🐝

Κανονικά Πολύγωνα

Κεντρική γωνία, γωνία πολυγώνου, απόθεμα, λ₃, λ₄, λ₆, περίμετρος και εμβαδόν

Γιατί οι μέλισσες φτιάχνουν εξάγωνα;

Κοίταξε μια κηρήθρα: χιλιάδες κανονικά εξάγωνα, κολλημένα χωρίς κενά. Γιατί όχι τετράγωνα ή τρίγωνα; Μόνο τρία κανονικά πολύγωνα στρώνουν το επίπεδο — και από αυτά το εξάγωνο κλείνει δοσμένο εμβαδόν με τη μικρότερη περίμετρο, δηλαδή με το λιγότερο κερί. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις τα «στοιχεία» κάθε κανονικού πολυγώνου — γωνίες, πλευρά, απόθεμα, εμβαδόν — όλα από την ακτίνα του κύκλου του.

Κανονικά πολύγωνα — ο δρόμος προς τον κύκλο

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες. Κάθε κανονικό ν-γωνο εγγράφεται σε κύκλο: η κεντρική γωνία του είναι $\omega_\nu = \frac{360^\circ}{\nu}$ και η γωνία του $\varphi_\nu = 180^\circ - \omega_\nu$ , οπότε πάντα $\varphi_\nu + \omega_\nu = 180^\circ$ .

Για κύκλο ακτίνας $\rho$ , οι πλευρές των βασικών εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων είναι:

Ισόπλευρο τρίγωνο: $\lambda_3 = \rho\sqrt{3}$
Τετράγωνο: $\lambda_4 = \rho\sqrt{2}$
Κανονικό εξάγωνο: $\lambda_6 = \rho$

Κανονικά πολύγωνα: γωνίες και πλήθος πλευρών

Σε κανονικό $\nu$ -γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, \rho)$ , οι ακτίνες προς τις κορυφές το χωρίζουν σε $\nu$ ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Η γωνία στην κορυφή $O$ καθενός είναι η κεντρική γωνία $\omega_\nu = \frac{360^\circ}{\nu}$ , και κάθε γωνία του πολυγώνου αποτελείται από δύο γωνίες βάσης τέτοιων τριγώνων:

$\varphi_\nu = 180^\circ - \omega_\nu = 180^\circ - \frac{360^\circ}{\nu}$

Η σχέση δουλεύει και ανάποδα — από τη γωνία βρίσκεις το πλήθος των πλευρών: $\omega_\nu = 180^\circ - \varphi_\nu$ και $\nu = \frac{360^\circ}{\omega_\nu}$ . Αν το $\nu$ δεν βγαίνει φυσικός αριθμός $\nu \geq 3$ , τέτοιο κανονικό πολύγωνο δεν υπάρχει.

$\omega_\nu = \frac{360^\circ}{\nu} \qquad \varphi_\nu = 180^\circ - \omega_\nu = 180^\circ - \frac{360^\circ}{\nu}$ $\lambda_3 = \rho\sqrt{3} \qquad \lambda_4 = \rho\sqrt{2} \qquad \lambda_6 = \rho$

Γρήγορος έλεγχος

Κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι $150^\circ$ . Πόσες πλευρές έχει;

Άσκηση: (α) Κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι $140^\circ$ . Πόσες πλευρές έχει; (β) Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία $130^\circ$ ;

Λύση: (α) Κεντρική γωνία: $\omega_\nu = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ , άρα

$\nu = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$

Πρόκειται για κανονικό εννεάγωνο. Έλεγχος με το άθροισμα γωνιών: $(9 - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ = 9 \cdot 140^\circ$ ✓

(β) $\omega = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ και $\frac{360}{50} = 7{,}2$ , που δεν είναι φυσικός αριθμός. Άρα δεν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία $130^\circ$ .

Από τη χορδή στο κανονικό πολύγωνο: το απόθεμα

Η ίδια εικόνα — χορδή σε κύκλο — δίνει και τα στοιχεία του κανονικού πολυγώνου. Κάθε κανονικό $\nu$ -γωνο εγγράφεται σε κύκλο $(O, \rho)$ και κάθε πλευρά του $\lambda_\nu$ είναι μια χορδή αυτού του κύκλου. Η απόσταση του κέντρου $O$ από μια πλευρά λέγεται απόθεμα $\alpha_\nu$ — είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου.

Φέρε το απόθεμα $OM$ στο μέσο $M$ της πλευράς $AB = \lambda_\nu$ : σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο $OMA$ με κάθετες πλευρές $\alpha_\nu$ και $\frac{\lambda_\nu}{2}$ και υποτείνουσα την ακτίνα $\rho$ . Το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει τη θεμελιώδη σχέση που συνδέει τα τρία στοιχεία:

$\alpha_\nu^2 + \frac{\lambda_\nu^2}{4} = \rho^2$

Για την περίμετρο και το εμβαδόν, κόψε το πολύγωνο με τις ακτίνες προς τις κορυφές: προκύπτουν $\nu$ ίσα ισοσκελή τρίγωνα, καθένα με βάση $\lambda_\nu$ και ύψος το απόθεμα $\alpha_\nu$ . Άρα η περίμετρος είναι $\Pi_\nu = \nu\lambda_\nu$ και το εμβαδόν:

$E_\nu = \nu \cdot \frac{1}{2}\lambda_\nu\alpha_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu$

Δηλαδή «μισή περίμετρος επί απόθεμα» — ο αντίστοιχος του $E = \tau\rho$ για τα κανονικά πολύγωνα, αφού ο εγγεγραμμένος κύκλος ακτίνας $\alpha_\nu$ εφάπτεται σε όλες τις πλευρές.

$\Pi_\nu = \nu\lambda_\nu \qquad E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu \qquad \alpha_\nu^2 + \frac{\lambda_\nu^2}{4} = \rho^2$

Κόλπο μνήμης

για τις πλευρές των εγγεγραμμένων πολυγώνων θυμήσου τη «σκάλα των ριζών»: τρίγωνο $\rho\sqrt{3}$ , τετράγωνο $\rho\sqrt{2}$ , εξάγωνο $\rho\sqrt{1} = \rho$ . Όσο περισσότερες πλευρές, τόσο μικρότερη η ρίζα — λογικό, αφού περισσότερες πλευρές χωράνε στον ίδιο κύκλο μόνο αν είναι μικρότερες.

Μέθοδος: τα στοιχεία κανονικού $\nu$ -γώνου από την ακτίνα

Κεντρική γωνία: $\omega_\nu = \frac{360^\circ}{\nu}$ .
Φέρε το απόθεμα $OM$ στο μέσο $M$ της πλευράς $AB$ : στο ορθογώνιο τρίγωνο $OMA$ είναι $A\hat{O}M = \frac{\omega_\nu}{2}$ και υποτείνουσα η $\rho$ .
Βρες ένα από τα $\lambda_\nu$ , $\alpha_\nu$ (από τα δεδομένα ή από τις γωνίες $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ του τριγώνου $OMA$ ) και το άλλο από τη σχέση $\alpha_\nu^2 + \frac{\lambda_\nu^2}{4} = \rho^2$ .
Περίμετρος $\Pi_\nu = \nu\lambda_\nu$ και εμβαδόν $E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu$ .
Χωρίο ανάμεσα σε κύκλο και πολύγωνο: $\pi\rho^2 - E_\nu$ · καθένα από τα $\nu$ ίσα κυκλικά τμήματα είναι το $\frac{1}{\nu}$ αυτού.

Άσκηση: Κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, 4)$ . Να βρεθούν η πλευρά $\lambda_6$ , το απόθεμα $\alpha_6$ , η περίμετρος και το εμβαδόν του.

Λύση: Στο κανονικό εξάγωνο η πλευρά ισούται με την ακτίνα:

$\lambda_6 = \rho = 4$

Από τη θεμελιώδη σχέση:

$\alpha_6^2 = \rho^2 - \frac{\lambda_6^2}{4} = 16 - \frac{16}{4} = 12 \implies \alpha_6 = 2\sqrt{3}$

Περίμετρος: $\Pi_6 = 6 \cdot 4 = 24$ . Εμβαδόν:

$E_6 = \frac{1}{2}\Pi_6\alpha_6 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

Επαλήθευση: το εξάγωνο αποτελείται από $6$ ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς $4$ , άρα $E = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 24\sqrt{3}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Κανονικό εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\rho = 6$ . Το απόθεμά του $\alpha_6$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\rho = 2\sqrt{2}$ έχει πλευρά $\lambda_4 = 4$ . Το απόθεμά του $\alpha_4$ είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, \rho)$ .

Σχήμα: Ο κύκλος με κέντρο $O$ και οι κορυφές $A$ , $B$ , $\Gamma$ πάνω του, ανά $120^\circ$ . Από το $O$ φέρνουμε κάθετη $OM$ στην πλευρά $AB$ ( $M$ το μέσο της). Ανάμεσα σε κάθε πλευρά και στον κύκλο σχηματίζεται ένα κυκλικό τμήμα — τρία ίσα «μισοφέγγαρα».

(α) Να αποδείξετε ότι το απόθεμα είναι $\alpha_3 = \frac{\rho}{2}$ και η πλευρά $\lambda_3 = \rho\sqrt{3}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $E_3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\rho^2$ .

(γ) Για $\rho = 4$ , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μέσα στον κύκλο και έξω από το τρίγωνο.

Δεδομένα: $AB\Gamma$ ισόπλευρο, εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, \rho)$ . Ζητούμενο: $\alpha_3$ , $\lambda_3$ , $E_3$ και το εμβαδόν του χωρίου.

Απόδειξη (α): Η κεντρική γωνία είναι $\omega_3 = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ . Το τρίγωνο $OAB$ είναι ισοσκελές ( $OA = OB = \rho$ ), άρα το ύψος του $OM$ είναι και διχοτόμος: $A\hat{O}M = 60^\circ$ , οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $OMA$ είναι $O\hat{A}M = 30^\circ$ . Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από γωνία $30^\circ$ είναι το μισό της υποτείνουσας (ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου), άρα

$\alpha_3 = OM = \frac{\rho}{2}$

Από τη θεμελιώδη σχέση: $\frac{\lambda_3^2}{4} = \rho^2 - \frac{\rho^2}{4} = \frac{3\rho^2}{4}$ , οπότε $\lambda_3^2 = 3\rho^2$ και $\lambda_3 = \rho\sqrt{3}$ .

(β) $\Pi_3 = 3\rho\sqrt{3}$ , άρα $E_3 = \frac{1}{2} \cdot 3\rho\sqrt{3} \cdot \frac{\rho}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\rho^2$ .

Λύση (γ): Για $\rho = 4$ : $E_3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 12\sqrt{3}$ και

$E_{\text{χωρίου}} = \pi\rho^2 - E_3 = 16\pi - 12\sqrt{3} \approx 29{,}48$

Επαλήθευση: κάθε κυκλικό τμήμα αντιστοιχεί σε τόξο $120^\circ$ και έχει εμβαδόν $\frac{16\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$ · τρία τέτοια δίνουν $16\pi - 12\sqrt{3}$ ✓

Ήξερες ότι;

Οι αρχαίοι Έλληνες ήξεραν να κατασκευάζουν με κανόνα και διαβήτη κανονικά πολύγωνα με $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $15$ πλευρές και τα διπλάσιά τους. Χρειάστηκαν περίπου δύο χιλιετίες για το επόμενο βήμα: το 1796 ο $19$ χρονος Carl Friedrich Gauss απέδειξε ότι κατασκευάζεται και το κανονικό $17$ -γωνο.

Πρόκληση

Με ποια κανονικά πολύγωνα, όλα ίδια μεταξύ τους, μπορείς να στρώσεις ένα πάτωμα χωρίς κενά και επικαλύψεις (με πλακάκια που ενώνονται κορυφή με κορυφή);

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Γύρω από κάθε κορυφή συναντιούνται $k$ πλακάκια και οι γωνίες τους πρέπει να κάνουν ακριβώς $360^\circ$ . Η γωνία κανονικού $\nu$ -γώνου είναι $180^\circ - \frac{360^\circ}{\nu}$ , άρα

$k\left(180 - \frac{360}{\nu}\right) = 360 \Rightarrow k \cdot \frac{\nu - 2}{\nu} = 2 \Rightarrow k = \frac{2\nu}{\nu - 2}$

Γράφουμε $2\nu = 2(\nu - 2) + 4$ , οπότε $k = 2 + \frac{4}{\nu - 2}$ . Για να είναι το $k$ ακέραιος, το $\nu - 2$ πρέπει να διαιρεί το $4$ : $\nu - 2 \in \{1, 2, 4\}$ .

$\nu = 3$ : $k = 6$ ισόπλευρα τρίγωνα
$\nu = 4$ : $k = 4$ τετράγωνα
$\nu = 6$ : $k = 3$ κανονικά εξάγωνα

Μόνο τρία κανονικά πολύγωνα πλακοστρώνουν το επίπεδο. Το κανονικό πεντάγωνο αποτυγχάνει: η γωνία του είναι $108^\circ$ και $360 : 108$ δεν είναι ακέραιος. Από τα τρία, το εξάγωνο καλύπτει δοσμένο εμβαδόν με τη μικρότερη περίμετρο — γι' αυτό είναι το σχήμα της κηρήθρας.

Συνηθισμένα λάθη

Βρίσκουν το $\nu$ διαιρώντας το $360^\circ$ με τη γωνία του πολυγώνου. Διόρθωση: διαιρείς με την κεντρική γωνία $\omega_\nu = 180^\circ - \varphi_\nu$ .
Μπερδεύουν απόθεμα με ακτίνα ή με μισή πλευρά. Διόρθωση: απόθεμα = απόσταση του κέντρου από την πλευρά, $\alpha_\nu = \sqrt{\rho^2 - \frac{\lambda_\nu^2}{4}}$ , πάντα μικρότερο από το $\rho$ .
Γράφουν $E_\nu = \Pi_\nu\alpha_\nu$ . Διόρθωση: το πολύγωνο είναι $\nu$ τρίγωνα εμβαδού $\frac{1}{2}\lambda_\nu\alpha_\nu$ το καθένα, άρα $E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κανονικό πολύγωνο: όλες οι πλευρές ίσες και όλες οι γωνίες ίσες· εγγράφεται σε κύκλο $(O, \rho)$ .
$\omega_\nu = \frac{360^\circ}{\nu}$ , $\varphi_\nu = 180^\circ - \omega_\nu$ · από τη γωνία βρίσκεις το $\nu = \frac{360^\circ}{\omega_\nu}$ .
Απόθεμα: $\alpha_\nu^2 + \frac{\lambda_\nu^2}{4} = \rho^2$ · περίμετρος $\Pi_\nu = \nu\lambda_\nu$ , εμβαδόν $E_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu$ .
Ισόπλευρο: $\lambda_3 = \rho\sqrt{3}$ , $\alpha_3 = \frac{\rho}{2}$ · τετράγωνο: $\lambda_4 = \rho\sqrt{2}$ , $\alpha_4 = \frac{\rho\sqrt{2}}{2}$ · εξάγωνο: $\lambda_6 = \rho$ , $\alpha_6 = \frac{\rho\sqrt{3}}{2}$ .

Από τη χορδή στο κανονικό πολύγωνο: το απόθεμα

Η ίδια εικόνα — χορδή σε κύκλο — δίνει και τα στοιχεία του κανονικού πολυγώνου. Κάθε κανονικό

\nu

-γωνο εγγράφεται σε κύκλο

(O, \rho)

και κάθε πλευρά του

\lambda_\nu

είναι μια χορδή αυτού του κύκλου. Η απόσταση του κέντρου

O

από μια πλευρά λέγεται απόθεμα

\alpha_\nu

— είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου.

Φέρε το απόθεμα

OM

στο μέσο

M

της πλευράς

AB = \lambda_\nu

: σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο

OMA

με κάθετες πλευρές

\alpha_\nu

και

\frac{\lambda_\nu}{2}

και υποτείνουσα την ακτίνα

\rho

. Το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει τη θεμελιώδη σχέση που συνδέει τα τρία στοιχεία:

\alpha_\nu^2 + \frac{\lambda_\nu^2}{4} = \rho^2

Για την περίμετρο και το εμβαδόν, κόψε το πολύγωνο με τις ακτίνες προς τις κορυφές: προκύπτουν

\nu

ίσα ισοσκελή τρίγωνα, καθένα με βάση

\lambda_\nu

και ύψος το απόθεμα

\alpha_\nu

. Άρα η περίμετρος είναι

\Pi_\nu = \nu\lambda_\nu

και το εμβαδόν:

E_\nu = \nu \cdot \frac{1}{2}\lambda_\nu\alpha_\nu = \frac{1}{2}\Pi_\nu\alpha_\nu

Δηλαδή «μισή περίμετρος επί απόθεμα» — ο αντίστοιχος του

E = \tau\rho

για τα κανονικά πολύγωνα, αφού ο εγγεγραμμένος κύκλος ακτίνας

\alpha_\nu

εφάπτεται σε όλες τις πλευρές.

Κανονικά Πολύγωνα

Γιατί οι μέλισσες φτιάχνουν εξάγωνα;

Κανονικά πολύγωνα — ο δρόμος προς τον κύκλο

Κανονικά πολύγωνα: γωνίες και πλήθος πλευρών

Από τη χορδή στο κανονικό πολύγωνο: το απόθεμα

Μέθοδος: τα στοιχεία κανονικού ν\nuν-γώνου από την ακτίνα

Κανονικά Πολύγωνα

Γιατί οι μέλισσες φτιάχνουν εξάγωνα;

Κανονικά πολύγωνα — ο δρόμος προς τον κύκλο

Κανονικά πολύγωνα: γωνίες και πλήθος πλευρών

Από τη χορδή στο κανονικό πολύγωνο: το απόθεμα

Μέθοδος: τα στοιχεία κανονικού ν\nuν-γώνου από την ακτίνα

Μέθοδος: τα στοιχεία κανονικού $\nu$ -γώνου από την ακτίνα

Μέθοδος: τα στοιχεία κανονικού $\nu$ -γώνου από την ακτίνα