🏗️

Προβλήματα Εξισώσεων Β΄ Βαθμού

Από την εκφώνηση στην εξίσωση — μοντελοποίηση και έλεγχος αποδεκτών λύσεων

Πόσοι ήταν στο πάρτι;

Στο τέλος ενός πάρτι ο καθένας είχε δώσει το χέρι σε όλους τους άλλους από μία φορά — συνολικά $45$ χειραψίες. Πόσοι ήταν οι καλεσμένοι; Δεν χρειάζεται να δοκιμάζεις στην τύχη: η ιστορία κρύβει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να «μεταφράζεις» τέτοιες ιστορίες σε εξισώσεις — και θα λύσεις αυτή στο τέλος, στην Πρόκληση.

Η στρατηγική των τεσσάρων βημάτων

Ένα πρόβλημα δευτέρου βαθμού δεν είναι παρά μια ιστορία που κρύβει μέσα της μια εξίσωση. Η «μετάφραση» γίνεται πάντα με τα ίδια βήματα:

Άγνωστος: Ορίζουμε με σαφήνεια τι παριστάνει το $x$ , μαζί με μονάδες (π.χ. «έστω $x$ το πλάτος σε μέτρα, $x > 0$ »).
Μετάφραση: Γράφουμε κάθε άλλο μέγεθος συναρτήσει του $x$ και μετατρέπουμε την πρόταση της εκφώνησης σε εξίσωση.
Επίλυση: Φέρνουμε τη μορφή $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ και λύνουμε με παραγοντοποίηση ή με τη διακρίνουσα.
Έλεγχος: Δεχόμαστε μόνο τις λύσεις που έχουν νόημα για το πρόβλημα — και απαντάμε σε αυτό που ρωτήθηκε!

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma \qquad x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

Παράδειγμα 1: Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει μήκος κατά $5$ m μεγαλύτερο από το πλάτος του και εμβαδόν $150$ m². Ποιες είναι οι διαστάσεις του;

Άγνωστος: έστω $x$ το πλάτος σε μέτρα ( $x > 0$ ). Τότε το μήκος είναι $x + 5$ .

Μετάφραση: εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος επί πλάτος:

$x(x + 5) = 150 \Rightarrow x^2 + 5x - 150 = 0$

Επίλυση: $\Delta = 25 + 600 = 625$ , $\sqrt{\Delta} = 25$ :

$x = \frac{-5 \pm 25}{2} \Rightarrow x = 10 \;\text{ή}\; x = -15$

Έλεγχος: το $x = -15$ απορρίπτεται — πλάτος δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Άρα πλάτος $10$ m και μήκος $15$ m. Επαλήθευση: $10 \cdot 15 = 150$ ✓

Ήξερες ότι;

Οι διαστάσεις του χαρτιού Α4 δεν είναι τυχαίες. Επιλέχθηκαν ώστε, όταν το κόβεις στη μέση, τα δύο μισά (Α5) να έχουν το ίδιο σχήμα με το αρχικό. Αν οι πλευρές είναι $x$ και $1$ , αυτό δίνει $\frac{x}{1} = \frac{1}{x/2}$ , δηλαδή $x^2 = 2$ και $x = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ . Μέτρησέ το: $297 : 210 \approx 1{,}414$ !

Άλλαξε τους συντελεστές της παραβολής και παρατήρησε πού κόβει τον άξονα $x$ — εκεί κρύβονται οι ρίζες της εξίσωσης. Ανακάλυψε πότε γίνονται δύο, πότε μία και πότε χάνονται τελείως.

Γρήγορος έλεγχος

Το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι $132$ . Αν $x$ ο μικρότερος, ποια εξίσωση περιγράφει το πρόβλημα;

Γρήγορος έλεγχος

Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι $41$ . Αν $x$ ο μικρότερος, ποια εξίσωση περιγράφει το πρόβλημα;

Ο έλεγχος των αποδεκτών λύσεων

Η εξίσωση λύνει την άλγεβρα — εσύ όμως λύνεις το πρόβλημα. Σχεδόν πάντα ο τύπος δίνει δύο ρίζες, αλλά το πρόβλημα δέχεται συχνά μόνο τη μία:

Μήκη, εμβαδά, χρόνοι, ηλικίες: πρέπει να είναι θετικά.
Πλήθη αντικειμένων ή ανθρώπων: πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί.
Περιορισμοί της εκφώνησης: «θετικός ακέραιος», «μικρότερος από…».

Ας τελειώσουμε το πρόβλημα των διαδοχικών ακεραίων: $x^2 + x - 132 = 0$ , $\Delta = 1 + 528 = 529 = 23^2$ , άρα $x = \frac{-1 \pm 23}{2}$ , δηλαδή $x = 11$ ή $x = -12$ . Η αρνητική ρίζα απορρίπτεται (ζητήθηκαν θετικοί), οπότε οι αριθμοί είναι το $11$ και το $12$ . Πράγματι $11 \cdot 12 = 132$ ✓

Στη λύση σου, η απορριπτόμενη ρίζα γράφεται και αιτιολογείται — βαθμολογείται κι αυτή!

Παράδειγμα 2 (τύπου εξετάσεων): Ορθογώνιο έχει περίμετρο $28$ m και εμβαδόν $48$ m². Να βρεθούν οι διαστάσεις του.

Έστω $x$ η μία διάσταση. Από την περίμετρο: $2(x + y) = 28 \Rightarrow y = 14 - x$ .

Από το εμβαδόν:

$x(14 - x) = 48 \Rightarrow 14x - x^2 = 48 \Rightarrow x^2 - 14x + 48 = 0$

$\Delta = 196 - 192 = 4$ , οπότε $x = \frac{14 \pm 2}{2}$ , δηλαδή $x = 8$ ή $x = 6$ .

Εδώ και οι δύο ρίζες είναι αποδεκτές — και δίνουν το ίδιο ορθογώνιο: αν $x = 8$ τότε $y = 6$ , αν $x = 6$ τότε $y = 8$ . Διαστάσεις $6$ m $\times$ $8$ m. Επαλήθευση: περίμετρος $2(6+8) = 28$ ✓, εμβαδόν $6 \cdot 8 = 48$ ✓

Παράδειγμα 3 (Πυθαγόρειο): Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου διαφέρουν κατά $7$ cm και η υποτείνουσα είναι $13$ cm. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές.

Άγνωστος: έστω $x$ cm η μικρότερη κάθετη ( $x > 0$ )· η μεγαλύτερη είναι $x + 7$ .

Μετάφραση με το Πυθαγόρειο:

$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \Rightarrow x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \Rightarrow 2x^2 + 14x - 120 = 0$

Διαιρούμε με $2$ : $x^2 + 7x - 60 = 0$ .

Επίλυση: $\Delta = 49 + 240 = 289 = 17^2$ , άρα $x = \frac{-7 \pm 17}{2}$ , δηλαδή $x = 5$ ή $x = -12$ .

Έλεγχος: το $-12$ απορρίπτεται (μήκος). Οι κάθετες είναι $5$ cm και $12$ cm· πράγματι $25 + 144 = 169$ ✓

Παράδειγμα 4 (διάδρομος γύρω από κήπο): Ένας ορθογώνιος κήπος $10$ m $\times$ $6$ m περιβάλλεται από διάδρομο σταθερού πλάτους. Κήπος και διάδρομος μαζί έχουν εμβαδόν $96 \text{ m}^2$ . Πόσο πλάτος έχει ο διάδρομος;

Άγνωστος: έστω $x$ m το πλάτος του διαδρόμου ( $x > 0$ ). Ο διάδρομος προσθέτει $x$ από κάθε πλευρά, άρα οι εξωτερικές διαστάσεις είναι $10 + 2x$ και $6 + 2x$ .

Μετάφραση:

$(10 + 2x)(6 + 2x) = 96 \Rightarrow 60 + 20x + 12x + 4x^2 = 96 \Rightarrow 4x^2 + 32x - 36 = 0$

Διαιρούμε με $4$ : $x^2 + 8x - 9 = 0 \Rightarrow (x + 9)(x - 1) = 0$ , άρα $x = 1$ ή $x = -9$ .

Έλεγχος: το $-9$ απορρίπτεται. Ο διάδρομος έχει πλάτος $1$ m· πράγματι $12 \cdot 8 = 96$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Πρόβλημα με άγνωστο ένα μήκος οδήγησε στην εξίσωση $x^2 - 3x - 10 = 0$ . Ποια είναι η αποδεκτή λύση;

Γρήγορος έλεγχος

«Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι κατά $12$ μεγαλύτερο από τον ίδιο τον αριθμό.» Ποιος είναι ο αριθμός;

Πριν παραδώσεις, κάνε το τριπλό τσεκ: 1) Απάντησα σε αυτό που ρωτήθηκε; (Αν το $x$ είναι το πλάτος και ζητούν το μήκος, η απάντηση είναι $x + 5$ , όχι $x$ !) 2) Έλεγξα τις ρίζες πάνω στην εκφώνηση, όχι μόνο στην εξίσωση; 3) Έγραψα μονάδες στην τελική απάντηση; Αυτά τα τρία δευτερόλεπτα σώζουν τις περισσότερες χαμένες μονάδες στα προβλήματα.

Πρόκληση

(α) Σε ένα πάρτι ο καθένας έδωσε το χέρι σε όλους τους άλλους από μία φορά και έγιναν $45$ χειραψίες. Πόσοι ήταν; (β) Θα μπορούσαν να έχουν γίνει ακριβώς $50$ χειραψίες;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Άγνωστος: έστω $\nu$ τα άτομα ( $\nu$ θετικός ακέραιος). Ο καθένας δίνει το χέρι σε $\nu - 1$ άλλους, δηλαδή $\nu(\nu - 1)$ «απλωμένα χέρια». Κάθε χειραψία όμως μετρήθηκε δύο φορές (μία για τον καθένα), άρα οι χειραψίες είναι $\frac{\nu(\nu - 1)}{2}$ .

(α) $\frac{\nu(\nu - 1)}{2} = 45 \Rightarrow \nu^2 - \nu - 90 = 0$ . Είναι $\Delta = 1 + 360 = 361 = 19^2$ , άρα

$\nu = \frac{1 \pm 19}{2} \Rightarrow \nu = 10 \;\text{ ή }\; \nu = -9$

Το $-9$ απορρίπτεται (πλήθος ατόμων). Ήταν $10$ άτομα. Έλεγχος: $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ ✓.

(β) $\frac{\nu(\nu - 1)}{2} = 50 \Rightarrow \nu^2 - \nu - 100 = 0$ , με $\Delta = 1 + 400 = 401$ . Το $401$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ( $20^2 = 400$ , $21^2 = 441$ ), άρα η θετική ρίζα $\frac{1 + \sqrt{401}}{2} \approx 10{,}5$ δεν είναι ακέραιος. Όχι, $50$ χειραψίες δεν γίνεται να προκύψουν.

Συνηθισμένα λάθη

Απόρριψη χωρίς λόγο: απορρίπτεις ρίζα μόνο όταν η εκφώνηση το επιβάλλει (μήκος, πλήθος, «θετικός»). Αν ζητείται απλώς «ένας αριθμός», δεκτές είναι και οι αρνητικές ρίζες.
Τετράγωνο αθροίσματος στη μετάφραση: $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$ , όχι $x^2 + 49$ .
Διάδρομος ή πλαίσιο: το πλάτος $x$ προστίθεται και στις δύο πλευρές κάθε διάστασης: $10 + 2x$ , όχι $10 + x$ .
Χωρίς περιορισμό: γράψε από την αρχή « $x > 0$ » (ή « $x$ φυσικός») — αυτός ο περιορισμός είναι που δικαιολογεί την απόρριψη στο τέλος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τέσσερα βήματα: άγνωστος (με περιορισμό) → μετάφραση σε εξίσωση → επίλυση → έλεγχος αποδεκτών λύσεων.
Μορφή $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ : παραγοντοποίηση ή $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ , $x = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$ .
Μήκη, εμβαδά, χρόνοι, ηλικίες: $> 0$ · πλήθη: φυσικοί αριθμοί.
Διαδοχικοί ακέραιοι: $x$ , $x + 1$ · ορθογώνιο τρίγωνο: Πυθαγόρειο.
Η απορριπτόμενη ρίζα γράφεται με αιτιολόγηση και η απάντηση δίνεται σε ό,τι ρωτήθηκε, με μονάδες.

Η στρατηγική των τεσσάρων βημάτων

Άγνωστος: Ορίζουμε με σαφήνεια τι παριστάνει το

x

, μαζί με μονάδες (π.χ. «έστω

x

το πλάτος σε μέτρα,

x > 0

»).

Μετάφραση: Γράφουμε κάθε άλλο μέγεθος συναρτήσει του

x

και μετατρέπουμε την πρόταση της εκφώνησης σε εξίσωση.

Επίλυση: Φέρνουμε τη μορφή

\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0

και λύνουμε με παραγοντοποίηση ή με τη διακρίνουσα.

Έλεγχος: Δεχόμαστε μόνο τις λύσεις που έχουν νόημα για το πρόβλημα — και απαντάμε σε αυτό που ρωτήθηκε!

Ο έλεγχος των αποδεκτών λύσεων

Μήκη, εμβαδά, χρόνοι, ηλικίες: πρέπει να είναι θετικά.

Πλήθη αντικειμένων ή ανθρώπων: πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί.

Περιορισμοί της εκφώνησης: «θετικός ακέραιος», «μικρότερος από…».

Ας τελειώσουμε το πρόβλημα των διαδοχικών ακεραίων:

x^2 + x - 132 = 0

\Delta = 1 + 528 = 529 = 23^2

, άρα

x = \frac{-1 \pm 23}{2}

, δηλαδή

x = 11

x = -12

. Η αρνητική ρίζα απορρίπτεται (ζητήθηκαν θετικοί), οπότε οι αριθμοί είναι το

11

και το

12

. Πράγματι

11 \cdot 12 = 132

✓

Στη λύση σου, η απορριπτόμενη ρίζα γράφεται και αιτιολογείται — βαθμολογείται κι αυτή!