🔺

Ισότητα Τριγώνων

Κριτήρια ΠΠΠ, ΠΓΠ, ΓΠΓ και ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

Πώς μετράς ένα ποτάμι χωρίς να βραχείς;

Θέλεις το πλάτος ενός ποταμού, αλλά δεν μπορείς να περάσεις απέναντι. Με ένα ραβδί, λίγα βήματα και δύο ίσα τρίγωνα — το ένα πάνω από το νερό, το άλλο στη στεριά — μπορείς να το μετρήσεις χωρίς να πατήσεις στο νερό! Το κόλπο δουλεύει χάρη στα κριτήρια που θα μάθεις εδώ, και θα το αποδείξεις μόνος σου στην Πρόκληση.

Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα

Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα όταν, αν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο, συμπίπτουν — δηλαδή έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Τα στοιχεία που συμπίπτουν λέγονται αντίστοιχα (ή ομόλογα). Βασική παρατήρηση που λύνει ασκήσεις: σε δύο ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες — και αντίστροφα.

Χρειάζεται όμως να ελέγξουμε και τα έξι ζεύγη (3 πλευρές + 3 γωνίες); Ευτυχώς όχι! Τα κριτήρια ισότητας μάς επιτρέπουν να συμπεράνουμε την ισότητα με μόνο τρία κατάλληλα στοιχεία.

Άλλαξε τις γωνίες του τριγώνου και δες τι θα ανακαλύψεις: το άθροισμά τους μένει πάντα 180° — γι' αυτό, όταν δύο τρίγωνα έχουν δύο ζεύγη γωνιών ίσα, το τρίτο ζεύγος βγαίνει ίσο αυτομάτως.

Τα τρία κριτήρια ισότητας

1ο κριτήριο (ΠΠΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

2ο κριτήριο (ΠΓΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, είναι ίσα.

3ο κριτήριο (ΓΠΓ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις δύο προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

Η λέξη-κλειδί στο ΠΓΠ είναι το περιεχόμενη: η γωνία πρέπει να σχηματίζεται από τις δύο ίσες πλευρές. Αν η ίση γωνία είναι απέναντι από τη μία πλευρά, το κριτήριο δεν εφαρμόζεται — υπάρχουν τρίγωνα με δύο πλευρές και μία μη περιεχόμενη γωνία ίσες που ΔΕΝ είναι ίσα!

Κόλπο μνήμης

Στα ΠΓΠ και ΓΠΓ, το μεσαίο γράμμα κάθεται ανάμεσα στα άλλα δύο. Στο ΠΓΠ η Γωνία βρίσκεται ανάμεσα στις δύο Πλευρές (περιεχόμενη). Στο ΓΠΓ η Πλευρά βρίσκεται ανάμεσα στις δύο Γωνίες (προσκείμενες).

Γρήγορος έλεγχος

Δύο τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ έχουν $AB = A'B'$ , $A\Gamma = A'\Gamma'$ και $\hat{A} = \hat{A'}$ . Είναι ίσα;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ έχουν $AB = A'B'$ , $\hat{A} = \hat{A'}$ και $\hat{B} = \hat{B'}$ . Με ποιο κριτήριο είναι ίσα;

Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

Στα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε ήδη ένα «δωρεάν» ζεύγος ίσων στοιχείων: τις ορθές γωνίες. Έτσι τα κριτήρια απλοποιούνται — δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία (π.χ. τις δύο κάθετες, ή την υποτείνουσα και μία κάθετη), ή
μία πλευρά και την αντίστοιχη οξεία γωνία ίσες μία προς μία.

Δηλαδή στα ορθογώνια αρκούν δύο στοιχεία αντί για τρία — η ορθή γωνία μετράει πάντα ως το τρίτο.

Ήξερες ότι;

Το κριτήριο ΠΓΠ είναι η $4$ η πρόταση του $1$ ου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης το «απέδειξε» τοποθετώντας νοερά το ένα τρίγωνο πάνω στο άλλο. Αιώνες αργότερα οι μαθηματικοί παρατήρησαν ότι αυτή η μετακίνηση δεν στηριζόταν σε κανένα αξίωμα, και ο David Hilbert, το $1899$ , πήρε μια μορφή του ΠΓΠ ως αξίωμα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν ίσες υποτείνουσες και από μία οξεία γωνία ίση. Τι ισχύει;

Παράδειγμα (κλασικό): Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ , φέρουμε τη διχοτόμο $A\Delta$ της γωνίας $\hat{A}$ . Να αποδειχθεί ότι η $A\Delta$ είναι και διάμεσος και ύψος.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A\Gamma\Delta$ :

$AB = A\Gamma$ (το τρίγωνο είναι ισοσκελές)
$A\Delta$ κοινή πλευρά
$\hat{BA\Delta} = \hat{\Gamma A\Delta}$ (η $A\Delta$ είναι διχοτόμος)

Η γωνία είναι περιεχόμενη στις δύο ίσες πλευρές, άρα από το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα.

Από την ισότητα παίρνουμε τα ομόλογα στοιχεία:

$\Delta B = \Delta\Gamma$ , άρα η $A\Delta$ είναι διάμεσος
$\hat{A\Delta B} = \hat{A\Delta\Gamma}$ και αφού είναι εφεξής και παραπληρωματικές, καθεμία είναι $90°$ — άρα η $A\Delta$ είναι και ύψος.

Πώς γράφουμε μια απόδειξη ισότητας

Η απόδειξη έχει σταθερή «συνταγή» που πιάνει όλες τις μονάδες:

Εντόπισε τα δύο τρίγωνα που θα συγκρίνεις και γράψε «Συγκρίνω τα τρίγωνα … και …».
Κατέγραψε τρία ζεύγη ίσων στοιχείων, το καθένα με αιτιολόγηση: δεδομένο της εκφώνησης, κοινή πλευρά, κατακορυφήν γωνίες, ορθές γωνίες, ιδιότητα μεσοκαθέτου ή διχοτόμου.
Ονόμασε το κριτήριο (ΠΠΠ, ΠΓΠ ή ΓΠΓ) και συμπέρανε την ισότητα.
«Εισέπραξε» το ζητούμενο ως ομόλογο στοιχείο: η ίση πλευρά ή γωνία που ψάχνεις βγαίνει από την ισότητα των τριγώνων.

Παράδειγμα 2 (κατακορυφήν γωνίες): Τα τμήματα $AB$ και $\Gamma\Delta$ τέμνονται στο σημείο $M$ , που είναι μέσο και των δύο. Να αποδειχθεί ότι $A\Gamma = B\Delta$ .

Συγκρίνω τα τρίγωνα $AM\Gamma$ και $BM\Delta$ :

$AM = MB$ ( $M$ μέσο του $AB$ )
$\Gamma M = M\Delta$ ( $M$ μέσο του $\Gamma\Delta$ )
$A\hat{M}\Gamma = B\hat{M}\Delta$ (κατακορυφήν γωνίες)

Η γωνία είναι περιεχόμενη στις δύο ίσες πλευρές, άρα από το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα.

Εισπράττω: οι πλευρές $A\Gamma$ και $B\Delta$ βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες στο $M$ , άρα είναι ομόλογες: $A\Gamma = B\Delta$ .

Παράδειγμα 3 (μεσοκάθετος): Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο $\Sigma$ της μεσοκαθέτου ενός τμήματος $AB$ ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή $\Sigma A = \Sigma B$ .

Έστω $K$ το μέσο του $AB$ . Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα $\Sigma K A$ και $\Sigma K B$ (ορθή γωνία στο $K$ , γιατί η μεσοκάθετος είναι κάθετη στο $AB$ ):

$AK = KB$ ( $K$ μέσο)
$\Sigma K$ κοινή πλευρά

Δύο ορθογώνια τρίγωνα με τις δύο κάθετες πλευρές ίσες είναι ίσα. Άρα οι υποτείνουσές τους είναι ίσες: $\Sigma A = \Sigma B$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Είναι υποχρεωτικά ίσα;

Γρήγορος έλεγχος

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ είναι ίσα, με $\hat{A} = \hat{\Delta}$ και $\hat{B} = \hat{E}$ . Ποια πλευρά είναι ίση με τη $B\Gamma$ ;

Στις ασκήσεις, τα τρίτα ζεύγη σπάνια δίνονται έτοιμα — ψάξε για τα «δωρεάν» στοιχεία: κοινή πλευρά δύο τριγώνων, κατακορυφήν γωνίες σε τεμνόμενα τμήματα, ορθές γωνίες από κάθετες. Και θυμήσου τη χρυσή παγίδα: στο ΠΓΠ η γωνία πρέπει να είναι περιεχόμενη — αν είναι απέναντι από πλευρά, το κριτήριο καταρρέει.

Πρόκληση

Στέκεσαι στο σημείο $A$ της όχθης $\varepsilon$ ενός ποταμού, ακριβώς απέναντι από ένα δέντρο $T$ της άλλης όχθης ( $AT \perp \varepsilon$ ). Περπατάς κατά μήκος της όχθης $20$ βήματα ως το σημείο $M$ και καρφώνεις ένα ραβδί. Συνεχίζεις άλλα $20$ βήματα προς την ίδια κατεύθυνση ως το σημείο $\Gamma$ . Εκεί στρίβεις κάθετα στην όχθη, μακριά από το νερό, και περπατάς ως το σημείο $\Delta$ από όπου βλέπεις το ραβδί $M$ και το δέντρο $T$ στην ίδια ευθεία. Να αποδειχθεί ότι $\Gamma\Delta = AT$ — δηλαδή ότι το πλάτος του ποταμού είναι όσα βήματα περπάτησες από το $\Gamma$ ως το $\Delta$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Συγκρίνω τα τρίγωνα $MAT$ και $M\Gamma\Delta$ :

$AM = M\Gamma$ ( $20$ βήματα το καθένα, από την κατασκευή).
$\hat{A} = \hat{\Gamma} = 90°$ ( $AT \perp \varepsilon$ και $\Gamma\Delta \perp \varepsilon$ ).
$A\hat{M}T = \Gamma\hat{M}\Delta$ ως κατακορυφήν, γιατί τα $A, M, \Gamma$ είναι στην ίδια ευθεία και τα $T, M, \Delta$ επίσης.

Η πλευρά $AM$ έχει προσκείμενες τις γωνίες $\hat{A}$ και $A\hat{M}T$ , και η ίση της $M\Gamma$ έχει προσκείμενες τις ίσες τους $\hat{\Gamma}$ και $\Gamma\hat{M}\Delta$ . Από το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα.

Άρα και οι ομόλογες πλευρές τους είναι ίσες: η $AT$ (απέναντι από τη γωνία $\hat{M}$ του πρώτου) ισούται με τη $\Gamma\Delta$ (απέναντι από τη γωνία $\hat{M}$ του δεύτερου). Αν μέτρησες $35$ βήματα από το $\Gamma$ ως το $\Delta$ , το ποτάμι έχει πλάτος $35$ βήματα.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος αντιστοίχιση κορυφών: γράψε τα τρίγωνα με ίδια σειρά ομόλογων κορυφών (π.χ. $AM\Gamma$ και $BM\Delta$ ), ώστε οι ίσες πλευρές να «διαβάζονται» αυτόματα.
Το ζητούμενο ως δεδομένο: αν ζητείται να δείξεις $A\Gamma = B\Delta$ , δεν μπορείς να το χρησιμοποιήσεις ως ένα από τα τρία ζεύγη.
Ισότητα χωρίς αιτιολόγηση: κάθε ζεύγος θέλει δίπλα του το «γιατί» (δεδομένο, κοινή, κατακορυφήν…) — αλλιώς χάνονται μονάδες ακόμη κι αν το αποτέλεσμα είναι σωστό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ίσα τρίγωνα: συμπίπτουν · απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.
Κριτήρια: ΠΠΠ · ΠΓΠ (γωνία περιεχόμενη) · ΓΠΓ (γωνίες προσκείμενες στην πλευρά).
Ορθογώνια: αρκούν δύο αντίστοιχες πλευρές ή πλευρά και οξεία γωνία.
Δεν υπάρχει κριτήριο «ΓΓΓ» — τρεις ίσες γωνίες δίνουν μόνο όμοια τρίγωνα.
Απόδειξη: σύγκριση τριγώνων → τρία ζεύγη με αιτιολόγηση → κριτήριο → ομόλογα στοιχεία.

Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα

Τα τρία κριτήρια ισότητας

1ο κριτήριο (ΠΠΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία (π.χ. τις δύο κάθετες, ή την υποτείνουσα και μία κάθετη), ή

μία πλευρά και την αντίστοιχη οξεία γωνία ίσες μία προς μία.

Δηλαδή στα ορθογώνια αρκούν δύο στοιχεία αντί για τρία — η ορθή γωνία μετράει πάντα ως το τρίτο.

Πώς γράφουμε μια απόδειξη ισότητας

Η απόδειξη έχει σταθερή «συνταγή» που πιάνει όλες τις μονάδες:

Εντόπισε τα δύο τρίγωνα που θα συγκρίνεις και γράψε «Συγκρίνω τα τρίγωνα … και …».

Κατέγραψε τρία ζεύγη ίσων στοιχείων, το καθένα με αιτιολόγηση: δεδομένο της εκφώνησης, κοινή πλευρά, κατακορυφήν γωνίες, ορθές γωνίες, ιδιότητα μεσοκαθέτου ή διχοτόμου.

Ονόμασε το κριτήριο (ΠΠΠ, ΠΓΠ ή ΓΠΓ) και συμπέρανε την ισότητα.

«Εισέπραξε» το ζητούμενο ως ομόλογο στοιχείο: η ίση πλευρά ή γωνία που ψάχνεις βγαίνει από την ισότητα των τριγώνων.