🪜

Λόγος Τμημάτων & Θεώρημα Θαλή

Λόγος και ανάλογα τμήματα, παράλληλες τέμνουσες, εφαρμογές σε τρίγωνο

Πώς μετράς μια πυραμίδα χωρίς να την ανέβεις;

Σύμφωνα με αρχαίους συγγραφείς (τον Διογένη Λαέρτιο και τον Πλούταρχο), ο Θαλής ο Μιλήσιος βρήκε το ύψος μιας πυραμίδας της Αιγύπτου μετρώντας σκιές. Περίμενε τη στιγμή που η σκιά ενός ραβδιού γινόταν ίση με το ύψος του — τότε και η πυραμίδα είχε ύψος ίσο με τη σκιά της! Η ιδέα πίσω από το κόλπο είναι οι ανάλογοι λόγοι, το θέμα αυτού του κεφαλαίου.

Λόγος δύο τμημάτων

Λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων λέγεται ο λόγος των μηκών τους, μετρημένων με την ίδια μονάδα. Είναι καθαρός αριθμός — χωρίς μονάδες!

Αν $AB = 6$ cm και $\Gamma\Delta = 4$ cm, τότε $\frac{AB}{\Gamma\Delta} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ : το $AB$ είναι μιάμιση φορά το $\Gamma\Delta$ .

Τα τμήματα $AB$ , $\Gamma\Delta$ λέγονται ανάλογα προς τα τμήματα $A'B'$ , $\Gamma'\Delta'$ όταν οι λόγοι των αντίστοιχων τμημάτων είναι ίσοι. Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία — και ισχύουν όλες οι ιδιότητες των αναλογιών που ξέρεις: «χιαστί» γινόμενα ίσα, εναλλαγή μέσων όρων κ.λπ.

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{\Gamma\Delta}{\Gamma'\Delta'} \quad \Leftrightarrow \quad AB \cdot \Gamma'\Delta' = A'B' \cdot \Gamma\Delta$

Γρήγορος έλεγχος

Αν $AB = 12$ cm και $\Gamma\Delta = 3$ dm, ποιος είναι ο λόγος $\frac{AB}{\Gamma\Delta}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ο λόγος δύο τμημάτων είναι $\frac{3}{4}$ και το μικρότερο έχει μήκος $9$ cm. Πόσο είναι το μεγαλύτερο;

Το Θεώρημα του Θαλή

Θεώρημα Θαλή: Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν πάνω τους ανάλογα τμήματα.

Αν οι παράλληλες $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3$ τέμνουν τη μία ευθεία στα $A$ , $B$ , $\Gamma$ και την άλλη στα $A'$ , $B'$ , $\Gamma'$ , τότε:

$\frac{AB}{B\Gamma} = \frac{A'B'}{B'\Gamma'}$

Η πιο χρήσιμη μορφή του ζει μέσα στο τρίγωνο: αν μια ευθεία είναι παράλληλη σε μία πλευρά τριγώνου και τέμνει τις άλλες δύο, τις χωρίζει σε ανάλογα τμήματα. Ο Θαλής, σύμφωνα με την παράδοση, με αυτή την ιδέα μέτρησε το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα — συγκρίνοντας σκιές!

Σύρε την παράλληλη ευθεία πάνω-κάτω και δες τι θα ανακαλύψεις: τα τμήματα μεγαλώνουν και μικραίνουν, αλλά οι λόγοι τους μένουν πεισματικά ίσοι — αυτή είναι όλη η μαγεία του Θαλή.

$\Delta E \parallel B\Gamma \;\Rightarrow\; \frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma} \qquad \text{και} \qquad \frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$

Ήξερες ότι;

Αν ψάξεις «Thales's theorem» σε αγγλικό βιβλίο, θα βρεις κάτι άλλο: ότι η γωνία που «βλέπει» μια διάμετρο κύκλου είναι ορθή. Το δικό μας θεώρημα του Θαλή λέγεται στα αγγλικά intercept theorem και στα γερμανικά Strahlensatz («θεώρημα των ακτίνων»), ενώ οι Γάλλοι, όπως κι εμείς, το λένε θεώρημα του Θαλή. Το όνομα αλλάζει από χώρα σε χώρα — τα μαθηματικά όχι.

Μέθοδος: ασκήσεις με το θεώρημα του Θαλή

Εντόπισε τις παράλληλες — χωρίς παραλληλία δεν υπάρχει Θαλής.
Σημείωσε τα αντίστοιχα τμήματα στις δύο τέμνουσες (ίδια σειρά σημείων).
Γράψε την αναλογία: τμήματα της μίας τέμνουσας πάνω, αντίστοιχα της άλλης κάτω.
Λύσε με «χιαστί».
Έλεγχος: ίδιος λόγος και στις δύο τέμνουσες;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τις δύο τεμνόμενες ευθείες σαν δύο σκάλες που τις κόβουν τα ίδια οριζόντια σκαλοπάτια (οι παράλληλες). Σε κάθε σκάλα, το «πάνω κομμάτι προς το κάτω κομμάτι» δίνει τον ίδιο λόγο: $\frac{\text{πάνω}}{\text{κάτω}} = \frac{\text{πάνω}}{\text{κάτω}}$ .

Παράδειγμα: Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ , τα σημεία $\Delta$ και $E$ βρίσκονται στις πλευρές $AB$ και $A\Gamma$ αντίστοιχα, με $\Delta E \parallel B\Gamma$ . Αν $A\Delta = 4$ , $\Delta B = 6$ και $AE = 6$ , να βρεθεί το $E\Gamma$ .

Από το θεώρημα του Θαλή (η $\Delta E$ είναι παράλληλη στην $B\Gamma$ ):

$\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{6}{E\Gamma}$

«Χιαστί»: $4 \cdot E\Gamma = 36$ , άρα $E\Gamma = 9$ .

Έλεγχος λογικής: το $\Delta$ χωρίζει την $AB$ σε λόγο $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ · το ίδιο και το $E$ : $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . ✓ Επιπλέον, $A\Gamma = AE + E\Gamma = 15$ .

Παράδειγμα 2 (ολόκληρη πλευρά): Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\Delta E \parallel B\Gamma$ , με $\Delta$ στην $AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ . Αν $AB = 12$ , $AE = 3$ και $E\Gamma = 6$ , να βρεθούν τα $A\Delta$ και $\Delta B$ .

Από τον Θαλή:

$\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Δηλαδή το $\Delta B$ είναι διπλάσιο του $A\Delta$ . Αν $A\Delta = x$ , τότε $\Delta B = 2x$ και

$x + 2x = 12 \Rightarrow x = 4$

Άρα $A\Delta = 4$ και $\Delta B = 8$ . Έλεγχος: $\frac{4}{8} = \frac{3}{6}$ ✓

Παράδειγμα 3 (οικοδομικά τετράγωνα): Τρεις παράλληλοι δρόμοι τέμνουν δύο λεωφόρους. Πάνω στη μία λεωφόρο, τα δύο διαδοχικά τετράγωνα έχουν μήκος $120$ m και $180$ m. Πάνω στην άλλη, το πρώτο τετράγωνο έχει μήκος $150$ m. Πόσο είναι το δεύτερο;

Οι παράλληλοι δρόμοι ορίζουν ανάλογα τμήματα:

$\frac{120}{180} = \frac{150}{x} \Rightarrow 120x = 180 \cdot 150 = 27000 \Rightarrow x = 225 \text{ m}$

Έλεγχος: $\frac{120}{180} = \frac{2}{3}$ και $\frac{150}{225} = \frac{2}{3}$ ✓

Εφαρμογή: διαίρεση τμήματος σε ίσα μέρη

Πώς χωρίζεις ένα τμήμα $AB$ σε $5$ ίσα μέρη χωρίς να ξέρεις καν το μήκος του; Με τον Θαλή!

Από το $A$ φέρνεις μια βοηθητική ημιευθεία $Ax$ .
Με τον διαβήτη σημειώνεις πάνω της $5$ διαδοχικά ίσα τμήματα, με τελευταίο άκρο το σημείο $K$ .
Ενώνεις το $K$ με το $B$ και φέρνεις από τα ενδιάμεσα σημεία παράλληλες προς την $KB$ .

Οι παράλληλες αυτές, κατά το θεώρημα του Θαλή, ορίζουν στο $AB$ ανάλογα — άρα εδώ ίσα — τμήματα. Το ίδιο κόλπο διαιρεί τμήμα σε οποιονδήποτε λόγο, π.χ. $2:3$ .

Γρήγορος έλεγχος

Οι παράλληλες $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3$ ορίζουν στη μία τέμνουσα τμήματα $AB = 2$ και $B\Gamma = 5$ , και στην άλλη $A'B' = 3$ . Πόσο είναι το $B'\Gamma'$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\Delta E \parallel B\Gamma$ ( $\Delta$ στην $AB$ , $E$ στην $A\Gamma$ ), με $A\Delta = 3$ , $AB = 9$ και $AE = 4$ . Πόση είναι η $A\Gamma$ ;

Στήσε τους λόγους με σταθερή σειρά: πάνω-πάνω τα τμήματα της μιας ευθείας, κάτω-κάτω τα αντίστοιχα της άλλης, με την ίδια φορά διαδρομής ( $A \to B \to \Gamma$ και $A' \to B' \to \Gamma'$ ). Πριν από κάθε λόγο, φέρε όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα. Και στο σχήμα, χρωμάτισε με ίδιο χρώμα τα αντίστοιχα τμήματα — τα λάθη αντιστοίχισης είναι ο νούμερο ένα λόγος χαμένων μονάδων στον Θαλή.

Πρόκληση

Επανάλαβε το πείραμα του Θαλή με άλλη ώρα της ημέρας. Ένα κατακόρυφο ραβδί ύψους $2$ m ρίχνει σκιά $3$ m. Την ίδια στιγμή, η σκιά μιας πυραμίδας (μετρημένη από το κέντρο της βάσης της) είναι $219$ m. (α) Πόσο είναι το ύψος της πυραμίδας; (β) Αργότερα ο ήλιος ανεβαίνει και η σκιά του ραβδιού γίνεται $1{,}6$ m. Πόση είναι τότε η σκιά της πυραμίδας;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες. Γι' αυτό, την ίδια στιγμή, ο λόγος ύψος : σκιά είναι ο ίδιος για το ραβδί και για την πυραμίδα.

(α) Αν $h$ το ύψος της πυραμίδας:

$\frac{h}{219} = \frac{2}{3} \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 219}{3} = \frac{438}{3} = 146 \text{ m}$

Περίπου όσο ήταν το αρχικό ύψος της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας!

(β) Τώρα ο λόγος είναι $\frac{2}{1{,}6}$ . Αν $s$ η νέα σκιά της πυραμίδας:

$\frac{146}{s} = \frac{2}{1{,}6} \Rightarrow s = \frac{146 \cdot 1{,}6}{2} = 116{,}8 \text{ m}$

Όσο ψηλότερα ο ήλιος, τόσο κοντύτερες οι σκιές — αλλά ο λόγος ύψος : σκιά μένει ίδιος για όλα τα αντικείμενα.

Συνηθισμένα λάθη

Η παράλληλη στον λόγο: $\frac{A\Delta}{\Delta B} \neq \frac{\Delta E}{B\Gamma}$ . Το τμήμα $\Delta E$ συγκρίνεται με τη $B\Gamma$ μόνο μέσω ολόκληρης πλευράς: $\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{A\Delta}{AB}$ (ομοιότητα).
Θαλής χωρίς παράλληλες: αν η εκφώνηση δεν δίνει (ή δεν αποδεικνύεις) παραλληλία, τα τμήματα δεν είναι απαραίτητα ανάλογα.
Ανάποδος λόγος σε ένα μέλος: αν αριστερά γράψεις «πάνω προς κάτω» τμήμα, το ίδιο κάνεις και δεξιά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Λόγος τμημάτων: πηλίκο μηκών στην ίδια μονάδα — καθαρός αριθμός.
Αναλογία $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \iff \alpha\delta = \beta\gamma$ .
Θαλής: παράλληλες ευθείες ορίζουν σε δύο τέμνουσες ανάλογα τμήματα.
Στο τρίγωνο: $\Delta E \parallel B\Gamma \Rightarrow \frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$ και $\frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}$ .
Εφαρμογή: διαίρεση τμήματος σε $\nu$ ίσα μέρη ή σε δοσμένο λόγο.

Λόγος δύο τμημάτων

Αν

AB = 6

cm και

\Gamma\Delta = 4

cm, τότε

\frac{AB}{\Gamma\Delta} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

: το

AB

είναι μιάμιση φορά το

\Gamma\Delta

Τα τμήματα

AB

\Gamma\Delta

λέγονται ανάλογα προς τα τμήματα

A'B'

\Gamma'\Delta'

όταν οι λόγοι των αντίστοιχων τμημάτων είναι ίσοι. Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία — και ισχύουν όλες οι ιδιότητες των αναλογιών που ξέρεις: «χιαστί» γινόμενα ίσα, εναλλαγή μέσων όρων κ.λπ.

Το Θεώρημα του Θαλή

Θεώρημα Θαλή: Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν πάνω τους ανάλογα τμήματα.

Αν οι παράλληλες

\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3

τέμνουν τη μία ευθεία στα

A

B

\Gamma

και την άλλη στα

A'

B'

\Gamma'

, τότε:

\frac{AB}{B\Gamma} = \frac{A'B'}{B'\Gamma'}

Εφαρμογή: διαίρεση τμήματος σε ίσα μέρη

Πώς χωρίζεις ένα τμήμα

AB

σε

5

ίσα μέρη χωρίς να ξέρεις καν το μήκος του; Με τον Θαλή!

Από το

A

φέρνεις μια βοηθητική ημιευθεία

Ax

Με τον διαβήτη σημειώνεις πάνω της

5

διαδοχικά ίσα τμήματα, με τελευταίο άκρο το σημείο

K

Ενώνεις το

K

με το

B

και φέρνεις από τα ενδιάμεσα σημεία παράλληλες προς την

KB

Οι παράλληλες αυτές, κατά το θεώρημα του Θαλή, ορίζουν στο

AB

ανάλογα — άρα εδώ ίσα — τμήματα. Το ίδιο κόλπο διαιρεί τμήμα σε οποιονδήποτε λόγο, π.χ.

2:3