκταση προς το $A$ , οπότε $NB = NA + 10$ :

$\frac{NA}{NA + 10} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3NA = 2NA + 20 \Rightarrow NA = 20, \ NB = 30$

Επαλήθευση: $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Το σημείο $N$ διαιρεί εξωτερικά τμήμα $AB = 8$ σε λόγο $\frac{NA}{NB} = 3$ . Πόσο είναι το $NA$ ;

Άσκηση: Δίνεται τμήμα $AB = 12$ . Να βρεθούν τα σημεία $M$ (εσωτερικό) και $N$ (εξωτερικό) που διαιρούν το $AB$ σε λόγο $3$ , καθώς και η απόσταση $MN$ .

Λύση (εσωτερικά): $MA = 3k$ , $MB = k$ και $4k = 12 \Rightarrow k = 3$ , άρα $MA = 9$ , $MB = 3$ .

Λύση (εξωτερικά): Αφού $\lambda = 3 > 1$ , το $N$ απέχει περισσότερο από το $A$ , άρα βρίσκεται στην προέκταση προς το $B$ και $NA = NB + 12$ :

$\frac{NB + 12}{NB} = 3 \Rightarrow NB + 12 = 3NB \Rightarrow NB = 6, \ NA = 18$

Απόσταση: τα $M$ και $N$ βρίσκονται εκατέρωθεν του $B$ , άρα $MN = MB + BN = 3 + 6 = 9$ .

Επαλήθευση: $\frac{MA}{MB} = \frac{9}{3} = 3$ και $\frac{NA}{NB} = \frac{18}{6} = 3$ ✓

Η χρυσή τομή

Η πιο διάσημη διαίρεση τμήματος: το εσωτερικό σημείο $M$ του $AB$ για το οποίο το μεγάλο κομμάτι είναι μέση ανάλογος του όλου και του μικρού:

$AM^2 = AB \cdot MB \qquad (AM > MB)$

Με $AB = \alpha$ και $AM = x$ είναι $MB = \alpha - x$ , οπότε $x^2 = \alpha(\alpha - x)$ , δηλαδή $x^2 + \alpha x - \alpha^2 = 0$ , με θετική ρίζα

$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\alpha \approx 0{,}618\alpha$

Ο λόγος $\frac{AB}{AM} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618$ είναι ο χρυσός αριθμός — για παράδειγμα, ο λόγος διαγωνίου προς πλευρά σε κάθε κανονικό πεντάγωνο. Ισχύει επίσης $\frac{AM}{MB} = \varphi$ : το όλο προς το μεγάλο κομμάτι όπως το μεγάλο προς το μικρό.

Ήξερες ότι;

Ο Ευκλείδης ονομάζει τη χρυσή τομή «διαίρεση σε άκρο και μέσο λόγο» (Στοιχεία, Βιβλίο VI) και δείχνει πώς κατασκευάζεται ήδη στην Πρόταση II.11. Οι λόγοι διαδοχικών αριθμών Fibonacci την πλησιάζουν ολοένα: $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{13}{8} = 1{,}625$ , $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ . Προσοχή όμως στους μύθους: η πιστωτική κάρτα έχει διαστάσεις $85{,}60 \times 53{,}98$ mm, με λόγο $\approx 1{,}586$ — κοντά, αλλά όχι $\varphi$ .

Γρήγορος έλεγχος

Το σημείο $M$ είναι η χρυσή τομή τμήματος $AB = 2$ , δηλαδή $AM^2 = AB \cdot MB$ με $AM > MB$ . Πόσο είναι το $AM$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε ευθεία δίνεται τμήμα $AB = 2\alpha$ με μέσο $O$ . Τα σημεία $M$ και $N$ διαιρούν το $AB$ εσωτερικά και εξωτερικά αντίστοιχα στον ίδιο λόγο $\lambda$ , με $0 < \lambda < 1$ .

(α) Να εκφράσετε τα $MA$ και $NA$ συναρτήσει των $\alpha$ , $\lambda$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $OM \cdot ON = OA^2$ .

(γ) Για $AB = 6$ και $\lambda = \frac{1}{2}$ να βρεθούν τα $OM$ , $ON$ και να επαληθευτεί το (β).

Σχήμα: Οριζόντια ευθεία με τα σημεία στη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά: $N$ , $A$ , $M$ , $O$ , $B$ . Το $M$ είναι ανάμεσα στο $A$ και στο μέσο $O$ (αφού $MA < MB$ ), και το $N$ στην προέκταση πέρα από το $A$ .

Δεδομένα: $AB = 2\alpha$ , $O$ μέσο, $\frac{MA}{MB} = \frac{NA}{NB} = \lambda < 1$ .

Ζητούμενο: $MA$ , $NA$ και $OM \cdot ON = OA^2$ .

Λύση (α): Εσωτερικά $MA = \frac{\lambda}{1 + \lambda} \cdot 2\alpha = \frac{2\alpha\lambda}{1 + \lambda}$ . Εξωτερικά, αφού $\lambda < 1$ , το $N$ είναι προς το $A$ με $NB = NA + 2\alpha$ , οπότε $NA = \lambda(NA + 2\alpha)$ και

$NA = \frac{2\alpha\lambda}{1 - \lambda}$

Απόδειξη (β): Αφού $\lambda < 1$ είναι $MA < \alpha = OA$ , άρα το $M$ είναι μεταξύ $A$ και $O$ :

$OM = OA - MA = \alpha - \frac{2\alpha\lambda}{1 + \lambda} = \frac{\alpha(1 - \lambda)}{1 + \lambda} \qquad ON = OA + AN = \alpha + \frac{2\alpha\lambda}{1 - \lambda} = \frac{\alpha(1 + \lambda)}{1 - \lambda}$

Πολλαπλασιάζοντας, οι παράγοντες $(1 - \lambda)$ και $(1 + \lambda)$ απλοποιούνται:

$OM \cdot ON = \alpha^2 = OA^2$

Λύση (γ): $\alpha = 3$ , $\lambda = \frac{1}{2}$ : $OM = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$ και $ON = \frac{3 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 9$ . Πράγματι $OM \cdot ON = 9 = 3^2 = OA^2$ ✓. (Έλεγχος θέσεων: $MA = 2$ , $MB = 4$ , $NA = 6$ , $NB = 12$ — και οι δύο λόγοι $\frac{1}{2}$ ✓.)

Πρόκληση

Χρυσή τομή μέσα στη χρυσή τομή. Το $M$ διαιρεί το τμήμα $AB$ σε χρυσή τομή ( $AM^2 = AB \cdot MB$ , $AM > MB$ ). Πάνω στο $AM$ παίρνουμε σημείο $K$ με $AK = MB$ . Δείξε ότι το $K$ διαιρεί το $AM$ σε χρυσή τομή, δηλαδή $AK^2 = AM \cdot KM$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Πάρε $AB = 1$ και $AM = x$ . Η χρυσή τομή δίνει $x^2 = 1 \cdot (1 - x)$ , δηλαδή τη χρήσιμη σχέση $1 - x = x^2$ . Άρα

$AK = MB = 1 - x = x^2 \qquad KM = AM - AK = x - x^2$

Υπολογίζουμε και τα δύο μέλη:

$AK^2 = x^4 \qquad AM \cdot KM = x(x - x^2) = x^2(1 - x) = x^2 \cdot x^2 = x^4$

Άρα $AK^2 = AM \cdot KM$ ✓. Επιπλέον $AK = x^2 \approx 0{,}382 > KM = x - x^2 \approx 0{,}236$ , οπότε το $AK$ είναι πράγματι το μεγάλο κομμάτι. Η διαδικασία συνεχίζεται επ' άπειρον: κάθε χρυσή τομή «γεννά» μια μικρότερη.

Συνηθισμένα λάθη

Στην εξωτερική διαίρεση βάζουν το $N$ στη λάθος προέκταση. Διόρθωση: το $N$ είναι πιο κοντά στο άκρο που αντιστοιχεί στον μικρότερο όρο του λόγου (για $\lambda < 1$ προς το $A$ , για $\lambda > 1$ προς το $B$ ).
Αναζητούν εξωτερική διαίρεση με $\lambda = 1$ . Διόρθωση: για $\lambda = 1$ υπάρχει μόνο το μέσο (εσωτερικό σημείο)· εξωτερικό δεν υπάρχει.
Γράφουν $MA = \frac{AB}{\lambda}$ ή $MA = \lambda \cdot AB$ . Διόρθωση: $MA = \frac{\lambda}{\lambda + 1} AB$ — ή, πιο ασφαλές, $MA = \mu\kappa$ , $MB = \nu\kappa$ και $MA + MB = AB$ .
Στη χρυσή τομή παίρνουν το μικρό κομμάτι ως μέση ανάλογο. Διόρθωση: το μεγάλο κομμάτι στο τετράγωνο: $AM^2 = AB \cdot MB$ με $AM > MB$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εσωτερική διαίρεση: $M$ μεταξύ $A$ , $B$ με $\frac{MA}{MB} = \lambda$ — ένα μοναδικό σημείο για κάθε $\lambda > 0$ , με $MA = \frac{\lambda}{1 + \lambda} AB$ .
Εξωτερική διαίρεση: $N$ στην προέκταση με $\frac{NA}{NB} = \lambda$ , μόνο για $\lambda \neq 1$ · προς το $A$ αν $\lambda < 1$ , προς το $B$ αν $\lambda > 1$ .
Τα $M$ , $N$ που διαιρούν το $AB$ στον ίδιο λόγο είναι συζυγή αρμονικά των $A$ , $B$ · με $O$ το μέσο, $OM \cdot ON = OA^2$ .
Χρυσή τομή: $AM^2 = AB \cdot MB$ , $AM = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} AB$ και $\frac{AB}{AM} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi$ .

Διαίρεση τμήματος με δοσμένο λόγο

Δύο φίλοι έπαιξαν λαχείο βάζοντας

2€

και

3€

— το κέρδος μοιράζεται σε λόγο

2:3

. Το ίδιο κάνουμε και σε τμήματα: λέμε ότι σημείο

M

διαιρεί εσωτερικά το τμήμα

AB

σε λόγο

\lambda

όταν βρίσκεται ανάμεσα στα

A

B

και

\frac{MA}{MB} = \lambda

. Για κάθε

\lambda > 0

υπάρχει ακριβώς ένα τέτοιο σημείο.

Υπάρχει και εξωτερική διαίρεση: σημείο

N

πάνω στην ευθεία

AB

αλλά έξω από το τμήμα, με

\frac{NA}{NB} = \lambda

. Εδώ απαιτείται

\lambda \neq 1

: σημείο εκτός του τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα δεν υπάρχει πάνω στην ευθεία — μόνο το μέσο ισαπέχει, και αυτό είναι εσωτερικό.

Όταν το

M

διαιρεί εσωτερικά και το

N

εξωτερικά το

AB

στον ίδιο λόγο, τα

M

και

N

λέγονται συζυγή αρμονικά των

A

και

B

. Όλοι οι υπολογισμοί γίνονται με τις ιδιότητες των αναλογιών.

Διαίρεση Τμήματος σε Λόγο

Πού βάζεις τον ορίζοντα σε μια φωτογραφία;

Διαίρεση τμήματος με δοσμένο λόγο

Γιατί το σημείο είναι μοναδικό

Μέθοδος: διαίρεση τμήματος σε λόγο λ=μν\lambda = \frac{\mu}{\nu}λ=νμ​

Η χρυσή τομή

Διαίρεση Τμήματος σε Λόγο

Πού βάζεις τον ορίζοντα σε μια φωτογραφία;

Διαίρεση τμήματος με δοσμένο λόγο

Γιατί το σημείο είναι μοναδικό

Μέθοδος: διαίρεση τμήματος σε λόγο λ=μν\lambda = \frac{\mu}{\nu}λ=νμ​

Η χρυσή τομή

Μέθοδος: διαίρεση τμήματος σε λόγο $\lambda = \frac{\mu}{\nu}$

Μέθοδος: διαίρεση τμήματος σε λόγο $\lambda = \frac{\mu}{\nu}$