⭕

Μήκος Κύκλου & Τόξου

Προσέγγιση με κανονικά πολύγωνα, ο αριθμός π, L = 2πρ, μήκος τόξου σε μοίρες και ακτίνια

Γιατί οι δρομείς των $200$ m δεν ξεκινούν στην ίδια γραμμή;

Σε έναν στίβο, κάθε διαδρομή έχει πλάτος $1{,}22$ m. Στη στροφή οι διαδρομές είναι ομόκεντρα ημικύκλια, και ένα ημικύκλιο ακτίνας $1{,}22$ m μεγαλύτερης είναι μακρύτερο κατά $\pi \cdot 1{,}22 \approx 3{,}83$ m. Γι' αυτό οι αθλητές των εξωτερικών διαδρομών ξεκινούν πιο μπροστά — αλλιώς θα έτρεχαν περισσότερα μέτρα. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις από πού βγαίνει το μήκος του κύκλου και πώς μετράς οποιοδήποτε τόξο.

Προσέγγιση του μήκους του κύκλου

Εγγράφεις σε κύκλο $(O, \rho)$ ένα κανονικό $\nu$ -γωνο και διπλασιάζεις ξανά και ξανά τις πλευρές του: $\nu = 6, 12, 24, 48, \ldots$ Η περίμετρος $\Pi_\nu$ αυξάνεται και πλησιάζει όλο και περισσότερο τον κύκλο· οι περίμετροι των αντίστοιχων περιγεγραμμένων πολυγώνων μειώνονται προς τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο κοινός αριθμός είναι το μήκος του κύκλου $L$ .

Επειδή δύο κανονικά $\nu$ -γωνα είναι όμοια με λόγο τον λόγο των ακτίνων, ο λόγος $\frac{\Pi_\nu}{2\rho}$ είναι ο ίδιος για όλους τους κύκλους — άρα και ο λόγος $\frac{L}{2\rho}$ του μήκους προς τη διάμετρο είναι σταθερός. Αυτή η σταθερά είναι ο αριθμός $\pi \approx 3{,}14159$ .

Μήκος κύκλου, τόξου και το ακτίνιο

Ο λόγος του μήκους οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ο ίδιος για όλους τους κύκλους — αυτός ο σταθερός αριθμός είναι το $\pi \approx 3{,}14$ , οπότε $L = 2\pi\rho$ . Ένα τόξο $\mu^\circ$ είναι το $\frac{\mu}{360}$ του κύκλου, άρα $\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ .

Τα τόξα μετριούνται και σε ακτίνια (rad): $1$ rad είναι το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα. Αν ένα τόξο είναι $\alpha$ rad, τότε $\ell = \alpha\rho$ , και η μετατροπή γίνεται με την αναλογία $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$ (π.χ. $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ rad, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ rad).

$L = 2\pi\rho = \pi\delta \qquad \ell = \frac{\pi\rho\mu}{180} \qquad \ell = \alpha\rho \ \ (\alpha \text{ σε rad})$ $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης, στο έργο του «Κύκλου μέτρησις», εγγράφει και περιγράφει στον κύκλο κανονικά 96-γωνα και αποδεικνύει ότι

$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$

δηλαδή $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ . Από εκεί βγαίνει και η γνωστή προσέγγιση $\frac{22}{7}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο ακτίνας $\rho = 9$ , πόσο είναι το μήκος ενός τόξου $40^\circ$ ;

Μέθοδος: μήκος κύκλου και τόξου

Βρες την ακτίνα $\rho$ — συχνά κρύβεται σε μια διάμετρο ή στην πλευρά κανονικού εξαγώνου ( $\lambda_6 = \rho$ ).
Βρες την επίκεντρη γωνία $\mu$ του τόξου (σε κανονικό $\nu$ -γωνο κάθε πλευρά αντιστοιχεί σε τόξο $\frac{360^\circ}{\nu}$ ).
Μήκος τόξου: $\ell = \frac{\mu}{360} \cdot 2\pi\rho = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ , ή $\ell = \alpha\rho$ αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια.
Μετατροπή μοιρών ↔ ακτινίων με την αναλογία $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$ .
Για την περίμετρο σύνθετου σχήματος, περπάτα νοερά πάνω στο σύνορό του και πρόσθεσε κάθε κομμάτι (ευθύγραμμο ή τόξο) μία φορά.

Άσκηση: Κύκλος έχει ακτίνα $\rho = 5$ . (α) Να βρεθεί το μήκος του. (β) Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί σε μια πλευρά εγγεγραμμένου κανονικού πενταγώνου, με δύο τρόπους.

Λύση: (α) $L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}42$ .

(β) Κάθε πλευρά του πενταγώνου αντιστοιχεί σε τόξο $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ .

Σε μοίρες: $\ell = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 72}{180} = 2\pi$ .
Σε ακτίνια: $72^\circ = \frac{72}{180}\pi = \frac{2\pi}{5}$ rad, άρα $\ell = \alpha\rho = \frac{2\pi}{5} \cdot 5 = 2\pi$ ✓

Έλεγχος: πέντε τέτοια τόξα δίνουν $10\pi = L$ ✓

Κόλπο μνήμης

τόξο και τομέας είναι το ίδιο κομμάτι της πίτας, $\frac{\mu}{360}$ του κύκλου. Στο τόξο παίρνεις αυτό το κομμάτι από την περίμετρο: $\frac{\mu}{360} \cdot 2\pi\rho = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ . Στον τομέα το παίρνεις από το εμβαδόν: $\frac{\mu}{360} \cdot \pi\rho^2$ . Το $180$ του τόξου είναι απλώς το $360$ «απλοποιημένο» με το $2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τόξο έχει μέτρο $\frac{3\pi}{4}$ rad. Πόσες μοίρες είναι;

Άσκηση: Ο τροχός ενός ποδηλάτου έχει διάμετρο $70$ cm. (α) Πόσες στροφές κάνει περίπου για να διανύσει $1$ km; (β) Κατά πόσες μοίρες περίπου στρίβει όταν το ποδήλατο προχωρά $55$ cm;

Λύση: (α) Σε κάθε στροφή ο τροχός προχωρά όσο το μήκος του:

$L = \pi\delta = 0{,}7\pi \text{ m} \approx 2{,}199 \text{ m}$

Στροφές: $\frac{1000}{2{,}199} \approx 454{,}7$ , δηλαδή περίπου $455$ στροφές.

(β) Ένα σημείο της περιφέρειας διαγράφει τόξο $\ell = 55$ cm σε κύκλο ακτίνας $\rho = 35$ cm:

$\mu = \frac{180\ell}{\pi\rho} = \frac{180 \cdot 55}{35\pi} \approx 90^\circ$

δηλαδή σχεδόν ένα τέταρτο της στροφής — λογικό, αφού $\frac{L}{4} \approx 55$ cm.

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύκλος έχει μήκος $12\pi$ . Πόσο είναι το μήκος ενός τόξου του $30^\circ$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ πλευράς $\alpha$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, \rho)$ .

(α) Να αποδείξετε ότι $\rho = \frac{\alpha\sqrt{2}}{2}$ .

(β) Να βρεθεί το μήκος του μικρού τόξου $AB$ συναρτήσει του $\alpha$ .

(γ) Να αποδείξετε ότι το μήκος του μικρού τόξου $AB$ είναι μικρότερο από το μήκος του ημικυκλίου με διάμετρο την $AB$ , και να βρεθεί ο λόγος τους.

Σχήμα: Κύκλος με κέντρο $O$ και το τετράγωνο εγγεγραμμένο, με τις κορυφές πάνω στον κύκλο. Οι διαγώνιοι $A\Gamma$ και $B\Delta$ περνούν από το $O$ και τέμνονται κάθετα. Πάνω στην πλευρά $AB$ , προς τα έξω, σχεδιάζεται ημικύκλιο με διάμετρο $AB$ , που «φουσκώνει» πέρα από το τόξο $AB$ του κύκλου.

Δεδομένα: τετράγωνο πλευράς $\alpha$ , περιγεγραμμένος κύκλος $(O, \rho)$ .

Ζητούμενο: $\rho$ , το μήκος του τόξου $AB$ και η σύγκριση με το ημικύκλιο.

Απόδειξη (α): Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα στο $O$ , οπότε $OA = OB = \rho$ και $A\hat{O}B = 90^\circ$ . Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $OAB$ : $\alpha^2 = \rho^2 + \rho^2 = 2\rho^2$ , άρα $\rho = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} = \frac{\alpha\sqrt{2}}{2}$ .

Λύση (β): Το τόξο $AB$ έχει επίκεντρη γωνία $90^\circ$ :

$\ell_{AB} = \frac{\pi\rho \cdot 90}{180} = \frac{\pi\rho}{2} = \frac{\pi\alpha\sqrt{2}}{4}$

Απόδειξη (γ): Το ημικύκλιο διαμέτρου $\alpha$ έχει μήκος $\pi \cdot \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi\alpha}{2}$ . Τότε

$\frac{\ell_{AB}}{\ell_{\eta\mu}} = \frac{\pi\alpha\sqrt{2}/4}{\pi\alpha/2} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$

άρα το τόξο του κύκλου είναι μικρότερο, με λόγο $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ .

Πρόκληση

Το σχοινί γύρω από τη Γη. Ένα σχοινί τυλίγεται σφιχτά γύρω από τον Ισημερινό (περίπου $40\,000$ km). Το μακραίνουμε κατά $1$ μέτρο και το σηκώνουμε ομοιόμορφα, ώστε να απέχει παντού το ίδιο από το έδαφος. Μπορεί να περάσει από κάτω μια γάτα; Και τι θα γινόταν με ένα σχοινί γύρω από μια μπάλα ποδοσφαίρου;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αν $\rho$ η ακτίνα της Γης και $\rho + h$ η ακτίνα του μακρύτερου σχοινιού:

$2\pi(\rho + h) - 2\pi\rho = 1 \Rightarrow 2\pi h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{2\pi} \approx 0{,}159 \text{ m}$

Περίπου $16$ cm — μια γάτα περνάει άνετα! Το εκπληκτικό είναι ότι η ακτίνα $\rho$ απλοποιήθηκε: το αποτέλεσμα είναι το ίδιο για τη Γη, για μια μπάλα ή για ένα νόμισμα. Το μήκος του κύκλου είναι γραμμική συνάρτηση της ακτίνας, οπότε κάθε μέτρο επιπλέον μήκος αντιστοιχεί πάντα σε $\frac{1}{2\pi}$ m επιπλέον ακτίνα.

Συνηθισμένα λάθη

Μπερδεύουν τους παρονομαστές. Διόρθωση: το τόξο είναι το $\frac{\mu}{360}$ του $2\pi\rho$ , άρα $\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ — το $180$ είναι το $360$ απλοποιημένο με το $2$ .
Βάζουν τη διάμετρο στη θέση της ακτίνας. Διόρθωση: $L = 2\pi\rho = \pi\delta$ — ή το ένα ή το άλλο, όχι $2\pi\delta$ .
Βάζουν μοίρες στον τύπο $\ell = \alpha\rho$ . Διόρθωση: ο τύπος θέλει τη γωνία σε ακτίνια· μετάτρεψε πρώτα με $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$ .
Στην περίμετρο σύνθετου σχήματος προσθέτουν και εσωτερικά τμήματα (π.χ. ακτίνες). Διόρθωση: μετράς μόνο ό,τι ανήκει στο σύνορο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Το μήκος του κύκλου είναι το κοινό όριο των περιμέτρων εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων.
$\frac{L}{2\rho} = \pi$ για κάθε κύκλο, άρα $L = 2\pi\rho = \pi\delta$ .
Τόξο $\mu^\circ$ : $\ell = \frac{\pi\rho\mu}{180}$ · τόξο $\alpha$ rad: $\ell = \alpha\rho$ .
Μετατροπή: $\frac{\alpha}{\pi} = \frac{\mu}{180}$ , π.χ. $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ rad, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ rad.

Προσέγγιση του μήκους του κύκλου

Εγγράφεις σε κύκλο

(O, \rho)

ένα κανονικό

\nu

-γωνο και διπλασιάζεις ξανά και ξανά τις πλευρές του:

\nu = 6, 12, 24, 48, \ldots

Η περίμετρος

\Pi_\nu

αυξάνεται και πλησιάζει όλο και περισσότερο τον κύκλο· οι περίμετροι των αντίστοιχων περιγεγραμμένων πολυγώνων μειώνονται προς τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο κοινός αριθμός είναι το μήκος του κύκλου

L

Επειδή δύο κανονικά

\nu

-γωνα είναι όμοια με λόγο τον λόγο των ακτίνων, ο λόγος

\frac{\Pi_\nu}{2\rho}

είναι ο ίδιος για όλους τους κύκλους — άρα και ο λόγος

\frac{L}{2\rho}

του μήκους προς τη διάμετρο είναι σταθερός. Αυτή η σταθερά είναι ο αριθμός

\pi \approx 3{,}14159

Μήκος Κύκλου & Τόξου

Γιατί οι δρομείς των 200200200 m δεν ξεκινούν στην ίδια γραμμή;

Προσέγγιση του μήκους του κύκλου

Μήκος κύκλου, τόξου και το ακτίνιο

Μέθοδος: μήκος κύκλου και τόξου

Μήκος Κύκλου & Τόξου

Γιατί οι δρομείς των 200200200 m δεν ξεκινούν στην ίδια γραμμή;

Προσέγγιση του μήκους του κύκλου

Μήκος κύκλου, τόξου και το ακτίνιο

Μέθοδος: μήκος κύκλου και τόξου

Γιατί οι δρομείς των $200$ m δεν ξεκινούν στην ίδια γραμμή;

Γιατί οι δρομείς των $200$ m δεν ξεκινούν στην ίδια γραμμή;