⚖️

Ανισώσεις α' βαθμού

Ιδιότητες διάταξης, αλλαγή φοράς, λύσεις στον άξονα

Πόσες κούτες χωράνε στο ασανσέρ;

Το ασανσέρ γράφει «Μέγιστο φορτίο $630$ kg». Ανεβαίνετε δύο άτομα των $80$ kg με κούτες των $25$ kg. Εδώ δεν ψάχνεις μια ισότητα αλλά ένα όριο: $160 + 25x \leq 630$ , άρα $x \leq 18{,}8$ . Η απάντηση δεν είναι ένας αριθμός αλλά ένα σύνολο: από $0$ έως $18$ κούτες. Αυτό ακριβώς κάνουν οι ανισώσεις.

Ανισότητες και διάταξη

Μια ανίσωση είναι σαν εξίσωση, αλλά αντί για «=» έχει « $<$ », « $>$ », « $\leq$ » ή « $\geq$ ». Λύση της δεν είναι ένας αριθμός — είναι ολόκληρο σύνολο αριθμών!

Οι ιδιότητες της διάταξης μάς λένε τι επιτρέπεται να κάνουμε:

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη, η φορά δεν αλλάζει: αν $\alpha < \beta$ , τότε $\alpha + \gamma < \beta + \gamma$
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με θετικό αριθμό, η φορά δεν αλλάζει
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό, η φορά αντιστρέφεται!

Ήξερες ότι;

Τα σύμβολα $<$ και $>$ εμφανίστηκαν σε βιβλίο του Άγγλου μαθηματικού Thomas Harriot, που εκδόθηκε το $1631$ — δέκα χρόνια μετά τον θάνατό του. Μέχρι τότε, το «μικρότερο» και το «μεγαλύτερο» γράφονταν με λέξεις.

$\alpha < \beta \;\text{ και }\; \gamma > 0 \Rightarrow \alpha\gamma < \beta\gamma \qquad \alpha < \beta \;\text{ και }\; \gamma < 0 \Rightarrow \alpha\gamma > \beta\gamma$

Γιατί γυρίζει η φορά;

Σκέψου το $2 < 5$ . Πολλαπλασίασε με $-1$ : παίρνεις $-2$ και $-5$ . Στον άξονα όμως το $-2$ είναι δεξιότερα από το $-5$ , άρα $-2 > -5$ . Ο πολλαπλασιασμός με αρνητικό «καθρεφτίζει» τους αριθμούς γύρω από το μηδέν — γι' αυτό η ανισότητα αλλάζει φορά.

Βήματα επίλυσης ανίσωσης α' βαθμού

Απαλοιφή παρονομαστών (πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π.)
Απαλοιφή παρενθέσεων
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
Αναγωγή ομοίων όρων
Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου — προσοχή στο πρόσημο!

Κόλπο μνήμης

Το άνοιγμα του $<$ ή του $>$ «κοιτάζει» πάντα τον μεγαλύτερο, σαν στόμα που θέλει τη μεγάλη μπουκιά: $2 < 5$ . Όταν πολλαπλασιάζεις με αρνητικό, οι αριθμοί αλλάζουν θέση στον άξονα — και το στόμα γυρίζει από την άλλη: $-2 > -5$ .

Πράξεις κατά μέλη

Δύο ανισότητες ίδιας φοράς μπορούν να προστεθούν κατά μέλη:

$\alpha < \beta \;\text{ και }\; \gamma < \delta \;\Rightarrow\; \alpha + \gamma < \beta + \delta$

Αν επιπλέον όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί, μπορούν και να πολλαπλασιαστούν κατά μέλη: $\alpha\gamma < \beta\delta$ .

Προσοχή: ανισότητες δεν αφαιρούνται ούτε διαιρούνται κατά μέλη! Για τη διαφορά $x - y$ γράφουμε πρώτα την $-y$ (πολλαπλασιάζοντας με $-1$ και αλλάζοντας φορά) και μετά προσθέτουμε.

Παράδειγμα (όρια παράστασης): Αν $2 < x < 5$ και $1 < y < 3$ , να βρεθούν μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι $x + y$ και $2x - y$ .

$x + y$ : προσθέτουμε κατά μέλη: $2 + 1 < x + y < 5 + 3$ , δηλαδή $3 < x + y < 8$ .

$2x - y$ : πρώτα $4 < 2x < 10$ . Για το $-y$ πολλαπλασιάζουμε με $-1$ και αντιστρέφουμε: $-3 < -y < -1$ . Τώρα προσθέτουμε:

$4 - 3 < 2x - y < 10 - 1 \Rightarrow 1 < 2x - y < 9$

Αν είχαμε «αφαιρέσει» κατά μέλη ( $4 - 1 < 2x - y < 10 - 3$ ) θα βρίσκαμε το λάθος $3 < 2x - y < 7$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αν $1 < x < 3$ , ποια σχέση ισχύει για την παράσταση $2x + 1$ ;

Οι λύσεις μιας ανίσωσης ζουν στον άξονα: ολόκληρο διάστημα αριθμών, όχι ένα μόνο σημείο.

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Να λυθεί η ανίσωση $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} \geq 1$ .

Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π. $= 6$ :

$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{2x+1}{3} \geq 6 \Rightarrow 3(x-1) - 2(2x+1) \geq 6$

Απαλοιφή παρενθέσεων: $3x - 3 - 4x - 2 \geq 6$ , δηλαδή $-x - 5 \geq 6$ .

Χωρίζουμε: $-x \geq 11$ . Διαιρούμε με $-1$ και αντιστρέφουμε τη φορά:

$x \leq -11$

Οι λύσεις είναι όλοι οι αριθμοί από το $-11$ και αριστερά στον άξονα (με κλειστό κύκλο στο $-11$ , αφού έχουμε $\leq$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι λύσεις της ανίσωσης $3 - 2x \geq 7$ ;

Μέθοδος: κοινές λύσεις δύο ανισώσεων

Λύσε κάθε ανίσωση χωριστά.
Σχεδίασε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα, με γεμάτο κύκλο για $\leq, \geq$ και κενό για $<, >$ .
Κοινές λύσεις είναι τα σημεία όπου επικαλύπτονται οι δύο «σκιάσεις».
Αν δεν επικαλύπτονται πουθενά, οι ανισώσεις δεν έχουν κοινές λύσεις.

Παράδειγμα 2 (κοινές λύσεις): Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων $2x - 1 > 3$ και $x - 5 \leq 1$ , καθώς και οι ακέραιοι που τις επαληθεύουν.

$2x - 1 > 3 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$
$x - 5 \leq 1 \Rightarrow x \leq 6$

Στον άξονα: η πρώτη «σκιάζει» δεξιά του $2$ (κενός κύκλος), η δεύτερη αριστερά του $6$ (γεμάτος κύκλος). Κοινές λύσεις:

$2 < x \leq 6$

Ακέραιοι: $3, 4, 5, 6$ — το $2$ δεν περιλαμβάνεται, το $6$ περιλαμβάνεται.

Παράδειγμα 3 (καθημερινό πρόβλημα): Ένα πρόγραμμα κινητής κοστίζει $10$ € τον μήνα και $0{,}05$ € για κάθε λεπτό ομιλίας. Πόσα λεπτά το πολύ μπορεί να μιλήσει κάποιος, ώστε ο λογαριασμός να μην ξεπεράσει τα $25$ €;

Έστω $x$ τα λεπτά. «Να μην ξεπεράσει» σημαίνει $\leq$ :

$10 + 0{,}05x \leq 25 \Rightarrow 0{,}05x \leq 15 \Rightarrow x \leq \frac{15}{0{,}05} = 300$

Μπορεί να μιλήσει έως $300$ λεπτά (δηλαδή $5$ ώρες). Έλεγχος: $10 + 0{,}05 \cdot 300 = 25$ € ✓

Γρήγορος έλεγχος

Λύνεις την ανίσωση $-2x < 6$ διαιρώντας με το $-2$ . Ποιο είναι το σωστό αποτέλεσμα;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιοι ακέραιοι είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων $x > 1$ και $x \leq 4$ ;

Στο τέλος κάνε δοκιμή με έναν εύκολο αριθμό από το διάστημα που βρήκες (π.χ. το $0$ αν ανήκει): αντικατέστησέ τον στην αρχική ανίσωση. Αν επαληθεύεται, είσαι σωστά. Και θυμήσου: στα « $\leq, \geq$ » το άκρο περιλαμβάνεται (γεμάτος κύκλος), στα « $<, >$ » όχι (κενός κύκλος).

Πρόκληση

Ο Γιάννης έχει γράψει $14$ , $17$ και $15$ σε τρία διαγωνίσματα (βαθμολογία $0$ – $20$ ). (α) Τι βαθμό πρέπει να πάρει στο τέταρτο, ώστε ο μέσος όρος να είναι τουλάχιστον $16$ ; (β) Μπορεί να φτάσει μέσο όρο $18$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $x$ ο βαθμός του τέταρτου διαγωνίσματος, με $0 \leq x \leq 20$ .

(α) $\frac{14 + 17 + 15 + x}{4} \geq 16 \Rightarrow 46 + x \geq 64 \Rightarrow x \geq 18$ .

Κοινές λύσεις με το $0 \leq x \leq 20$ : $18 \leq x \leq 20$ . Χρειάζεται τουλάχιστον $18$ .

(β) $\frac{46 + x}{4} \geq 18 \Rightarrow 46 + x \geq 72 \Rightarrow x \geq 26$ .

Όμως $x \leq 20$ . Οι ανισώσεις $x \geq 26$ και $x \leq 20$ δεν έχουν κοινές λύσεις, άρα όχι: ο μέσος όρος $18$ είναι πια αδύνατος. Το σύνολο των λύσεων μιας ανίσωσης σε πρόβλημα πρέπει πάντα να «χωράει» στους περιορισμούς του.

Συνηθισμένα λάθη

Αφαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη: απαγορεύεται. Γράψε την αντίθετη ανισότητα (με αλλαγή φοράς) και πρόσθεσε.
Μεταφορά όρου = αλλαγή φοράς; Όχι! Η φορά αλλάζει μόνο όταν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς με αρνητικό.
Γλώσσα της εκφώνησης: «τουλάχιστον» $\to \geq$ , «το πολύ» ή «να μην ξεπερνά» $\to \leq$ , «μεγαλύτερο από» $\to >$ .
Ειδικές περιπτώσεις: αν οι άγνωστοι φύγουν και μείνει αληθής σχέση (π.χ. $0x > -1$ ), ισχύει για κάθε $x$ · αν μείνει ψευδής (π.χ. $0x > 2$ ), η ανίσωση είναι αδύνατη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πρόσθεση/αφαίρεση ίδιου αριθμού και πολλαπλασιασμός/διαίρεση με θετικό: η φορά μένει.
Πολλαπλασιασμός/διαίρεση με αρνητικό: η φορά αντιστρέφεται.
Κατά μέλη: πρόσθεση ομόστροφων · πολλαπλασιασμός μόνο με θετικά μέλη · ποτέ αφαίρεση/διαίρεση.
Λύσεις στον άξονα: γεμάτος κύκλος για $\leq, \geq$ , κενός για $<, >$ .
Κοινές λύσεις: τομή των λύσεων στον ίδιο άξονα.

Ανισότητες και διάταξη

Μια ανίσωση είναι σαν εξίσωση, αλλά αντί για «=» έχει «

<

», «

>

», «

\leq

» ή «

\geq

». Λύση της δεν είναι ένας αριθμός — είναι ολόκληρο σύνολο αριθμών!

Οι ιδιότητες της διάταξης μάς λένε τι επιτρέπεται να κάνουμε:

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη, η φορά δεν αλλάζει: αν

\alpha < \beta

, τότε

\alpha + \gamma < \beta + \gamma

Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με θετικό αριθμό, η φορά δεν αλλάζει

Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό, η φορά αντιστρέφεται!