🔷

Όμοια Ευθύγραμμα Σχήματα

Ορισμός ομοιότητας πολυγώνων, ομόλογα στοιχεία, λόγος ομοιότητας και περιμέτρων

Γιατί η φωτογραφία «παραμορφώνεται» όταν την τεντώνεις;

Όταν μεγεθύνεις μια φωτογραφία με δύο δάχτυλα, όλα φαίνονται φυσικά. Αν όμως την τεντώσεις μόνο οριζόντια, τα πρόσωπα «πλαταίνουν». Η διαφορά είναι γεωμετρική: στη μεγέθυνση όλα τα μήκη πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό $\lambda$ και οι γωνίες μένουν ίδιες. Αυτό ακριβώς σημαίνει ότι δύο σχήματα είναι όμοια — και σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να το ελέγχεις για κάθε πολύγωνο.

Όμοια ευθύγραμμα σχήματα — ο γενικός ορισμός

Δύο ευθύγραμμα σχήματα (πολύγωνα) λέγονται όμοια όταν μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τις κορυφές τους έτσι ώστε:

οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες, και
οι ομόλογες πλευρές (όσες συνδέουν αντίστοιχες κορυφές) να είναι ανάλογες

Οι αντίστοιχες κορυφές λέγονται ομόλογες κορυφές και ο σταθερός λόγος των ομόλογων πλευρών λέγεται λόγος ομοιότητας $\lambda$ . Όμοια σχήματα είναι «το ίδιο σχέδιο σε άλλη κλίμακα»: μια φωτοτυπία με μεγέθυνση $\lambda$ .

Προσοχή — χρειάζονται και οι δύο όροι! Στα τρίγωνα αρκούν δύο ίσες γωνίες για να συμπεράνουμε ομοιότητα, όπως λένε τα κριτήρια ομοιότητας. Στα πολύγωνα με περισσότερες κορυφές όμως κανένας όρος δεν συνεπάγεται τον άλλο:

Τετράγωνο και μη τετράγωνο ορθογώνιο: όλες οι γωνίες ίσες ( $90°$ ), πλευρές όχι ανάλογες → όχι όμοια
Τετράγωνο και μη τετράγωνος ρόμβος: όλες οι πλευρές ανάλογες, γωνίες όχι ίσες → όχι όμοια

Όταν δύο πολύγωνα είναι όμοια με λόγο $\lambda$ , ο λόγος των περιμέτρων τους είναι επίσης $\lambda$ , ενώ ο λόγος των εμβαδών τους είναι $\lambda^2$ .

$AB\Gamma\Delta\ldots \sim A'B'\Gamma'\Delta'\ldots \iff \hat{A} = \hat{A'}, \ \hat{B} = \hat{B'}, \ldots \ \text{και} \ \frac{AB}{A'B'} = \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \ldots = \lambda$ $\frac{\Pi}{\Pi'} = \lambda \qquad \frac{E}{E'} = \lambda^2$

Σύρε τον λόγο $\lambda$ και δες όλα τα ζευγάρια ομόλογων πλευρών να πέφτουν στην ίδια ευθεία αναλογίας — θα ανακαλύψεις ότι η ομοιότητα σημαίνει έναν κοινό «συντελεστή μεγέθυνσης» για κάθε πλευρά ταυτόχρονα.

Ομόλογα στοιχεία και λόγος περιμέτρων

Σε δύο όμοια πολύγωνα με λόγο ομοιότητας $\lambda$ δεν είναι ανάλογες μόνο οι πλευρές: κάθε ζεύγος ομόλογων τμημάτων — διαγώνιοι, ύψη, διάμεσοι — έχει τον ίδιο λόγο $\lambda$ .

Λόγος περιμέτρων: αφού $AB = \lambda A'B'$ , $B\Gamma = \lambda B'\Gamma'$ κ.ο.κ., προσθέτοντας κατά μέλη

$\Pi = AB + B\Gamma + \ldots = \lambda(A'B' + B'\Gamma' + \ldots) = \lambda\Pi'$

Ο λόγος ομοιότητας λέει και το είδος της αλλαγής: $\lambda > 1$ μεγέθυνση, $\lambda < 1$ σμίκρυνση, $\lambda = 1$ ίσα σχήματα. Μερικές οικογένειες σχημάτων είναι πάντα όμοιες μεταξύ τους: όλα τα τετράγωνα, όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα και γενικά όλα τα κανονικά πολύγωνα με το ίδιο πλήθος πλευρών.

Κόλπο μνήμης

μέτρα τις διαστάσεις του μεγέθους. Μήκος, περίμετρος, ύψος, διάμεσος μετριούνται σε $\text{cm}$ → πολλαπλασιάζονται με $\lambda$ . Εμβαδόν μετριέται σε $\text{cm}^2$ → πολλαπλασιάζεται με $\lambda^2$ . Όσα «τετραγωνάκια» έχει η μονάδα, τόσος ο εκθέτης του $\lambda$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο με διαστάσεις $4 \times 6$ έχουν όλες τις γωνίες ίσες με $90°$ . Είναι όμοια;

Μέθοδος: έλεγχος ομοιότητας και υπολογισμοί σε όμοια πολύγωνα

Γράψε την αντιστοίχιση κορυφών (από τη σειρά των γραμμάτων ή από τις ίσες γωνίες).
Έλεγξε ότι όλες οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
Έλεγξε ότι όλοι οι λόγοι ομόλογων πλευρών είναι ίσοι — η κοινή τιμή είναι το $\lambda$ .
Υπολογισμοί: πλευρές και περίμετροι πολλαπλασιάζονται με $\lambda$ , εμβαδά με $\lambda^2$ . Αν δίνεται λόγος εμβαδών, πάρε ρίζα για να βρεις το $\lambda$ .

Άσκηση: (α) Είναι όμοια τα ορθογώνια με διαστάσεις $6 \times 9$ και $8 \times 12$ ; Τα $6 \times 9$ και $8 \times 11$ ; (β) Ένα ορθογώνιο $10 \times 16$ σμικρύνεται σε όμοιο ορθογώνιο με μεγάλη πλευρά $12$ . Να βρεθούν η μικρή πλευρά και ο λόγος των περιμέτρων.

Λύση: (α) Στα ορθογώνια όλες οι γωνίες είναι ορθές, άρα αρκεί να ελέγξουμε τις πλευρές (μικρή με μικρή, μεγάλη με μεγάλη):

$\frac{8}{6} = \frac{4}{3} \qquad \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

ίσοι λόγοι → τα $6 \times 9$ και $8 \times 12$ είναι όμοια με $\lambda = \frac{4}{3}$ . Για το $8 \times 11$ : $\frac{11}{9} \neq \frac{4}{3}$ → όχι όμοια.

(β) Λόγος ομοιότητας (μικρό προς μεγάλο): $\lambda = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ . Μικρή πλευρά: $\frac{3}{4} \cdot 10 = 7{,}5$ . Λόγος περιμέτρων επίσης $\frac{3}{4}$ — έλεγχος: $\frac{2(7{,}5 + 12)}{2(10 + 16)} = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$ ✓

Άσκηση: Τα τετράπλευρα $AB\Gamma\Delta \sim EZH\Theta$ είναι όμοια με ομόλογες πλευρές $AB \leftrightarrow EZ$ , $B\Gamma \leftrightarrow ZH$ . Δίνονται $AB = 6$ , $EZ = 4$ , $ZH = 8$ και περίμετρος του $EZH\Theta$ ίση με $22$ . Να βρεθούν ο λόγος ομοιότητας, η $B\Gamma$ , η περίμετρος του $AB\Gamma\Delta$ και ο λόγος των εμβαδών τους.

Λύση: Λόγος ομοιότητας από το γνωστό ζεύγος ομόλογων πλευρών:

$\lambda = \frac{AB}{EZ} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Κάθε πλευρά του μεγάλου είναι $\lambda$ φορές η ομόλογή της:

$B\Gamma = \lambda \cdot ZH = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$

Ο λόγος των περιμέτρων είναι επίσης $\lambda$ :

$\Pi_{AB\Gamma\Delta} = \frac{3}{2} \cdot 22 = 33$

Και ο λόγος των εμβαδών: $\frac{E_{AB\Gamma\Delta}}{E_{EZH\Theta}} = \lambda^2 = \frac{9}{4}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια πεντάγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\lambda = 3$ . Αν το μικρό έχει περίμετρο $8$ , η περίμετρος του μεγάλου είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma\Delta$ με $AB = \alpha$ και $B\Gamma = \beta$ , όπου $\alpha > \beta$ . Στην $AB$ παίρνουμε σημείο $E$ και στη $\Gamma\Delta$ σημείο $Z$ ώστε $AE = \Delta Z = \beta$ , οπότε το $AEZ\Delta$ είναι τετράγωνο. Να βρεθεί ο λόγος $\frac{\alpha}{\beta}$ ώστε το ορθογώνιο $EB\Gamma Z$ που απομένει να είναι όμοιο με το $AB\Gamma\Delta$ .

Σχήμα: Το ορθογώνιο «ξαπλωμένο» με την $AB$ κάτω (το $A$ αριστερά). Η κατακόρυφη $EZ$ κόβει αριστερά το τετράγωνο $AEZ\Delta$ και αφήνει δεξιά ένα μικρότερο ορθογώνιο $EB\Gamma Z$ με οριζόντια πλευρά $EB = \alpha - \beta$ και κατακόρυφη πλευρά $B\Gamma = \beta$ .

Δεδομένα: ορθογώνιο $\alpha \times \beta$ από το οποίο αποκόπτεται τετράγωνο $\beta \times \beta$ . Ζητούμενο: ο λόγος $x = \frac{\alpha}{\beta}$ για τον οποίο $EB\Gamma Z \sim AB\Gamma\Delta$ .

Λύση: Όλες οι γωνίες και των δύο ορθογωνίων είναι ορθές, άρα η ομοιότητα κρίνεται μόνο από τις πλευρές: ο λόγος μεγάλης προς μικρή πλευρά πρέπει να είναι ίδιος. Στο $EB\Gamma Z$ η μεγάλη πλευρά είναι η $\beta$ (αν ήταν η $\alpha - \beta$ , θα έπρεπε $\frac{\alpha-\beta}{\beta} = \frac{\alpha}{\beta}$ , δηλαδή $\beta = 0$ — αδύνατο). Άρα:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha - \beta} \Rightarrow \alpha^2 - \alpha\beta = \beta^2$

Διαιρώντας με $\beta^2$ και θέτοντας $x = \frac{\alpha}{\beta} > 0$ : $x^2 - x - 1 = 0$ , άρα

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$

δηλαδή ο χρυσός αριθμός $\varphi$ της χρυσής τομής. Για $\beta = 2$ προκύπτει $\alpha = 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24$ , και το μικρό ορθογώνιο έχει διαστάσεις $2 \times (\sqrt{5} - 1)$ με λόγο ομοιότητας $\lambda = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}618$ .

Απάντηση: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — το «χρυσό ορθογώνιο», που όσες φορές κι αν του κόψεις τετράγωνο αφήνει πάντα όμοιο ορθογώνιο.

Ήξερες ότι;

Οι οθόνες $16:9$ είναι όλες όμοια ορθογώνια, γι' αυτό αρκεί ένας αριθμός — η διαγώνιος σε ίντσες — για να τις συγκρίνεις. Και επειδή τα εμβαδά πάνε με το $\lambda^2$ , μια τηλεόραση $55''$ έχει $\left(\frac{55}{40}\right)^2 \approx 1{,}89$ φορές την επιφάνεια μιας $40''$ : σχεδόν διπλάσια εικόνα, ενώ ο αριθμός μεγάλωσε μόνο κατά $37{,}5\%$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη σχημάτων είναι πάντα όμοιο;

Πρόκληση

Τα φύλλα της σειράς A (A0, A1, …, A4, …) έχουν μια «μαγική» ιδιότητα: αν κόψεις ένα φύλλο στη μέση, κάθετα στη μεγάλη του πλευρά, παίρνεις φύλλο όμοιο με το αρχικό.

(α) Ποιος λόγος μεγάλης προς μικρή πλευρά το εξασφαλίζει; Είναι οι πλευρές σύμμετρες;

(β) Το A0 έχει εμβαδόν $1\ \text{m}^2$ και το A4 προκύπτει από το A0 με τέσσερα διαδοχικά κοψίματα στη μέση. Βρες τις διαστάσεις του A4.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Έστω πλευρές $\alpha > \beta$ . Το μισό φύλλο έχει πλευρές $\beta$ και $\frac{\alpha}{2}$ , με μεγάλη την $\beta$ (αφού πρέπει να είναι όμοιο, η μεγάλη πλευρά του αντιστοιχεί στη μεγάλη $\alpha$ ). Όλες οι γωνίες είναι ορθές, άρα αρκεί ίσος λόγος πλευρών:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha/2} \Rightarrow \frac{\alpha^2}{2} = \beta^2 \Rightarrow \frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{2}$

Ο λόγος είναι άρρητος, άρα οι πλευρές κάθε φύλλου A είναι ασύμμετρες! Κάθε κόψιμο έχει λόγο ομοιότητας $\lambda = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ και το εμβαδόν πολλαπλασιάζεται με $\lambda^2 = \frac{1}{2}$ — σωστά, είναι το μισό φύλλο.

(β) Για το A0: $\alpha\beta = 1$ και $\alpha = \sqrt{2}\,\beta$ , άρα $\sqrt{2}\,\beta^2 = 1$ , οπότε $\beta \approx 0{,}8409\ \text{m}$ και $\alpha = \sqrt{2}\,\beta \approx 1{,}1892\ \text{m}$ . Μετά από τέσσερα κοψίματα ο λόγος ομοιότητας είναι $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{1}{4}$ , άρα το A4 έχει πλευρές

$\frac{0{,}8409}{4} \approx 0{,}210\ \text{m} \qquad \frac{1{,}1892}{4} \approx 0{,}297\ \text{m}$

δηλαδή ακριβώς τα $210 \times 297$ mm του χαρτιού σου, με εμβαδόν $\frac{1}{16}\ \text{m}^2$ .

Όταν δουλεύεις με όμοια πολύγωνα, γράψε πρώτα την αντιστοίχιση κορυφών από τη σειρά των γραμμάτων ( $AB\Gamma\Delta \sim EZH\Theta$ σημαίνει $A \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow Z$ κ.ο.κ.) — έτσι δεν μπερδεύεις ποια πλευρά είναι ομόλογη με ποια. Και θυμήσου τη σκάλα των λόγων: μήκη και περίμετροι → $\lambda$ , εμβαδά → $\lambda^2$ . Σε σχήματα που δεν είναι τρίγωνα, έλεγξε και τις γωνίες και τις πλευρές πριν δηλώσεις ομοιότητα.

Συνηθισμένα λάθη

Δηλώνουν ομοιότητα πολυγώνων μόνο από ίσες γωνίες ή μόνο από ανάλογες πλευρές. Διόρθωση: εκτός από τα τρίγωνα χρειάζονται και οι δύο όροι.
Από λόγο εμβαδών περνούν στον λόγο πλευρών χωρίς ρίζα. Διόρθωση: $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Αντιστοιχίζουν πλευρές «με το μάτι». Διόρθωση: ομόλογες είναι οι πλευρές που ενώνουν ομόλογες κορυφές — γράψε πρώτα την αντιστοίχιση.
Συγκρίνουν μικρή πλευρά του ενός με μεγάλη του άλλου. Διόρθωση: στα ορθογώνια σύγκρινε μικρή με μικρή και μεγάλη με μεγάλη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Όμοια πολύγωνα: ίσες αντίστοιχες γωνίες και ανάλογες ομόλογες πλευρές (στα τρίγωνα αρκούν οι γωνίες).
Ο λόγος ομοιότητας $\lambda$ ισχύει για κάθε ζεύγος ομόλογων τμημάτων: πλευρές, διαγώνιους, ύψη.
$\frac{\Pi}{\Pi'} = \lambda$ και $\frac{E}{E'} = \lambda^2$ , άρα $\lambda = \sqrt{\frac{E}{E'}}$ .
Πάντα όμοια: τετράγωνα, ισόπλευρα τρίγωνα, κανονικά πολύγωνα με ίδιο πλήθος πλευρών.

Όμοια ευθύγραμμα σχήματα — ο γενικός ορισμός

οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες, και

οι ομόλογες πλευρές (όσες συνδέουν αντίστοιχες κορυφές) να είναι ανάλογες

Οι αντίστοιχες κορυφές λέγονται ομόλογες κορυφές και ο σταθερός λόγος των ομόλογων πλευρών λέγεται λόγος ομοιότητας

\lambda

. Όμοια σχήματα είναι «το ίδιο σχέδιο σε άλλη κλίμακα»: μια φωτοτυπία με μεγέθυνση

\lambda

Τετράγωνο και μη τετράγωνο ορθογώνιο: όλες οι γωνίες ίσες (

90°

), πλευρές όχι ανάλογες → όχι όμοια

Τετράγωνο και μη τετράγωνος ρόμβος: όλες οι πλευρές ανάλογες, γωνίες όχι ίσες → όχι όμοια

Όταν δύο πολύγωνα είναι όμοια με λόγο

\lambda

, ο λόγος των περιμέτρων τους είναι επίσης

\lambda

, ενώ ο λόγος των εμβαδών τους είναι

\lambda^2