Σύνολα

Τι κάνουν τα φίλτρα του e-shop;

Ψάχνεις «παπούτσια» και βάζεις φίλτρα: «νούμερο $42$», «κάτω από $50$ €». Κάθε φίλτρο κρατάει ένα σύνολο προϊόντων, και το αποτέλεσμα είναι τα προϊόντα που ανήκουν σε όλα μαζί. Οι μηχανές αναζήτησης, οι βάσεις δεδομένων και οι πιθανότητες μιλούν την ίδια γλώσσα: τη γλώσσα των συνόλων. Εδώ μαθαίνεις το αλφάβητό της.

Τι είναι σύνολο

Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή αντικειμένων που ορίζονται με απόλυτη σαφήνεια: για καθετί πρέπει να μπορούμε να απαντήσουμε «ναι» ή «όχι» στο αν ανήκει στη συλλογή. «Οι μαθητές της τάξης σου» είναι σύνολο· «οι ψηλοί μαθητές» δεν είναι, γιατί το «ψηλός» δεν είναι σαφές κριτήριο. Τα αντικείμενα του συνόλου λέγονται στοιχεία του.

Τα σύνολα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα ($A$, $B$, $\Omega$) και τα στοιχεία τους τα γράφουμε μέσα σε άγκιστρα, χωρισμένα με κόμματα:

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Για το «ανήκει» χρησιμοποιούμε το σύμβολο $\in$ και για το «δεν ανήκει» το $\notin$: εδώ $4 \in A$ αλλά $9 \notin A$.

Δύο σημαντικές συμβάσεις: σε ένα σύνολο δεν παίζει ρόλο η σειρά των στοιχείων, και κάθε στοιχείο γράφεται μία μόνο φορά. Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «ΑΝΑΝΑΣ» είναι το $\{Α, Ν, Σ\}$ — τρία στοιχεία, όχι έξι.

Αναγραφή και περιγραφή

Ένα σύνολο το γράφουμε με δύο τρόπους:

• Με αναγραφή των στοιχείων του: $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
• Με περιγραφή, δηλαδή με μια ιδιότητα που έχουν μόνο τα στοιχεία του: $A = \{x \in \mathbb{N} : x < 5\}$, που διαβάζεται «το σύνολο των φυσικών $x$ με $x < 5$».

Βασικά σύνολα αριθμών: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ οι φυσικοί, $\mathbb{Z}$ οι ακέραιοι, $\mathbb{Q}$ οι ρητοί, $\mathbb{R}$ οι πραγματικοί. Και $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$.

Μέθοδος: από την περιγραφή στην αναγραφή

1. Διάβασε από ποιο σύνολο παίρνουμε τα στοιχεία ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, γράμματα λέξης…).
2. Διάβασε τη συνθήκη και έλεγξε τα άκρα: στο $<$ το άκρο εξαιρείται, στο $\leq$ περιλαμβάνεται.
3. Γράψε όλα τα στοιχεία που την ικανοποιούν, το καθένα μία φορά.
4. Έλεγξε: κάθε στοιχείο που έγραψες ικανοποιεί τη συνθήκη; Λείπει κάποιο;

Υποσύνολα και το κενό σύνολο

Ένα σύνολο $A$ λέγεται υποσύνολο του $B$, και γράφουμε $A \subseteq B$, όταν κάθε στοιχείο του $A$ είναι και στοιχείο του $B$. Για παράδειγμα, το σύνολο των άρτιων ζαριών $\{2, 4, 6\}$ είναι υποσύνολο του $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Πρόσεξε τη διαφορά των δύο συμβόλων: το $\in$ συνδέει στοιχείο με σύνολο ($2 \in A$), ενώ το $\subseteq$ συνδέει σύνολο με σύνολο ($\{2\} \subseteq A$). Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του: $A \subseteq A$.

Υπάρχει κι ένα σύνολο χωρίς κανένα στοιχείο — το κενό σύνολο, που συμβολίζεται $\varnothing$ ή $\{\;\}$. Π.χ. «οι λύσεις της εξίσωσης $0 \cdot x = 5$» είναι το $\varnothing$. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Για να βλέπουμε τα σύνολα, τα ζωγραφίζουμε: μια κλειστή γραμμή (συνήθως οβάλ) με τα στοιχεία σημειωμένα μέσα της λέγεται διάγραμμα Venn. Όταν $A \subseteq B$, το οβάλ του $A$ ζωγραφίζεται ολόκληρο μέσα στο οβάλ του $B$ — η εικόνα λέει ακριβώς ό,τι λέει και ο ορισμός.

Από τα σύνολα στις πιθανότητες

Γιατί μαθαίνουμε σύνολα στη Γ΄ Γυμνασίου; Γιατί είναι η γλώσσα των πιθανοτήτων!

Σε ένα πείραμα τύχης, ο δειγματικός χώρος $\Omega$ είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων — για τη ρίψη ενός ζαριού, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Και κάθε ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του $\Omega$: το ενδεχόμενο «φέρνω άρτια ένδειξη» είναι το σύνολο $A = \{2, 4, 6\} \subseteq \Omega$.

Έτσι όλη η ορολογία κουμπώνει: το βέβαιο ενδεχόμενο είναι ολόκληρο το $\Omega$, το αδύνατο ενδεχόμενο είναι το κενό σύνολο $\varnothing$, και η πραγματοποίηση του ενδεχομένου σημαίνει ότι το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει ($\in$) στο σύνολο $A$.