➗

Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις

Ε.Κ.Π. παρονομαστών, απλοποίηση, πράξεις κλασματικών παραστάσεων

Γιατί το κομπιουτεράκι γράφει «Error»;

Πληκτρολόγησε $5 : 0$ και θα δεις μήνυμα σφάλματος. Δεν είναι ιδιοτροπία: κανένας αριθμός επί $0$ δεν δίνει $5$ . Στα κλάσματα με $x$ ο κίνδυνος κρύβεται: ο παρονομαστής μπορεί να μηδενιστεί για κάποια τιμή του $x$ . Εδώ μαθαίνεις να εντοπίζεις αυτές τις «απαγορευμένες» τιμές — και να κάνεις πράξεις με κλάσματα-πολυώνυμα όσο άνετα κάνεις το $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ .

Κλάσματα με πολυώνυμα

Ρητή αλγεβρική παράσταση (ή κλασματική παράσταση) λέγεται μια παράσταση της μορφής $\frac{A}{B}$ , όπου $A$ και $B$ είναι πολυώνυμα — για παράδειγμα $\frac{x+2}{x^2-1}$ .

Υπάρχει όμως ένας όρος ύπαρξης που δεν παραλείπουμε ΠΟΤΕ: ο παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. Στην $\frac{x+2}{x^2-1}$ απαιτούμε $x^2 - 1 \neq 0$ , δηλαδή $x \neq 1$ και $x \neq -1$ .

Τα καλά νέα; Οι ρητές παραστάσεις συμπεριφέρονται ακριβώς όπως τα αριθμητικά κλάσματα: απλοποιούνται, πολλαπλασιάζονται, προστίθενται με κοινό παρονομαστή. Το «κλειδί» που ξεκλειδώνει τα πάντα είναι η παραγοντοποίηση που έμαθες στο προηγούμενο κεφάλαιο.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιοι είναι οι όροι ύπαρξης της παράστασης $\frac{3}{x^2 - 4x}$ ;

Ήξερες ότι;

Το $1997$ το πολεμικό πλοίο USS Yorktown του αμερικανικού ναυτικού έμεινε ακινητοποιημένο στη θάλασσα για ώρες. Η αιτία; Κάποιος πληκτρολόγησε $0$ σε ένα πεδίο και το λογισμικό του πλοίου επιχείρησε διαίρεση με το μηδέν. Οι όροι ύπαρξης δεν είναι σχολική τυπολατρία!

Δες πώς ένα κλάσμα «μαζεύει»: όταν αριθμητής και παρονομαστής μοιράζονται κοινό παράγοντα, η ισοδύναμη μορφή είναι απλούστερη — ίδια ιδέα και με πολυώνυμα.

Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. αλγεβρικών παραστάσεων

Πρώτο βήμα πάντα: παραγοντοποιούμε κάθε παράσταση.

Μ.Κ.Δ.: το γινόμενο των κοινών παραγόντων, ο καθένας με τον μικρότερο εκθέτη
Ε.Κ.Π.: το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων, ο καθένας με τον μεγαλύτερο εκθέτη

Παράδειγμα: για τις $4x^2(x+1)$ και $6x(x+1)^2$ είναι Μ.Κ.Δ. $= 2x(x+1)$ και Ε.Κ.Π. $= 12x^2(x+1)^2$ .

Απλοποίηση

Απλοποιούμε διαγράφοντας κοινούς παράγοντες αριθμητή και παρονομαστή:

$\frac{A \cdot \Gamma}{B \cdot \Gamma} = \frac{A}{B}, \quad B, \Gamma \neq 0$

Προσοχή στον χρυσό κανόνα: διαγράφουμε μόνο παράγοντες (πράγματα που πολλαπλασιάζονται), ποτέ όρους (πράγματα που προστίθενται). Στο $\frac{x+2}{2}$ το $2$ ΔΕΝ απλοποιείται!

Μέθοδος: απλοποίηση ρητής παράστασης

Παραγοντοποίησε πλήρως αριθμητή και παρονομαστή.
Γράψε τους όρους ύπαρξης από τον παρονομαστή πριν διαγράψεις οτιδήποτε.
Διάγραψε τους κοινούς παράγοντες (ποτέ όρους αθροίσματος).
Γράψε το αποτέλεσμα μαζί με τους όρους ύπαρξης.

Παράδειγμα: Να απλοποιηθεί η παράσταση $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή:

Αριθμητής: διαφορά τετραγώνων, $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
Παρονομαστής: ανάπτυγμα τετραγώνου, $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

Άρα, για $x \neq -2$ :

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Διαγράψαμε έναν παράγοντα $(x+2)$ από πάνω και έναν από κάτω — ο δεύτερος του παρονομαστή μένει στη θέση του.

Κόλπο μνήμης

«Παραγοντοποίηση πρώτα, ψαλίδι μετά». Σκέψου αριθμητή και παρονομαστή σαν αλυσίδες που σπάνε μόνο στους κρίκους του « $\cdot$ », ποτέ στα « $+$ ». Απλοποιείς μόνο παράγοντες: $\frac{3(x+1)}{x(x+1)} = \frac{3}{x}$ ✓, ενώ στο $\frac{x+2}{x}$ δεν «κόβεται» τίποτα.

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται η $\frac{2x + 4}{x + 2}$ για $x \neq -2$ ;

Πράξεις ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός: πολλαπλασιάζουμε αριθμητές μεταξύ τους και παρονομαστές μεταξύ τους. Έξυπνη κίνηση: παραγοντοποίησε και απλοποίησε ΠΡΙΝ εκτελέσεις τα γινόμενα — δουλεύεις με μικρότερες παραστάσεις.

Διαίρεση: πολλαπλασιάζουμε με την αντίστροφη παράσταση — όπως ακριβώς στα αριθμητικά κλάσματα.

Πρόσθεση και αφαίρεση:

Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές
Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους
Μετατρέπουμε κάθε κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το Ε.Κ.Π.
Προσθέτουμε/αφαιρούμε τους αριθμητές και, στο τέλος, ελέγχουμε για νέα απλοποίηση

$\frac{A}{B} \cdot \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A \cdot \Gamma}{B \cdot \Delta} \qquad \frac{A}{B} : \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A}{B} \cdot \frac{\Delta}{\Gamma} \qquad \frac{A}{B} + \frac{\Gamma}{B} = \frac{A + \Gamma}{B}$

Παράδειγμα 3 (πολλαπλασιασμός και διαίρεση): Να γίνουν οι πράξεις (α) $\frac{x^2 - 1}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x + 1}$ και (β) $\frac{x^2 - 9}{x} : \frac{x + 3}{x^2}$ .

(α) Όροι ύπαρξης: $x \neq 0$ , $x \neq -1$ . Παραγοντοποιούμε και απλοποιούμε πριν πολλαπλασιάσουμε:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x + 1} = \frac{(x - 1) \cdot 4x^2}{2x} = 2x(x - 1)$

(β) Όροι ύπαρξης: $x \neq 0$ , και επειδή διαιρούμε με το $\frac{x + 3}{x^2}$ , πρέπει να μην είναι μηδέν: $x \neq -3$ . Πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο:

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 3} = x(x - 3)$

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Να γίνει η πράξη $\frac{x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$ .

Βήμα 1 — Παραγοντοποίηση: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Όροι ύπαρξης: $x \neq 1$ και $x \neq -1$ .

Βήμα 2 — Ε.Κ.Π.: $(x-1)(x+1)$ .

Βήμα 3 — Ισοδύναμα κλάσματα: το δεύτερο κλάσμα θέλει «συμπλήρωμα» τον παράγοντα $(x-1)$ :

$\frac{x}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

Βήμα 4 — Πρόσθεση αριθμητών:

$\frac{x + x - 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x - 1}{(x-1)(x+1)}$

Ο αριθμητής $2x - 1$ δεν έχει κοινό παράγοντα με τον παρονομαστή — η παράσταση είναι ήδη στην απλούστερη μορφή της.

Παράδειγμα 4 (αφαίρεση με παγίδα προσήμου): Να γίνει η πράξη $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Όροι ύπαρξης: $x \neq 1$ , $x \neq -1$ . Ε.Κ.Π. $= (x - 1)(x + 1)$ :

$\frac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}$

Ο δεύτερος αριθμητής μπαίνει σε παρένθεση, γιατί το μείον αλλάζει πρόσημο σε όλους τους όρους του:

$\frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x}{x^2 - 1}$

Έλεγχος για $x = 2$ : $\frac{3}{1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ και $\frac{8}{4 - 1} = \frac{8}{3}$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η απλοποιημένη μορφή της παράστασης $\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται η $\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{3 - x}$ (για $x \neq 3$ );

Τρεις κινήσεις που πιάνουν μονάδες στο διαγώνισμα: 1) Παραγοντοποίησε ΠΡΙΝ από οποιαδήποτε πράξη — ποτέ μην πολλαπλασιάζεις «στα τυφλά». 2) Γράψε τους όρους ύπαρξης (παρονομαστές $\neq 0$ ) στην αρχή της λύσης· βαθμολογούνται! 3) Στο τέλος κάθε πρόσθεσης, έλεγξε μήπως ο νέος αριθμητής παραγοντοποιείται και απλοποιείται με τον παρονομαστή — εκεί κρύβεται συχνά το τελευταίο βήμα της άσκησης.

Πρόκληση

(α) Να αποδειχθεί ότι $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)}$ , για $x \neq 0$ και $x \neq -1$ . (β) Να υπολογιστεί χωρίς κοινό παρονομαστή το άθροισμα

$S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{9 \cdot 10}$

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το $x(x+1)$ :

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$

(β) Εφάρμοσε το (α) σε κάθε όρο: $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ , …, $\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ . Τώρα γράψε τα όλα μαζί:

$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$

Κάθε $-\frac{1}{\kappa}$ εξουδετερώνεται από το $+\frac{1}{\kappa}$ της επόμενης παρένθεσης. Μένουν μόνο ο πρώτος και ο τελευταίος όρος:

$S = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

Συνηθισμένα λάθη

Όροι ύπαρξης από την τελική μορφή: το $\frac{x - 2}{x + 2}$ προήλθε από το $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ , αλλά το $x \neq -2$ το παίρνεις από τον αρχικό παρονομαστή — και δεν χάνεται με την απλοποίηση.
Μείον μπροστά από κλάσμα: στην αφαίρεση ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος μπαίνει ολόκληρος σε παρένθεση.
Αντίστροφο στη διαίρεση: αντιστρέφεις τη δεύτερη παράσταση (τον διαιρέτη), όχι την πρώτη.
Αντίθετοι παρονομαστές: $3 - x = -(x - 3)$ · δεν χρειάζεται Ε.Κ.Π. γινόμενο, αρκεί μια αλλαγή προσήμου.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ρητή παράσταση $\frac{A}{B}$ : ορίζεται μόνο όταν $B \neq 0$ (όροι ύπαρξης από τον αρχικό παρονομαστή).
Μ.Κ.Δ.: κοινοί παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη · Ε.Κ.Π.: κοινοί και μη κοινοί με τον μεγαλύτερο.
Απλοποίηση: παραγοντοποίηση και διαγραφή κοινών παραγόντων (ποτέ όρων).
$\frac{A}{B} \cdot \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A\Gamma}{B\Delta}$ · $\frac{A}{B} : \frac{\Gamma}{\Delta} = \frac{A}{B} \cdot \frac{\Delta}{\Gamma}$ .
Πρόσθεση/αφαίρεση: Ε.Κ.Π. παρονομαστών, αριθμητές σε παρένθεση, τελικός έλεγχος απλοποίησης.

Κλάσματα με πολυώνυμα

Ρητή αλγεβρική παράσταση (ή κλασματική παράσταση) λέγεται μια παράσταση της μορφής

\frac{A}{B}

, όπου

A

και

B

είναι πολυώνυμα — για παράδειγμα

\frac{x+2}{x^2-1}

Υπάρχει όμως ένας όρος ύπαρξης που δεν παραλείπουμε ΠΟΤΕ: ο παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. Στην

\frac{x+2}{x^2-1}

απαιτούμε

x^2 - 1 \neq 0

, δηλαδή

x \neq 1

και

x \neq -1

Πράξεις ρητών παραστάσεων

Διαίρεση: πολλαπλασιάζουμε με την αντίστροφη παράσταση — όπως ακριβώς στα αριθμητικά κλάσματα.

Πρόσθεση και αφαίρεση:

Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους

Μετατρέπουμε κάθε κλάσμα σε ισοδύναμο με παρονομαστή το Ε.Κ.Π.

Προσθέτουμε/αφαιρούμε τους αριθμητές και, στο τέλος, ελέγχουμε για νέα απλοποίηση