🎲

Όμοια Τρίγωνα & Πιθανότητες

Λόγος ομοιότητας, λόγος εμβαδών, ορισμός Laplace

Διπλάσιο κομμάτι = διπλάσια πίτσα;

Αν κόψεις ένα τριγωνικό κομμάτι πίτσας με όλες τις πλευρές διπλάσιες, θα φας… τετραπλάσια πίτσα! Τα όμοια σχήματα κρύβουν τέτοιες εκπλήξεις — τις ίδιες που χρησιμοποιούν οι χάρτες, οι μακέτες και οι φωτογραφίες. Στο δεύτερο μισό του μαθήματος περνάμε σε άλλου είδους πρόβλεψη: πόσο πιθανό είναι να συμβεί κάτι.

Όμοια τρίγωνα

Δύο τρίγωνα λέγονται όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Είναι το ίδιο σχήμα σε διαφορετική «μεγέθυνση» — σαν φωτογραφία και η σμίκρυνσή της.

Ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων πλευρών λέγεται λόγος ομοιότητας $\lambda$ .

Πότε είναι όμοια;

Αρκεί δύο τρίγωνα να έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία — τότε και η τρίτη είναι αναγκαστικά ίση, αφού το άθροισμα είναι πάντα $180^\circ$ , και τα τρίγωνα είναι όμοια.

Το άθροισμα των γωνιών είναι πάντα 180° — γι' αυτό δύο ίσες γωνίες «κλειδώνουν» και την τρίτη, και τα τρίγωνα γίνονται όμοια.

$\frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{\beta'}{\beta} = \frac{\gamma'}{\gamma} = \lambda \qquad \frac{E'}{E} = \lambda^2$

Μέθοδος: ασκήσεις με όμοια τρίγωνα

Βρες δύο ζεύγη ίσων γωνιών και γράψε την αιτιολόγηση (κοινή γωνία, κατακορυφήν, ορθές, γωνίες από παράλληλες).
Αντιστοίχισε τις κορυφές με τη σειρά των ίσων γωνιών: αντίστοιχες πλευρές είναι όσες βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες.
Γράψε την αναλογία των αντίστοιχων πλευρών και βρες τον λόγο $\lambda$ .
Λύσε ως προς το ζητούμενο με «χιαστί» — και για εμβαδά χρησιμοποίησε το $\lambda^2$ .

Παράδειγμα 2 (παράλληλη σε πλευρά): Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ το τμήμα $\Delta E$ είναι παράλληλο στη $B\Gamma$ , με $\Delta$ στην $AB$ και $E$ στην $A\Gamma$ . Αν $A\Delta = 4$ , $AB = 10$ και $\Delta E = 6$ , να βρεθεί η $B\Gamma$ .

Ομοιότητα: τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ έχουν την $\hat{A}$ κοινή και $A\hat{\Delta}E = A\hat{B}\Gamma$ (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $\Delta E$ , $B\Gamma$ ). Δύο γωνίες ίσες, άρα είναι όμοια.

Αναλογία (αντίστοιχες πλευρές απέναντι από ίσες γωνίες):

$\frac{AB}{A\Delta} = \frac{B\Gamma}{\Delta E} \Rightarrow \frac{10}{4} = \frac{B\Gamma}{6} \Rightarrow B\Gamma = \frac{60}{4} = 15$

Προσοχή: στην αναλογία μπαίνει ολόκληρη η πλευρά $AB = 10$ , όχι το κομμάτι $\Delta B = 6$ .

Ο λόγος των εμβαδών

Προσοχή στο πιο διάσημο σημείο του κεφαλαίου: αν ο λόγος ομοιότητας είναι $\lambda$ , ο λόγος των περιμέτρων είναι επίσης $\lambda$ , αλλά ο λόγος των εμβαδών είναι $\lambda^2$ . Διπλασιάζεις τις πλευρές; Το εμβαδόν τετραπλασιάζεται!

Κόλπο μνήμης

Μέτρα τις διαστάσεις. Τα μήκη (πλευρές, ύψη, περίμετρος) έχουν μία διάσταση, άρα πολλαπλασιάζονται με $\lambda$ . Το εμβαδόν είναι «μήκος επί μήκος», δύο διαστάσεις, άρα πολλαπλασιάζεται με $\lambda \cdot \lambda = \lambda^2$ .

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ είναι όμοια με $\frac{\Delta E}{AB} = \lambda = 3$ . Αν $B\Gamma = 4$ cm και το εμβαδόν του $AB\Gamma$ είναι $E = 6 \text{ cm}^2$ :

Η αντίστοιχη πλευρά $EZ = \lambda \cdot B\Gamma = 3 \cdot 4 = 12$ cm.

Το εμβαδόν του $\Delta EZ$ : $E' = \lambda^2 \cdot E = 9 \cdot 6 = 54 \text{ cm}^2$ — όχι $3 \cdot 6 = 18$ !

Παράδειγμα 3 (το ύψος ενός δέντρου): Μια ράβδος ύψους $1{,}5$ m ρίχνει σκιά $2$ m, ενώ την ίδια ώρα ένα δέντρο ρίχνει σκιά $12$ m. Πόσο ψηλό είναι το δέντρο;

Οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες, άρα σχηματίζουν ίσες γωνίες με το έδαφος· ράβδος και δέντρο είναι κατακόρυφα (ορθή γωνία). Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια:

$\frac{h}{1{,}5} = \frac{12}{2} \Rightarrow h = 1{,}5 \cdot 6 = 9 \text{ m}$

Αυτή είναι η ιδέα με την οποία, κατά την παράδοση, ο Θαλής μέτρησε την πυραμίδα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\lambda = 3$ . Ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών τους;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\lambda = 2$ (το δεύτερο είναι το μεγαλύτερο). Αν η περίμετρος του πρώτου είναι $15$ cm, πόση είναι η περίμετρος του δεύτερου;

Πιθανότητες: ο ορισμός του Laplace

Σε ένα πείραμα τύχης (ζάρι, νόμισμα, κλήρωση):

Δειγματικός χώρος $\Omega$ : το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων
Ενδεχόμενο $A$ : ένα υποσύνολο του $\Omega$ — αυτό που μας ενδιαφέρει να συμβεί

Όταν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, ισχύει ο κλασικός ορισμός του Laplace: η πιθανότητα είναι το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων $N(A)$ προς το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων $N(\Omega)$ . Πάντα $0 \leq P(A) \leq 1$ , με $P(\Omega) = 1$ (βέβαιο ενδεχόμενο) και $P(\emptyset) = 0$ (αδύνατο ενδεχόμενο).

$P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}$

Ήξερες ότι;

Η θεωρία πιθανοτήτων γεννήθηκε από ένα πρόβλημα τυχερών παιχνιδιών. Το $1654$ οι Pascal και Fermat αντάλλαξαν επιστολές για το πώς πρέπει να μοιραστεί δίκαια το ποντάρισμα ενός παιχνιδιού που διακόπηκε πριν τελειώσει. Ο ορισμός $P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}$ φέρει το όνομα του Laplace, που τον διατύπωσε συστηματικά το $1812$ .

Μέθοδος: υπολογισμός πιθανότητας

Γράψε αναλυτικά τον δειγματικό χώρο $\Omega$ — με πίνακα ή δεντροδιάγραμμα όταν το πείραμα έχει δύο στάδια.
Βεβαιώσου ότι τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.
Γράψε το ενδεχόμενο $A$ ως υποσύνολο του $\Omega$ και μέτρησε τα στοιχεία του.
Υπολόγισε $P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}$ και απλοποίησε.
Έλεγξε ότι $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Παράδειγμα 4 (δύο νομίσματα): Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε (α) ακριβώς μία κεφαλή, (β) τουλάχιστον μία κεφαλή;

Με $K$ την κεφαλή και $\Gamma$ τα γράμματα, ο δειγματικός χώρος έχει $4$ ισοπίθανα αποτελέσματα:

$\Omega = \{KK, K\Gamma, \Gamma K, \Gamma\Gamma\}$

(α) $A = \{K\Gamma, \Gamma K\}$ , άρα $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

(β) $B = \{KK, K\Gamma, \Gamma K\}$ , άρα $P(B) = \frac{3}{4}$ .

Προσοχή: το $K\Gamma$ και το $\Gamma K$ είναι διαφορετικά αποτελέσματα (πρώτο και δεύτερο νόμισμα). Αν γράψεις $\Omega = \{0, 1, 2 \text{ κεφαλές}\}$ , τα αποτελέσματα δεν είναι ισοπίθανα και ο ορισμός του Laplace δεν εφαρμόζεται.

Παράδειγμα 5 (κληρωτίδα): Ένα κουτί έχει $5$ κόκκινες, $3$ μπλε και $2$ πράσινες μπάλες. Παίρνουμε μία στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι (α) μπλε, (β) όχι κόκκινη, (γ) κίτρινη;

Σύνολο: $N(\Omega) = 5 + 3 + 2 = 10$ ισοπίθανα αποτελέσματα.

(α) $P(\text{μπλε}) = \frac{3}{10}$

(β) «Όχι κόκκινη» σημαίνει μπλε ή πράσινη: $3 + 2 = 5$ ευνοϊκές, άρα $P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

(γ) Κίτρινη μπάλα δεν υπάρχει: αδύνατο ενδεχόμενο, $P = \frac{0}{10} = 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ρίχνουμε δύο νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε δύο γράμματα;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα κουτί υπάρχουν $4$ άσπρες και $6$ μαύρες μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα να βγάλουμε άσπρη;

Στις πιθανότητες, γράψε πρώτα τον δειγματικό χώρο $\Omega$ αναλυτικά (π.χ. για ζάρι: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ ) και μέτρησε προσεκτικά τα στοιχεία του $A$ . Π.χ. «μεγαλύτερο του 4» σημαίνει $\{5, 6\}$ , άρα $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . Αν η πιθανότητά σου βγει πάνω από $1$ , κάτι μέτρησες λάθος!

Πρόκληση

Ρίχνεις δύο ζάρια και προσθέτεις τις ενδείξεις. Τι είναι πιθανότερο: άθροισμα $7$ ή άθροισμα $8$ ; Κάποιος σκέφτεται: «Τα δυνατά αθροίσματα είναι $11$ (από $2$ ως $12$ ), άρα όλα έχουν πιθανότητα $\frac{1}{11}$ ». Έχει δίκιο;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο δειγματικός χώρος είναι τα ζεύγη $(\text{1ο ζάρι}, \text{2ο ζάρι})$ : $6 \cdot 6 = 36$ ισοπίθανα αποτελέσματα. Τα $11$ αθροίσματα δεν είναι ισοπίθανα — εκεί είναι η παγίδα.

Άθροισμα $7$ : $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ → $6$ ευνοϊκά, $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
Άθροισμα $8$ : $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ → $5$ ευνοϊκά, $P = \frac{5}{36}$ .

Άρα το $7$ είναι πιθανότερο. Στην πραγματικότητα είναι το πιθανότερο άθροισμα απ' όλα, ενώ τα $2$ και $12$ έχουν πιθανότητα μόλις $\frac{1}{36}$ το καθένα. Ο ορισμός του Laplace ισχύει μόνο για ισοπίθανα αποτελέσματα — γι' αυτό μετράμε ζεύγη, όχι αθροίσματα.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος αντιστοίχιση πλευρών: όταν $\Delta E \parallel B\Gamma$ , ισχύει $\frac{\Delta E}{B\Gamma} = \frac{A\Delta}{AB}$ — με ολόκληρη την πλευρά $AB$ , όχι το κομμάτι $\Delta B$ .
«Όμοια άρα ίσα»: τα όμοια τρίγωνα έχουν ίδιο σχήμα, όχι απαραίτητα ίδιο μέγεθος· ίσα είναι μόνο όταν $\lambda = 1$ .
Μη ισοπίθανα αποτελέσματα: ο ορισμός του Laplace θέλει ισοπίθανα αποτελέσματα — γι' αυτό γράφουμε $K\Gamma$ και $\Gamma K$ χωριστά.
Ευνοϊκές προς μη ευνοϊκές: ο παρονομαστής είναι όλες οι δυνατές περιπτώσεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Όμοια τρίγωνα: ίσες γωνίες και ανάλογες πλευρές · κριτήριο: δύο γωνίες ίσες.
Λόγος ομοιότητας $\lambda$ : ίδιος για πλευρές και περιμέτρους · εμβαδά: $\lambda^2$ .
Αντίστοιχες πλευρές: απέναντι από ίσες γωνίες.
Laplace: $P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}$ για ισοπίθανα αποτελέσματα.
$0 \leq P(A) \leq 1$ · $P(\Omega) = 1$ (βέβαιο) · $P(\varnothing) = 0$ (αδύνατο).

Όμοια τρίγωνα

Ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων πλευρών λέγεται λόγος ομοιότητας

\lambda

Πότε είναι όμοια;

Αρκεί δύο τρίγωνα να έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία — τότε και η τρίτη είναι αναγκαστικά ίση, αφού το άθροισμα είναι πάντα

180^\circ

, και τα τρίγωνα είναι όμοια.

Πιθανότητες: ο ορισμός του Laplace

Σε ένα πείραμα τύχης (ζάρι, νόμισμα, κλήρωση):

Δειγματικός χώρος

\Omega

: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων

Ενδεχόμενο

A

: ένα υποσύνολο του

\Omega

— αυτό που μας ενδιαφέρει να συμβεί

Όταν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, ισχύει ο κλασικός ορισμός του Laplace: η πιθανότητα είναι το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων

N(A)

προς το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων

N(\Omega)

. Πάντα

0 \leq P(A) \leq 1

, με

P(\Omega) = 1

(βέβαιο ενδεχόμενο) και

P(\emptyset) = 0

(αδύνατο ενδεχόμενο).