⚡

Δυνάμεις & Ρίζες Πραγματικών

Ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη και ιδιότητες ριζών

Πόσες διπλώσεις ως το φεγγάρι;

Ένα φύλλο χαρτί έχει πάχος περίπου $0{,}1$ mm. Κάθε δίπλωση διπλασιάζει το πάχος. Μετά από $42$ διπλώσεις θα είχες $0{,}1 \cdot 2^{42}$ mm $\approx 440.000$ km — περισσότερα από την απόσταση Γης–Σελήνης (περίπου $384.000$ km)! Στην πράξη το χαρτί «κολλάει» πολύ νωρίτερα, αλλά τα νούμερα δείχνουν πόσο γρήγορα εκρήγνυνται οι δυνάμεις. Εδώ μαθαίνεις να τις δαμάζεις — και να γυρνάς πίσω με τις ρίζες.

Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη

Η δύναμη $\alpha^\nu$ με $\nu$ θετικό ακέραιο είναι συντομογραφία για επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό: $\alpha^\nu = \alpha \cdot \alpha \cdots \alpha$ ( $\nu$ παράγοντες). Ορίζουμε επίσης $\alpha^1 = \alpha$ και, για $\alpha \neq 0$ :

$\alpha^0 = 1 \qquad \alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$

Ο αρνητικός εκθέτης δεν κάνει τον αριθμό αρνητικό — τον αντιστρέφει: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ . Ειδικά για κλάσματα ισχύει το βολικό $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{-\nu} = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^\nu$ .

Οι πράξεις με δυνάμεις ακολουθούν πέντε ιδιότητες που πρέπει να γίνουν δεύτερη φύση — ισχύουν για κάθε πραγματική βάση και ακέραιους εκθέτες:

$\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu = \alpha^{\mu+\nu} \qquad \frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu-\nu} \qquad (\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu \cdot \nu}$

$(\alpha \cdot \beta)^\nu = \alpha^\nu \cdot \beta^\nu \qquad \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^\nu = \frac{\alpha^\nu}{\beta^\nu}$

Πότε ισχύει τι

Η πιο συχνή σύγχυση: $\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu$ προσθέτει εκθέτες (ίδια βάση, πολλαπλασιασμός), ενώ $(\alpha^\mu)^\nu$ τους πολλαπλασιάζει (δύναμη σε δύναμη). Δοκίμασέ το με αριθμούς: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ , ενώ $(2^2)^3 = 4^3 = 64 = 2^6$ .

Πρόσεξε και τα πρόσημα: $(-2)^4 = 16$ αλλά $-2^4 = -16$ — χωρίς παρένθεση, ο εκθέτης «δένει» μόνο με το $2$ , όχι με το πλην. Γενικά, αρνητική βάση σε άρτιο εκθέτη δίνει θετικό αποτέλεσμα, σε περιττό δίνει αρνητικό.

Δες πώς «εκρήγνυται» η δύναμη όσο μεγαλώνει ο εκθέτης: κάθε βήμα πολλαπλασιάζει με τη βάση — και με αρνητικό εκθέτη η ίδια μηχανή δουλεύει ανάποδα, διαιρώντας.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\alpha^3 \cdot \alpha^5$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $2^{-3}$ ;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τον αρνητικό εκθέτη σαν εισιτήριο για τον παρονομαστή. Το $2^{-3}$ «μετακομίζει» κάτω και γίνεται θετικό: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ . Ισχύει και ανάποδα: το $\frac{1}{x^{-2}}$ ανεβαίνει πάνω και γίνεται $x^2$ . Το πρόσημο του αριθμού δεν αλλάζει ποτέ από τη μετακόμιση.

Μέθοδος: απλοποίηση παράστασης με δυνάμεις

Γράψε όλους τους αριθμούς ως δυνάμεις της ίδιας βάσης, όπου γίνεται: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ .
Κάνε πρώτα τις δυνάμεις σε δύναμη: $(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu\nu}$ .
Στον πολλαπλασιασμό πρόσθεσε εκθέτες, στη διαίρεση αφαίρεσε.
Στο τέλος, αρνητικός εκθέτης $\to$ κλάσμα: $\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$ .

Παράδειγμα (δυνάμεις): Να απλοποιηθούν (α) $\frac{(2^3)^2 \cdot 2^{-4}}{2^5}$ , (β) $\frac{4^3}{2^5}$ , (γ) $\frac{x^5y^{-2}}{x^2y^3}$ (με $x, y \neq 0$ ), (δ) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ .

(α) $(2^3)^2 = 2^6$ , άρα $\frac{2^6 \cdot 2^{-4}}{2^5} = 2^{6 - 4 - 5} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$ .

(β) Ίδια βάση πρώτα: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ , άρα $\frac{2^6}{2^5} = 2^1 = 2$ .

(γ) Κάθε βάση χωριστά: $x^{5-2} \cdot y^{-2-3} = x^3y^{-5} = \frac{x^3}{y^5}$ .

(δ) Ο αρνητικός εκθέτης αντιστρέφει το κλάσμα: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $-3^2 + (-2)^3$ ;

Ιδιότητες ριζών

Θυμήσου από τη Β΄ τι είναι η τετραγωνική ρίζα: για $\alpha \geq 0$ , το $\sqrt{\alpha}$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει $\alpha$ . Άρα εξ ορισμού $(\sqrt{\alpha})^2 = \alpha$ και $\sqrt{\alpha^2} = \alpha$ για $\alpha \geq 0$ .

Οι ρίζες συνεργάζονται άψογα με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση — για $\alpha, \beta \geq 0$ :

$\sqrt{\alpha \cdot \beta} = \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta} \qquad \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} \;\; (\beta \neq 0)$

Η μεγάλη απαγόρευση

Με την πρόσθεση όμως οι ρίζες ΔΕΝ συνεργάζονται:

$\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} \;\; \text{(γενικά)}$

Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , ενώ $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . Το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση.

Η ιδιότητα $\sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}$ είναι το εργαλείο για να απλοποιούμε ριζικά: βγάζουμε έξω από τη ρίζα ό,τι είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι οι άρρητοι γράφονται σε απλούστερη μορφή και οι πράξεις μεταξύ τους γίνονται παιχνίδι.

Ήξερες ότι;

Το σύμβολο της ρίζας $\sqrt{\ }$ τυπώθηκε για πρώτη φορά το $1525$ , στο βιβλίο άλγεβρας «Coss» του Γερμανού Christoph Rudolff. Πιθανότατα είναι ένα παραμορφωμένο μικρό «r», από το λατινικό radix, που σημαίνει «ρίζα».

Παράδειγμα: Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α) $\sqrt{72}$ , β) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ , γ) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ , δ) $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ .

α) Ψάχνουμε το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο μέσα στο $72$ : $72 = 36 \cdot 2$ , άρα

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

β) Αντίστροφη χρήση της ίδιας ιδιότητας:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$

γ) Διώχνουμε τη ρίζα από τον παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με $\sqrt{3}$ :

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

δ) Πρώτα απλοποιούμε, μετά προσθέτουμε όμοια ριζικά:

$\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Παράδειγμα 2 (πράξεις με ριζικά): Να υπολογιστούν (α) $3\sqrt{8} - \sqrt{50} + \sqrt{18}$ , (β) $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$ , (γ) $(\sqrt{5} - 2)^2$ .

(α) Απλοποιούμε κάθε ρίζα: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ . Άρα

$3 \cdot 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (6 - 5 + 3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

(β) Άθροισμα επί διαφορά: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$ — η ρίζα εξαφανίστηκε!

(γ) Τετράγωνο διαφοράς: $(\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Με τι ισούται το $\sqrt{50}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\sqrt{9 + 16}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\frac{4^3}{2^5}$ ;

Πριν από κάθε πράξη με ριζικά, απλοποίησε πρώτα: γράψε κάθε ρίζα ως (ακέραιος)·(ρίζα), και μετά πρόσθεσε μόνο τα όμοια ριζικά — το $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ δουλεύει ακριβώς όπως το $5x + 2x = 7x$ . Και χάραξε στο μυαλό σου το αντιπαράδειγμα $\sqrt{9+16} \neq 3+4$ : θα σε σώσει σε κάθε διαγώνισμα.

Πρόκληση

(α) Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: ο $2^{300}$ ή ο $3^{200}$ ; Χωρίς κομπιουτεράκι — έχουν και οι δύο πάνω από $90$ ψηφία! (β) Πόσο είναι το $\sqrt{2^{10} + 2^{10}}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Το κόλπο: φέρε τους δύο αριθμούς στον ίδιο εκθέτη.

$2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \qquad 3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$

Ίδιος εκθέτης, άρα κερδίζει η μεγαλύτερη βάση: $9 > 8$ , οπότε $3^{200} > 2^{300}$ .

(β) Προσοχή, η πρόσθεση δεν προσθέτει εκθέτες! Είναι $2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}$ (όχι $2^{20}$ ). Άρα

$\sqrt{2^{11}} = \sqrt{2^{10} \cdot 2} = \sqrt{2^{10}} \cdot \sqrt{2} = 2^5\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσθεση δυνάμεων: $2^3 + 2^4 \neq 2^7$ . Οι εκθέτες προστίθενται μόνο στον πολλαπλασιασμό· εδώ $8 + 16 = 24$ .
Διαφορετικές βάσεις: $2^3 \cdot 3^2 \neq 6^5$ . Κοινή βάση ή κοινός εκθέτης χρειάζεται για να «ενωθούν».
Ρίζα τετραγώνου αρνητικού: $\sqrt{(-3)^2} = 3$ , όχι $-3$ — η ρίζα είναι πάντα μη αρνητική.
Πρόσθεση μη όμοιων ριζικών: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \neq 5\sqrt{5}$ · δεν απλοποιείται περισσότερο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\alpha^0 = 1$ , $\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}$ ( $\alpha \neq 0$ ) · ο αρνητικός εκθέτης αντιστρέφει, δεν κάνει αρνητικό.
$\alpha^\mu\alpha^\nu = \alpha^{\mu + \nu}$ , $\frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu - \nu}$ , $(\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu\nu}$ , $(\alpha\beta)^\nu = \alpha^\nu\beta^\nu$ .
$(-\alpha)^{\text{άρτιος}} > 0$ , $(-\alpha)^{\text{περιττός}} < 0$ για $\alpha > 0$ · $-2^4 \neq (-2)^4$ .
$\sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}$ , $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}$ ( $\alpha, \beta \geq 0$ , $\beta \neq 0$ ) · $\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$ .
Απλοποίηση ριζικών: βγάλε έξω τα τέλεια τετράγωνα, πρόσθεσε μόνο όμοια ριζικά.

Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη

Η δύναμη

\alpha^\nu

με

\nu

θετικό ακέραιο είναι συντομογραφία για επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό:

\alpha^\nu = \alpha \cdot \alpha \cdots \alpha

(

\nu

παράγοντες). Ορίζουμε επίσης

\alpha^1 = \alpha

και, για

\alpha \neq 0

\alpha^0 = 1 \qquad \alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}

Ο αρνητικός εκθέτης δεν κάνει τον αριθμό αρνητικό — τον αντιστρέφει:

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

. Ειδικά για κλάσματα ισχύει το βολικό

\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{-\nu} = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^\nu

Ιδιότητες ριζών

Θυμήσου από τη Β΄ τι είναι η τετραγωνική ρίζα: για

\alpha \geq 0

, το

\sqrt{\alpha}

είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει

\alpha

. Άρα εξ ορισμού

(\sqrt{\alpha})^2 = \alpha

και

\sqrt{\alpha^2} = \alpha

για

\alpha \geq 0

Οι ρίζες συνεργάζονται άψογα με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση — για

\alpha, \beta \geq 0