🧩

Αλγεβρικές Παραστάσεις & Ταυτότητες

Μονώνυμα, πολυώνυμα και οι αξιοσημείωτες ταυτότητες

Πώς κάνεις $23 \cdot 17$ με το μυαλό;

Γράψε $23 = 20 + 3$ και $17 = 20 - 3$ . Τότε $23 \cdot 17 = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391$ . Μαγεία; Όχι — μια ταυτότητα. Οι ταυτότητες είναι έτοιμες «συνταγές» πολλαπλασιασμού που ισχύουν για κάθε αριθμό. Σε αυτό το κεφάλαιο τις κάνεις δικές σου.

Μονώνυμα και πολυώνυμα

Μονώνυμο λέγεται μια παράσταση που είναι γινόμενο αριθμού και μεταβλητών με εκθέτες φυσικούς αριθμούς, π.χ. $-3x^2y$ . Ο αριθμός λέγεται συντελεστής ( $-3$ ) και το υπόλοιπο κύριο μέρος ( $x^2y$ ). Ο βαθμός του μονωνύμου είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

Όμοια λέγονται τα μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος, π.χ. $5x^2$ και $-2x^2$ . Μόνο όμοια μονώνυμα μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε: $5x^2 - 2x^2 = 3x^2$ .

Πολυώνυμο είναι ένα άθροισμα μονωνύμων (των όρων του), π.χ. $2x^3 - 5x + 7$ . Βαθμός του πολυωνύμου είναι ο βαθμός του μεγαλύτερου όρου του.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος είναι ο βαθμός του μονωνύμου $-4x^3y^2$ ;

Πράξεις με πολυώνυμα

Πρόσθεση – αφαίρεση: βγάζουμε τις παρενθέσεις και κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων.
Πολλαπλασιασμός: πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου (επιμεριστική ιδιότητα).

Παράδειγμα: $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

Κάποια γινόμενα όμως εμφανίζονται τόσο συχνά, που αξίζει να τα ξέρουμε απέξω. Αυτές είναι οι αξιοσημείωτες ταυτότητες — ισότητες που ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών.

Παράδειγμα (πολλαπλασιασμός πολυωνύμων): Να γίνουν οι πράξεις (α) $(-2x^2y) \cdot (3xy^3)$ και (β) $(2x - 3)(x^2 + x - 1)$ .

(α) Πολλαπλασιάζουμε συντελεστές με συντελεστές και δυνάμεις ίδιας βάσης προσθέτοντας εκθέτες:

$(-2) \cdot 3 \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+3} = -6x^3y^4$

(β) Κάθε όρος του πρώτου επί κάθε όρο του δεύτερου ( $2 \cdot 3 = 6$ γινόμενα):

$2x^3 + 2x^2 - 2x - 3x^2 - 3x + 3 = 2x^3 - x^2 - 5x + 3$

Έλεγχος με αριθμό, π.χ. $x = 2$ : αρχικά $(4 - 3)(4 + 2 - 1) = 5$ , τελικά $16 - 4 - 10 + 3 = 5$ ✓

Δες γεωμετρικά γιατί $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$: το μεγάλο τετράγωνο χωρίζεται σε δύο τετράγωνα και δύο ίσα ορθογώνια.

$(\alpha \pm \beta)^2 = \alpha^2 \pm 2\alpha\beta + \beta^2$

$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \alpha^2 - \beta^2$

$\alpha^3 \pm \beta^3 = (\alpha \pm \beta)(\alpha^2 \mp \alpha\beta + \beta^2)$

Ήξερες ότι;

Πριν από περίπου $2.300$ χρόνια ο Ευκλείδης, στα «Στοιχεία» (Βιβλίο ΙΙ, Πρόταση 4), απέδειξε την ταυτότητα $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ χωρίς κανένα σύμβολο: με ένα τετράγωνο χωρισμένο σε δύο τετράγωνα και δύο ίσα ορθογώνια — όπως στην προσομοίωση πιο πάνω. Η γραφή με γράμματα που χρησιμοποιείς σήμερα καθιερώθηκε σχεδόν $2.000$ χρόνια αργότερα, με τον Viète και τον Descartes.

Πώς τις διαβάζουμε

$(\alpha+\beta)^2$ : «τετράγωνο του πρώτου, συν δύο φορές το γινόμενο, συν τετράγωνο του δεύτερου».
$(\alpha-\beta)^2$ : το ίδιο, αλλά το μεσαίο γίνεται μείον $2\alpha\beta$ .
$(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)$ : «άθροισμα επί διαφορά ίσον διαφορά τετραγώνων».
Στα $\alpha^3 \pm \beta^3$ πρόσεξε το «αντίθετο» πρόσημο στο $\alpha\beta$ μέσα στην παρένθεση: $\alpha^3 + \beta^3$ έχει $-\alpha\beta$ , ενώ $\alpha^3 - \beta^3$ έχει $+\alpha\beta$ .

Κύβος αθροίσματος και διαφοράς

Πολλαπλασιάζοντας το $(\alpha + \beta)^2$ με $(\alpha + \beta)$ ακόμη μία φορά, παίρνουμε τον κύβο αθροίσματος. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει και ο κύβος διαφοράς — τα πρόσημα απλώς εναλλάσσονται:

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 \qquad (\alpha - \beta)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 - \beta^3$

Κόλπο μνήμης

Στον κύβο οι συντελεστές είναι πάντα $1, 3, 3, 1$ . Οι εκθέτες του $\alpha$ κατεβαίνουν $3, 2, 1, 0$ και του $\beta$ ανεβαίνουν $0, 1, 2, 3$ . Στη διαφορά $(\alpha - \beta)^3$ άλλαξε μόνο τα πρόσημα εναλλάξ: $+\,-\,+\,-$ .

Μέθοδος: ανάπτυγμα με ταυτότητα

Αναγνώρισε τη μορφή: τετράγωνο, κύβος ή άθροισμα επί διαφορά;
Εντόπισε τα $\alpha$ και $\beta$ — ολόκληρους τους όρους, μαζί με συντελεστές: στο $(3x - 2)^2$ είναι $\alpha = 3x$ , $\beta = 2$ .
Γράψε τον τύπο με παρενθέσεις: $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2$ .
Κάνε τις δυνάμεις και τα γινόμενα: $9x^2 - 12x + 4$ .
Αν η ταυτότητα είναι μέρος μεγαλύτερης παράστασης, κράτα την σε παρένθεση μέχρι να κάνεις αναγωγή — ειδικά όταν μπροστά της υπάρχει μείον.

Λυμένο παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Να απλοποιηθεί η παράσταση $A = (2x-1)^2 + (x+2)(x-2) - 5x^2$

Λύση: Με τις ταυτότητες:

$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ και $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$ .

Άρα $A = 4x^2 - 4x + 1 + x^2 - 4 - 5x^2 = (4+1-5)x^2 - 4x + (1-4) = -4x - 3$ .

Η παράσταση απλοποιήθηκε σε πρωτοβάθμια — όλα τα $x^2$ έφυγαν!

Παράδειγμα 2 (κύβοι): Να γίνουν τα αναπτύγματα (α) $(x + 2)^3$ και (β) $(2x - 1)^3$ .

(α) $\alpha = x$ , $\beta = 2$ :

$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

(β) $\alpha = 2x$ , $\beta = 1$ , με εναλλασσόμενα πρόσημα:

$(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$

Έλεγχος για $x = 1$ : $(2 - 1)^3 = 1$ και $8 - 12 + 6 - 1 = 1$ ✓

Παράδειγμα 3 (απόδειξη ταυτότητας): Να αποδειχθεί ότι $(\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha\beta$ και να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του $51^2 - 49^2$ .

Απόδειξη: Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος και καταλήγουμε στο δεύτερο — κρατώντας τη δεύτερη ταυτότητα σε παρένθεση λόγω του μείον:

$(\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2) - (\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2) = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - \alpha^2 + 2\alpha\beta - \beta^2 = 4\alpha\beta$

Εφαρμογή: με $\alpha = 50$ , $\beta = 1$ : $51^2 - 49^2 = 4 \cdot 50 \cdot 1 = 200$ .

Έλεγχος: $2601 - 2401 = 200$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση είναι ίση η $(x-5)^2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση είναι ίση η $(3x + 2)^2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση είναι ίση η $(x + 1)^3$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Με ποια παράσταση είναι ίση η $(2\alpha - 3)(2\alpha + 3)$ ;

Η νούμερο 1 παγίδα της χρονιάς: $(\alpha - \beta)^2 \neq \alpha^2 - \beta^2$ ! Ποτέ μην «μοιράζεις» το τετράγωνο στους όρους. Bonus κόλπο για πράξεις με το μυαλό: $99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$ και $101 \cdot 99 = (100+1)(100-1) = 9999$ .

Πρόκληση

Πάρε τέσσερις διαδοχικούς ακεραίους, πολλαπλασίασέ τους και πρόσθεσε $1$ . Δοκίμασε: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 = 25 = 5^2$ και $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 = 121 = 11^2$ . Σύμπτωση; Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο $\nu$ ο αριθμός $\nu(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3) + 1$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το μυστικό είναι να ζευγαρώσεις σωστά: τον πρώτο με τον τέταρτο και τον δεύτερο με τον τρίτο.

$\nu(\nu+3) = \nu^2 + 3\nu \qquad (\nu+1)(\nu+2) = \nu^2 + 3\nu + 2$

Βάλε $t = \nu^2 + 3\nu$ . Τότε η παράσταση γίνεται

$t(t + 2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2$

από την ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος. Άρα

$\nu(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3) + 1 = (\nu^2 + 3\nu + 1)^2$

Έλεγχος: για $\nu = 2$ : $\nu^2 + 3\nu + 1 = 4 + 6 + 1 = 11$ και $11^2 = 121$ ✓.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένος συντελεστής στο τετράγωνο: $(3x)^2 = 9x^2$ , όχι $3x^2$ .
Χαμένο «2» στο διπλάσιο γινόμενο: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , όχι $x^2 + 3x + 9$ .
Μείον μπροστά από ταυτότητα: $-(x - 2)^2 = -(x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x - 4$ . Άνοιξε πρώτα την ταυτότητα μέσα σε παρένθεση, μετά άλλαξε πρόσημα.
Κύβος που «μοιράζεται»: $(\alpha + \beta)^3 \neq \alpha^3 + \beta^3$ — λείπουν οι όροι $3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μονώνυμο: συντελεστής · κύριο μέρος · βαθμός $=$ άθροισμα εκθετών · όμοια $=$ ίδιο κύριο μέρος.
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων: κάθε όρος επί κάθε όρο, μετά αναγωγή.
$(\alpha \pm \beta)^2 = \alpha^2 \pm 2\alpha\beta + \beta^2$ · $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \alpha^2 - \beta^2$ .
$(\alpha \pm \beta)^3 = \alpha^3 \pm 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 \pm \beta^3$ .
Ποτέ $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2$ .

Μονώνυμα και πολυώνυμα

Μονώνυμο λέγεται μια παράσταση που είναι γινόμενο αριθμού και μεταβλητών με εκθέτες φυσικούς αριθμούς, π.χ.

-3x^2y

. Ο αριθμός λέγεται συντελεστής (

-3

) και το υπόλοιπο κύριο μέρος (

x^2y

). Ο βαθμός του μονωνύμου είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

Όμοια λέγονται τα μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος, π.χ.

5x^2

και

-2x^2

. Μόνο όμοια μονώνυμα μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε:

5x^2 - 2x^2 = 3x^2

Πολυώνυμο είναι ένα άθροισμα μονωνύμων (των όρων του), π.χ.

2x^3 - 5x + 7

. Βαθμός του πολυωνύμου είναι ο βαθμός του μεγαλύτερου όρου του.

Αλγεβρικές Παραστάσεις & Ταυτότητες

Πώς κάνεις 23⋅1723 \cdot 1723⋅17 με το μυαλό;

Μονώνυμα και πολυώνυμα

Πράξεις με πολυώνυμα

Πώς τις διαβάζουμε

Κύβος αθροίσματος και διαφοράς

Μέθοδος: ανάπτυγμα με ταυτότητα

Αλγεβρικές Παραστάσεις & Ταυτότητες

Πώς κάνεις 23⋅1723 \cdot 1723⋅17 με το μυαλό;

Μονώνυμα και πολυώνυμα

Πράξεις με πολυώνυμα

Πώς τις διαβάζουμε

Κύβος αθροίσματος και διαφοράς

Μέθοδος: ανάπτυγμα με ταυτότητα

Πώς κάνεις $23 \cdot 17$ με το μυαλό;

Πώς κάνεις $23 \cdot 17$ με το μυαλό;