📏

Εμβαδά Βασικών Σχημάτων

Τετράγωνο, ορθογώνιο, παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο, ρόμβος, τρίγωνα με κοινό ύψος

Πόσα πλακάκια θέλει ένα μπαλκόνι σε σχήμα τραπεζίου;

Ο μάστορας σού λέει: «το μπαλκόνι είναι $6$ μέτρα στο πλάι του σπιτιού, $4$ μπροστά και έχει $2$ μέτρα βάθος». Πόσα τετραγωνικά πλακάκια να παραγγείλεις; Για να απαντήσεις χρειάζεσαι τον τύπο του τραπεζίου — και για να μην τον θυμάσαι «απ' έξω», θα δεις ότι όλοι οι βασικοί τύποι εμβαδού γεννιούνται από ένα μόνο: το ορθογώνιο.

Οι βασικοί τύποι — όλα ξεκινούν από το ορθογώνιο

Το τετράγωνο πλευράς $\alpha$ στρώνεται με $\alpha \cdot \alpha$ πλακάκια: $E = \alpha^2$ . Το ορθογώνιο με διαστάσεις $\alpha, \beta$ ομοίως: $E = \alpha\beta$ .

Παραλληλόγραμμο: κόψε το ορθογώνιο τρίγωνο που «εξέχει» από τη μία πλευρά και κόλλησέ το στην απέναντι — προκύπτει ορθογώνιο με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Άρα $E = \beta\upsilon$ : βάση επί το αντίστοιχο ύψος, όχι επί την πλάγια πλευρά!

Τρίγωνο: δύο ίσα αντίγραφά του, κολλημένα κατά μήκος μιας πλευράς, φτιάχνουν παραλληλόγραμμο — άρα το τρίγωνο είναι το μισό του: $E = \frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές παίζουν ρόλο βάσης και ύψους ταυτόχρονα, οπότε $E = \frac{1}{2}\beta\gamma$ .

Τραπέζιο: δύο αντίγραφα κολλημένα ανάποδα δίνουν παραλληλόγραμμο με βάση $B + \beta$ , άρα $E = \frac{(B+\beta)\upsilon}{2}$ — δηλαδή διάμεσος επί ύψος.

$E_{\text{τετρ}} = \alpha^2 \qquad E_{\text{ορθογ}} = \alpha\beta \qquad E_{\text{παραλλ}} = \beta\upsilon$ $E_{\text{τριγ}} = \frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha \qquad E_{\text{ορθ. τριγ}} = \frac{1}{2}\beta\gamma \qquad E_{\text{τραπ}} = \frac{(B+\beta)\upsilon}{2}$

Κόλπο μνήμης

σχεδόν κάθε τύπος εμβαδού είναι το «βάση × ύψος» μεταμφιεσμένο. Το τρίγωνο είναι μισό παραλληλόγραμμο: $\frac{1}{2}\beta\upsilon$ . Το τραπέζιο είναι «μέση βάση × ύψος»: $\frac{B + \beta}{2}\upsilon$ . Και στο $\frac{1}{2}\beta\gamma\,\eta\mu A$ το $\gamma\,\eta\mu A$ δεν είναι άλλο από το ύψος προς τη $\beta$ .

Ρόμβος και τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες

Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται. Η διαγώνιος $\delta_1$ χωρίζει τον ρόμβο σε δύο ίσα τρίγωνα με βάση $\delta_1$ και ύψος $\frac{\delta_2}{2}$ το καθένα, άρα

$E_{\rho\acute{o}\mu\beta\text{ου}} = 2 \cdot \frac{1}{2}\delta_1 \cdot \frac{\delta_2}{2} = \frac{\delta_1\delta_2}{2}$

Η ίδια ιδέα δουλεύει σε κάθε κυρτό τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιους: η μία διαγώνιος είναι κοινή βάση δύο τριγώνων, των οποίων τα ύψη έχουν άθροισμα την άλλη διαγώνιο. Και στο ορθογώνιο τρίγωνο, γράφοντας το εμβαδόν με δύο τρόπους, $\frac{1}{2}\beta\gamma = \frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ , παίρνεις τη μετρική σχέση $\beta\gamma = \alpha\upsilon_\alpha$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παραλληλόγραμμο και ένα ορθογώνιο έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Τι ισχύει για τα εμβαδά τους;

Μέθοδος: υπολογισμός εμβαδού

Αναγνώρισε το σχήμα και γράψε τον τύπο του.
Βρες το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση που χρησιμοποιείς — συχνά με Πυθαγόρειο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει το ύψος.
Σύνθετο σχήμα: κόψε το σε βασικά σχήματα ή γράψε το ως διαφορά (μεγάλο σχήμα μείον τα κομμάτια που περισσεύουν).
Έλεγχος: υπολόγισε το ίδιο εμβαδόν με δεύτερο ζεύγος βάσης–ύψους, αν γίνεται.

Άσκηση: Ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις $B = 14$ και $\beta = 6$ και μη παράλληλες πλευρές $5$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του.

Λύση: Φέρνουμε τα ύψη από τα άκρα της μικρής βάσης. Χωρίζουν τη μεγάλη βάση σε ένα κομμάτι $6$ στη μέση και δύο ίσα κομμάτια στα άκρα, το καθένα

$\frac{14 - 6}{2} = 4$

Σε καθένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται (υποτείνουσα $5$ , κάθετη $4$ ), το ύψος είναι

$\upsilon = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$

$E = \frac{(B + \beta)\upsilon}{2} = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30$

Γρήγορος έλεγχος

Ρόμβος έχει διαγώνιους $6$ και $8$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Τρίγωνα με κοινό ύψος — το πιο γρήγορο εργαλείο

Συμβολισμός: $(AB\Gamma)$ σημαίνει «εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ ». Από τον τύπο $E = \frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ βγαίνουν πορίσματα που λύνουν πλήθος ασκήσεων χωρίς αριθμούς:

Τρίγωνα με κοινή κορυφή και βάσεις πάνω στην ίδια ευθεία έχουν το ίδιο ύψος, άρα ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με τον λόγο των βάσεών τους.
Ειδικά, η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα: αν $M$ είναι το μέσο της $B\Gamma$ , τότε $(ABM) = (AM\Gamma) = \frac{1}{2}(AB\Gamma)$ .
Τρίγωνα με την ίδια βάση και κορυφές πάνω σε ευθεία παράλληλη στη βάση έχουν ίσα ύψη, άρα είναι ισοδύναμα — όσο κι αν «γέρνουν».

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει εμβαδόν $30$ . Το $M$ είναι μέσο της $B\Gamma$ και το $K$ μέσο της διαμέσου $AM$ . Πόσο είναι το $(KB\Gamma)$ ;

Άσκηση: Παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ έχει $AB = 10$ , $A\Delta = 6$ και το ύψος του προς την $AB$ είναι $4{,}8$ . Να βρεθούν το εμβαδόν του και το ύψος του προς την $A\Delta$ .

Λύση: Με βάση την $AB$ : $E = AB \cdot \upsilon_{AB} = 10 \cdot 4{,}8 = 48$ .

Το ίδιο εμβαδόν με βάση την $A\Delta$ : $48 = A\Delta \cdot \upsilon_{A\Delta} = 6 \cdot \upsilon_{A\Delta}$ , άρα $\upsilon_{A\Delta} = 8$ .

Έλεγχος λογικής: κάθε ύψος είναι μικρότερο από την πλάγια πλευρά που «γέρνει» προς αυτό: $4{,}8 < 6$ και $8 < 10$ ✓. Στη μικρότερη βάση αντιστοιχεί το μεγαλύτερο ύψος.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και τυχαίο σημείο $M$ της πλευράς $\Gamma\Delta$ .

Σχήμα: Η βάση $AB$ κάτω (το $A$ αριστερά), η απέναντι πλευρά $\Delta\Gamma$ πάνω και λίγο μετατοπισμένη δεξιά (το $\Delta$ πάνω αριστερά, το $\Gamma$ πάνω δεξιά). Το $M$ «γλιστράει» πάνω στην $\Delta\Gamma$ και ενώνεται με τα $A$ και $B$ : σχηματίζεται στη μέση το τρίγωνο $MAB$ και δύο πλαϊνά τρίγωνα, $MA\Delta$ αριστερά και $MB\Gamma$ δεξιά.

(α) Να αποδείξετε ότι $(MAB) = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta)$ , για κάθε θέση του $M$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $(MA\Delta) + (MB\Gamma) = (MAB)$ .

(γ) Αν $AB = 10$ και η απόσταση των ευθειών $AB$ , $\Gamma\Delta$ είναι $6$ , να βρεθεί το $(MAB)$ .

Δεδομένα: $AB\Gamma\Delta$ παραλληλόγραμμο, $M$ σημείο της $\Gamma\Delta$ . Ζητούμενο: οι δύο ισότητες εμβαδών και η τιμή του $(MAB)$ .

Απόδειξη (α): Έστω $\upsilon$ η απόσταση των παράλληλων ευθειών $AB$ και $\Gamma\Delta$ . Αφού το $M$ ανήκει στη $\Gamma\Delta$ , το ύψος του τριγώνου $MAB$ από το $M$ είναι ακριβώς $\upsilon$ — όπου κι αν βρίσκεται το $M$ . Επομένως, αφού $(AB\Gamma\Delta) = AB \cdot \upsilon$ :

$(MAB) = \frac{1}{2} AB \cdot \upsilon = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta)$

(β) Τα τρία τρίγωνα $MA\Delta$ , $MAB$ , $MB\Gamma$ δεν επικαλύπτονται και καλύπτουν όλο το παραλληλόγραμμο, άρα:

$(MA\Delta) + (MB\Gamma) = (AB\Gamma\Delta) - (MAB) = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta) = (MAB)$

Λύση (γ): $(MAB) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ .

Ήξερες ότι;

Ο Ηρόδοτος (Ιστορίες, Βιβλίο II) γράφει ότι η γεωμετρία γεννήθηκε στην Αίγυπτο: όταν ο Νείλος πλημμύριζε και «έτρωγε» μέρος ενός χωραφιού, οι επιθεωρητές ξαναμετρούσαν την έκτασή του για να μειωθεί αναλόγως ο φόρος. Η λέξη «γεωμετρία» σημαίνει ακριβώς αυτό: μέτρηση της γης.

Πρόκληση

Τα τέσσερα τρίγωνα του τραπεζίου. Οι διαγώνιοι του τραπεζίου $AB\Gamma\Delta$ ( $AB \parallel \Gamma\Delta$ ) τέμνονται στο $O$ . (α) Δείξε ότι $(OA\Delta) = (OB\Gamma)$ . (β) Αν $(OAB) = 4$ και $(O\Gamma\Delta) = 9$ , βρες το εμβαδόν του τραπεζίου.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $AB\Gamma$ έχουν κοινή βάση $AB$ και κορυφές $\Delta$ , $\Gamma$ πάνω στην παράλληλη $\Gamma\Delta$ , άρα ίσα ύψη: $(AB\Delta) = (AB\Gamma)$ . Αφαιρώντας το κοινό τους κομμάτι $(OAB)$ παίρνουμε $(OA\Delta) = (OB\Gamma)$ .

(β) Τα τρίγωνα $OAB$ και $OA\Delta$ έχουν κοινή κορυφή $A$ και βάσεις $OB$ , $O\Delta$ στην ίδια ευθεία, άρα $\frac{(OAB)}{(OA\Delta)} = \frac{OB}{O\Delta}$ . Ομοίως, με κοινή κορυφή $\Gamma$ : $\frac{(OB\Gamma)}{(O\Gamma\Delta)} = \frac{OB}{O\Delta}$ . Άρα

$(OAB) \cdot (O\Gamma\Delta) = (OA\Delta) \cdot (OB\Gamma) = (OA\Delta)^2 \Rightarrow (OA\Delta)^2 = 36 \Rightarrow (OA\Delta) = 6$

Εμβαδόν τραπεζίου: $4 + 9 + 6 + 6 = 25$ . (Παρατήρησε ότι $25 = (\sqrt{4} + \sqrt{9})^2$ .)

Συνηθισμένα λάθη

Στο παραλληλόγραμμο πολλαπλασιάζουν τη βάση με την πλάγια πλευρά. Διόρθωση: $E = \beta\upsilon$ , με το ύψος που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη βάση.
Ξεχνούν το $\frac{1}{2}$ στο τρίγωνο ή στον ρόμβο. Διόρθωση: το τρίγωνο είναι «μισό παραλληλόγραμμο» και ο ρόμβος «μισό ορθογώνιο των διαγωνίων».
Στο τραπέζιο βάζουν ως ύψος τη μη παράλληλη πλευρά. Διόρθωση: το ύψος είναι η απόσταση των βάσεων· βρίσκεται συνήθως με Πυθαγόρειο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Βασικοί τύποι: τετράγωνο $\alpha^2$ , ορθογώνιο $\alpha\beta$ , παραλληλόγραμμο $\beta\upsilon$ , τρίγωνο $\frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ , τραπέζιο $\frac{(B+\beta)\upsilon}{2}$ , ρόμβος $\frac{\delta_1\delta_2}{2}$ .
Όλοι προκύπτουν από το ορθογώνιο κόβοντας και κολλώντας.
Κοινό ύψος → λόγος εμβαδών = λόγος βάσεων· η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα.
Ίδια βάση και κορυφές σε παράλληλη προς τη βάση → ισοδύναμα τρίγωνα.

📏

Εμβαδά Βασικών Σχημάτων

Τετράγωνο, ορθογώνιο, παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο, ρόμβος, τρίγωνα με κοινό ύψος

Πόσα πλακάκια θέλει ένα μπαλκόνι σε σχήμα τραπεζίου;

Οι βασικοί τύποι — όλα ξεκινούν από το ορθογώνιο

Κόλπο μνήμης

Ρόμβος και τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιες

$E_{\rho\acute{o}\mu\beta\text{ου}} = 2 \cdot \frac{1}{2}\delta_1 \cdot \frac{\delta_2}{2} = \frac{\delta_1\delta_2}{2}$

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παραλληλόγραμμο και ένα ορθογώνιο έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Τι ισχύει για τα εμβαδά τους;

Μέθοδος: υπολογισμός εμβαδού

Αναγνώρισε το σχήμα και γράψε τον τύπο του.
Βρες το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση που χρησιμοποιείς — συχνά με Πυθαγόρειο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει το ύψος.
Σύνθετο σχήμα: κόψε το σε βασικά σχήματα ή γράψε το ως διαφορά (μεγάλο σχήμα μείον τα κομμάτια που περισσεύουν).
Έλεγχος: υπολόγισε το ίδιο εμβαδόν με δεύτερο ζεύγος βάσης–ύψους, αν γίνεται.

$\frac{14 - 6}{2} = 4$

Σε καθένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται (υποτείνουσα $5$ , κάθετη $4$ ), το ύψος είναι

$\upsilon = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$

$E = \frac{(B + \beta)\upsilon}{2} = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30$

Γρήγορος έλεγχος

Ρόμβος έχει διαγώνιους $6$ και $8$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Τρίγωνα με κοινό ύψος — το πιο γρήγορο εργαλείο

Τρίγωνα με κοινή κορυφή και βάσεις πάνω στην ίδια ευθεία έχουν το ίδιο ύψος, άρα ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με τον λόγο των βάσεών τους.
Ειδικά, η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα: αν $M$ είναι το μέσο της $B\Gamma$ , τότε $(ABM) = (AM\Gamma) = \frac{1}{2}(AB\Gamma)$ .
Τρίγωνα με την ίδια βάση και κορυφές πάνω σε ευθεία παράλληλη στη βάση έχουν ίσα ύψη, άρα είναι ισοδύναμα — όσο κι αν «γέρνουν».

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει εμβαδόν $30$ . Το $M$ είναι μέσο της $B\Gamma$ και το $K$ μέσο της διαμέσου $AM$ . Πόσο είναι το $(KB\Gamma)$ ;

Λύση: Με βάση την $AB$ : $E = AB \cdot \upsilon_{AB} = 10 \cdot 4{,}8 = 48$ .

Το ίδιο εμβαδόν με βάση την $A\Delta$ : $48 = A\Delta \cdot \upsilon_{A\Delta} = 6 \cdot \upsilon_{A\Delta}$ , άρα $\upsilon_{A\Delta} = 8$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και τυχαίο σημείο $M$ της πλευράς $\Gamma\Delta$ .

(α) Να αποδείξετε ότι $(MAB) = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta)$ , για κάθε θέση του $M$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $(MA\Delta) + (MB\Gamma) = (MAB)$ .

(γ) Αν $AB = 10$ και η απόσταση των ευθειών $AB$ , $\Gamma\Delta$ είναι $6$ , να βρεθεί το $(MAB)$ .

$(MAB) = \frac{1}{2} AB \cdot \upsilon = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta)$

(β) Τα τρία τρίγωνα $MA\Delta$ , $MAB$ , $MB\Gamma$ δεν επικαλύπτονται και καλύπτουν όλο το παραλληλόγραμμο, άρα:

$(MA\Delta) + (MB\Gamma) = (AB\Gamma\Delta) - (MAB) = \frac{1}{2}(AB\Gamma\Delta) = (MAB)$

Λύση (γ): $(MAB) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ .

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$(OAB) \cdot (O\Gamma\Delta) = (OA\Delta) \cdot (OB\Gamma) = (OA\Delta)^2 \Rightarrow (OA\Delta)^2 = 36 \Rightarrow (OA\Delta) = 6$

Εμβαδόν τραπεζίου: $4 + 9 + 6 + 6 = 25$ . (Παρατήρησε ότι $25 = (\sqrt{4} + \sqrt{9})^2$ .)

Συνηθισμένα λάθη

Στο παραλληλόγραμμο πολλαπλασιάζουν τη βάση με την πλάγια πλευρά. Διόρθωση: $E = \beta\upsilon$ , με το ύψος που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη βάση.
Ξεχνούν το $\frac{1}{2}$ στο τρίγωνο ή στον ρόμβο. Διόρθωση: το τρίγωνο είναι «μισό παραλληλόγραμμο» και ο ρόμβος «μισό ορθογώνιο των διαγωνίων».
Στο τραπέζιο βάζουν ως ύψος τη μη παράλληλη πλευρά. Διόρθωση: το ύψος είναι η απόσταση των βάσεων· βρίσκεται συνήθως με Πυθαγόρειο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Βασικοί τύποι: τετράγωνο $\alpha^2$ , ορθογώνιο $\alpha\beta$ , παραλληλόγραμμο $\beta\upsilon$ , τρίγωνο $\frac{1}{2}\alpha\upsilon_\alpha$ , τραπέζιο $\frac{(B+\beta)\upsilon}{2}$ , ρόμβος $\frac{\delta_1\delta_2}{2}$ .
Όλοι προκύπτουν από το ορθογώνιο κόβοντας και κολλώντας.
Κοινό ύψος → λόγος εμβαδών = λόγος βάσεων· η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα.
Ίδια βάση και κορυφές σε παράλληλη προς τη βάση → ισοδύναμα τρίγωνα.