🔍

Λόγος Εμβαδών

Τρίγωνα με ίση ή παραπληρωματική γωνία, όμοια τρίγωνα και πολύγωνα: λόγος λ²

Γιατί η μεγάλη πίτσα συμφέρει;

Μια πίτσα $30$ cm κοστίζει $8$ €, μια $40$ cm κοστίζει $12$ €. Η μεγάλη είναι μόνο $1{,}33$ φορές «φαρδύτερη» και $1{,}5$ φορές ακριβότερη — φαίνεται ακριβή. Όμως όλοι οι κύκλοι είναι όμοιοι, και τα εμβαδά πάνε με το τετράγωνο του λόγου: $\left(\frac{40}{30}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78$ φορές περισσότερη πίτσα. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να συγκρίνεις εμβαδά χωρίς να τα υπολογίζεις.

Λόγος εμβαδών

Θεώρημα Ι: Αν δύο τρίγωνα έχουν μία γωνία ίση (ή δύο γωνίες παραπληρωματικές), τα εμβαδά τους έχουν λόγο ίσο με τον λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές:

$\hat{A} = \hat{A}' \Rightarrow \frac{(AB\Gamma)}{(A'B'\Gamma')} = \frac{AB \cdot A\Gamma}{A'B' \cdot A'\Gamma'}$

Γιατί δουλεύει; Γράψε και τα δύο εμβαδά ως $\frac{1}{2}(\text{πλευρά})(\text{πλευρά})\eta\mu A$ — το κοινό $\eta\mu A$ απλοποιείται (και για παραπληρωματικές γωνίες τα ημίτονα είναι ίσα).

Θεώρημα ΙΙ: Για όμοια τρίγωνα — και γενικότερα όμοια πολύγωνα — με λόγο ομοιότητας $\lambda$ , ο λόγος εμβαδών είναι $\lambda^2$ . Δες το ως ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Ι: οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες έχουν λόγο $\lambda$ η καθεμία, άρα τα γινόμενά τους έχουν λόγο $\lambda \cdot \lambda = \lambda^2$ .

Το Θεώρημα ΙΙ για πολύγωνα

Πάρε δύο όμοια πολύγωνα με λόγο $\lambda$ και φέρε όλες τις διαγώνιους από δύο ομόλογες κορυφές. Τα πολύγωνα χωρίζονται σε τρίγωνα που είναι όμοια ανά δύο με τον ίδιο λόγο $\lambda$ (έχουν ίσες γωνίες και ανάλογες πλευρές), οπότε από το Θεώρημα ΙΙ για τρίγωνα

$\frac{E_1}{E_1'} = \frac{E_2}{E_2'} = \ldots = \lambda^2$

Από την ιδιότητα των αναλογιών «προσθέτω αριθμητές και παρονομαστές», $\frac{E_1 + E_2 + \ldots}{E_1' + E_2' + \ldots} = \lambda^2$ , δηλαδή ο λόγος των εμβαδών των πολυγώνων είναι $\lambda^2$ .

$\hat{A} = \hat{A'} \ \ \text{ή} \ \ \hat{A} + \hat{A'} = 180^\circ \Rightarrow \frac{(AB\Gamma)}{(A'B'\Gamma')} = \frac{AB \cdot A\Gamma}{A'B' \cdot A'\Gamma'}$ $\text{όμοια σχήματα με λόγο } \lambda: \quad \frac{E}{E'} = \lambda^2$

Μέθοδος: σύγκριση και λόγος εμβαδών

Κοινό ύψος; Κοινή κορυφή και βάσεις στην ίδια ευθεία → λόγος εμβαδών = λόγος βάσεων.
Ίση ή κοινή γωνία; → Θεώρημα Ι: λόγος εμβαδών = λόγος των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τη γωνία.
Όμοια σχήματα; → λόγος εμβαδών $= \lambda^2$ .
Αν το χωρίο δεν είναι τρίγωνο, γράψε το ως άθροισμα ή διαφορά τριγώνων (π.χ. τετράπλευρο $\Delta B\Gamma E$ = τρίγωνο $AB\Gamma$ μείον τρίγωνο $A\Delta E$ ).
Αν δίνεται αριθμητικό εμβαδόν, πολλαπλασίασε με τον λόγο στο τέλος.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\lambda = 3$ . Αν το μικρό έχει εμβαδόν $5$ , πόσο είναι το εμβαδόν του μεγάλου;

Άσκηση: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει εμβαδόν $45$ . Στην πλευρά $AB$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ με $A\Delta = 2$ , $\Delta B = 4$ και στην πλευρά $A\Gamma$ σημείο $E$ με $AE = 3$ , $E\Gamma = 2$ . Να βρεθούν τα εμβαδά του τριγώνου $A\Delta E$ και του τετραπλεύρου $\Delta B\Gamma E$ .

Λύση: Είναι $AB = 6$ και $A\Gamma = 5$ . Τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ έχουν κοινή τη γωνία $\hat{A}$ , άρα από το Θεώρημα Ι:

$\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \frac{A\Delta \cdot AE}{AB \cdot A\Gamma} = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Άρα $(A\Delta E) = \frac{45}{5} = 9$ και $(\Delta B\Gamma E) = 45 - 9 = 36$ .

Παρατήρηση: τα δύο τρίγωνα δεν είναι όμοια, αφού $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{1}{3}$ ενώ $\frac{AE}{A\Gamma} = \frac{3}{5}$ — γι' αυτό δεν χρησιμοποιούμε $\lambda^2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ παίρνουμε $\Delta$ στην $AB$ με $A\Delta = \frac{1}{2}AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ με $AE = \frac{1}{3}A\Gamma$ . Ο λόγος $\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)}$ είναι:

Άσκηση: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ με εμβαδόν $50$ φέρνουμε $\Delta E \parallel B\Gamma$ ( $\Delta$ στην $AB$ , $E$ στην $A\Gamma$ ) με $\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{2}{3}$ . Να βρεθούν τα εμβαδά του τριγώνου $A\Delta E$ και του τραπεζίου $\Delta B\Gamma E$ .

Λύση: Αφού $\Delta E \parallel B\Gamma$ , τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ είναι όμοια, με λόγο «κομμάτι προς όλη την πλευρά»:

$\lambda = \frac{A\Delta}{AB} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \lambda^2 = \frac{4}{25}$

Άρα $(A\Delta E) = \frac{4}{25} \cdot 50 = 8$ και $(\Delta B\Gamma E) = 50 - 8 = 42$ . Προσοχή: με $\lambda = \frac{2}{3}$ (κομμάτι προς κομμάτι) θα έβγαινε λάθος αποτέλεσμα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια πολύγωνα έχουν εμβαδά $18$ και $50$ . Ο λόγος της περιμέτρου του μεγάλου προς την περίμετρο του μικρού είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη $B\Gamma$ , που τέμνει τις $AB$ και $A\Gamma$ στα $\Delta$ και $E$ , έτσι ώστε το τρίγωνο $A\Delta E$ και το τραπέζιο $\Delta B\Gamma E$ να είναι ισοδύναμα.

(α) Να αποδείξετε ότι $\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \frac{1}{2}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(γ) Αν $AB = 10$ , να βρεθεί το $A\Delta$ .

Σχήμα: Η κορυφή $A$ πάνω και η βάση $B\Gamma$ κάτω. Η οριζόντια $\Delta E$ κόβει το τρίγωνο αρκετά χαμηλά — πιο κάτω από τη μέση του ύψους — ώστε το τριγωνάκι της κορυφής και το τραπέζιο της βάσης να έχουν ίσα εμβαδά.

Δεδομένα: $\Delta E \parallel B\Gamma$ , $(A\Delta E) = (\Delta B\Gamma E)$ .

Ζητούμενο: ο λόγος εμβαδών, ο λόγος $\frac{A\Delta}{AB}$ και το $A\Delta$ .

Απόδειξη (α): Το τρίγωνο $AB\Gamma$ αποτελείται από το $A\Delta E$ και το τραπέζιο $\Delta B\Gamma E$ , που έχουν ίσα εμβαδά. Άρα $(AB\Gamma) = 2(A\Delta E)$ , δηλαδή $\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \frac{1}{2}$ .

(β) Τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ έχουν την $\hat{A}$ κοινή και $A\hat{\Delta}E = \hat{B}$ (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη), άρα είναι όμοια με λόγο $\lambda = \frac{A\Delta}{AB}$ . Από το Θεώρημα ΙΙ:

$\lambda^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Λύση (γ): $A\Delta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ .

Συμπέρασμα: για να μοιράσεις το τρίγωνο στη μέση με παράλληλη, δεν την περνάς από το μέσο της πλευράς (αυτό δίνει μόνο $\frac{1}{4}$ του εμβαδού), αλλά στο $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 71\%$ της πλευράς από την κορυφή.

Ήξερες ότι;

Ο Γαλιλαίος, στο έργο του «Δύο νέες επιστήμες» (1638), χρησιμοποίησε τον λόγο $\lambda^2$ για να εξηγήσει γιατί τα ζώα δεν μπορούν να μεγαλώνουν απεριόριστα: αν μεγεθύνεις ένα ζώο με λόγο $\lambda$ , το βάρος του πολλαπλασιάζεται με $\lambda^3$ , ενώ η διατομή των οστών του, που το στηρίζει, μόνο με $\lambda^2$ . Γι' αυτό ένας ελέφαντας έχει αναλογικά πολύ χοντρύτερα πόδια από μια γάτα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο τρίγωνα έχουν $\hat{A} = 40^\circ$ και $\hat{A'} = 140^\circ$ , με $AB = 3$ , $A\Gamma = 4$ και $A'B' = 6$ , $A'\Gamma' = 5$ . Πόσος είναι ο λόγος $\frac{(AB\Gamma)}{(A'B'\Gamma')}$ ;

Πρόκληση

Τρία τρίγωνα από ένα σημείο. Από σημείο $P$ στο εσωτερικό τριγώνου $AB\Gamma$ φέρνουμε παράλληλες προς τις τρεις πλευρές. Σχηματίζονται τρία μικρά τρίγωνα με κορυφή το $P$ , με εμβαδά $4$ , $9$ και $49$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του $AB\Gamma$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Κάθε μικρό τρίγωνο έχει τις πλευρές του παράλληλες στις πλευρές του $AB\Gamma$ , άρα ίσες γωνίες μαζί του: είναι όμοιο με το $AB\Gamma$ , με λόγο $\lambda_i = \sqrt{\frac{E_i}{E}}$ , όπου $E = (AB\Gamma)$ .

Κοίτα την πλευρά $B\Gamma$ . Οι παράλληλες από το $P$ προς τις $AB$ και $A\Gamma$ την κόβουν σε τρία κομμάτια: το μεσαίο είναι η βάση του μικρού τριγώνου που «κάθεται» πάνω στη $B\Gamma$ , και τα δύο ακριανά είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμων, ίσες με τις πλευρές των άλλων δύο μικρών τριγώνων που είναι παράλληλες στη $B\Gamma$ . Άρα οι τρεις ομόλογες πλευρές έχουν άθροισμα $B\Gamma$ :

$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 \Rightarrow \frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{49}}{\sqrt{E}} = 1$

$\sqrt{E} = 2 + 3 + 7 = 12 \Rightarrow E = 144$

Συνηθισμένα λάθη

Χρησιμοποιούν $\lambda^2$ σε τρίγωνα που απλώς έχουν κοινή γωνία. Διόρθωση: χωρίς ομοιότητα ισχύει το Θεώρημα Ι (λόγος γινομένων των πλευρών).
Πολλαπλασιάζουν το εμβαδόν με $\lambda$ . Διόρθωση: οι περίμετροι έχουν λόγο $\lambda$ , τα εμβαδά $\lambda^2$ .
Από λόγο εμβαδών περνούν στον λόγο πλευρών χωρίς ρίζα. Διόρθωση: $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Με $\Delta E \parallel B\Gamma$ παίρνουν $\lambda = \frac{A\Delta}{\Delta B}$ . Διόρθωση: $\lambda = \frac{A\Delta}{AB}$ — κομμάτι προς όλη την πλευρά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θεώρημα Ι: ίση ή παραπληρωματική γωνία → λόγος εμβαδών = λόγος των γινομένων των πλευρών που την περιέχουν.
Θεώρημα ΙΙ: όμοια τρίγωνα ή πολύγωνα με λόγο $\lambda$ → λόγος εμβαδών $\lambda^2$ .
Από λόγο εμβαδών στον λόγο ομοιότητας: $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Η παράλληλη που μοιράζει ένα τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα μέρη κόβει τις πλευρές στο $\frac{\sqrt{2}}{2}$ από την κορυφή.

🔍

Λόγος Εμβαδών

Τρίγωνα με ίση ή παραπληρωματική γωνία, όμοια τρίγωνα και πολύγωνα: λόγος λ²

Γιατί η μεγάλη πίτσα συμφέρει;

Λόγος εμβαδών

$\hat{A} = \hat{A}' \Rightarrow \frac{(AB\Gamma)}{(A'B'\Gamma')} = \frac{AB \cdot A\Gamma}{A'B' \cdot A'\Gamma'}$

Το Θεώρημα ΙΙ για πολύγωνα

$\frac{E_1}{E_1'} = \frac{E_2}{E_2'} = \ldots = \lambda^2$

Μέθοδος: σύγκριση και λόγος εμβαδών

Κοινό ύψος; Κοινή κορυφή και βάσεις στην ίδια ευθεία → λόγος εμβαδών = λόγος βάσεων.
Ίση ή κοινή γωνία; → Θεώρημα Ι: λόγος εμβαδών = λόγος των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τη γωνία.
Όμοια σχήματα; → λόγος εμβαδών $= \lambda^2$ .
Αν το χωρίο δεν είναι τρίγωνο, γράψε το ως άθροισμα ή διαφορά τριγώνων (π.χ. τετράπλευρο $\Delta B\Gamma E$ = τρίγωνο $AB\Gamma$ μείον τρίγωνο $A\Delta E$ ).
Αν δίνεται αριθμητικό εμβαδόν, πολλαπλασίασε με τον λόγο στο τέλος.

Γρήγορος έλεγχος

Λύση: Είναι $AB = 6$ και $A\Gamma = 5$ . Τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ έχουν κοινή τη γωνία $\hat{A}$ , άρα από το Θεώρημα Ι:

$\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \frac{A\Delta \cdot AE}{AB \cdot A\Gamma} = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Άρα $(A\Delta E) = \frac{45}{5} = 9$ και $(\Delta B\Gamma E) = 45 - 9 = 36$ .

Γρήγορος έλεγχος

Λύση: Αφού $\Delta E \parallel B\Gamma$ , τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ είναι όμοια, με λόγο «κομμάτι προς όλη την πλευρά»:

$\lambda = \frac{A\Delta}{AB} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \lambda^2 = \frac{4}{25}$

Γρήγορος έλεγχος

(α) Να αποδείξετε ότι $\frac{(A\Delta E)}{(AB\Gamma)} = \frac{1}{2}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(γ) Αν $AB = 10$ , να βρεθεί το $A\Delta$ .

Δεδομένα: $\Delta E \parallel B\Gamma$ , $(A\Delta E) = (\Delta B\Gamma E)$ .

Ζητούμενο: ο λόγος εμβαδών, ο λόγος $\frac{A\Delta}{AB}$ και το $A\Delta$ .

$\lambda^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Λύση (γ): $A\Delta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ .

Ήξερες ότι;

Γρήγορος έλεγχος

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 \Rightarrow \frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{49}}{\sqrt{E}} = 1$

$\sqrt{E} = 2 + 3 + 7 = 12 \Rightarrow E = 144$

Συνηθισμένα λάθη

Χρησιμοποιούν $\lambda^2$ σε τρίγωνα που απλώς έχουν κοινή γωνία. Διόρθωση: χωρίς ομοιότητα ισχύει το Θεώρημα Ι (λόγος γινομένων των πλευρών).
Πολλαπλασιάζουν το εμβαδόν με $\lambda$ . Διόρθωση: οι περίμετροι έχουν λόγο $\lambda$ , τα εμβαδά $\lambda^2$ .
Από λόγο εμβαδών περνούν στον λόγο πλευρών χωρίς ρίζα. Διόρθωση: $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Με $\Delta E \parallel B\Gamma$ παίρνουν $\lambda = \frac{A\Delta}{\Delta B}$ . Διόρθωση: $\lambda = \frac{A\Delta}{AB}$ — κομμάτι προς όλη την πλευρά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θεώρημα Ι: ίση ή παραπληρωματική γωνία → λόγος εμβαδών = λόγος των γινομένων των πλευρών που την περιέχουν.
Θεώρημα ΙΙ: όμοια τρίγωνα ή πολύγωνα με λόγο $\lambda$ → λόγος εμβαδών $\lambda^2$ .
Από λόγο εμβαδών στον λόγο ομοιότητας: $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Η παράλληλη που μοιράζει ένα τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα μέρη κόβει τις πλευρές στο $\frac{\sqrt{2}}{2}$ από την κορυφή.