🔍

Η Εξίσωση αx + β = 0

Πλήρης αλγόριθμος επίλυσης και διερεύνηση με παράμετρο

Το μαγικό κόλπο που πετυχαίνει πάντα

«Σκέψου έναν αριθμό. Πρόσθεσε $3$ , διπλασίασε, αφαίρεσε $6$ και διαίρεσε με $2$ . Βγήκε ο αριθμός που σκέφτηκες!» Γιατί πετυχαίνει πάντα; Γράψ' το ως εξίσωση: $\frac{2(x + 3) - 6}{2} = x$ , δηλαδή $x = x$ , ή $0x = 0$ — ισχύει για κάθε $x$ . Άλλες εξισώσεις έχουν μία λύση, άλλες καμία. Εδώ μαθαίνεις να ξεχωρίζεις ποια είναι ποια.

Όλες οι πρωτοβάθμιες σε μία μορφή

Κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού, όσο μπερδεμένη κι αν μοιάζει, καταλήγει στην ίδια απλή μορφή. Αρκούν τα γνωστά βήματα: απαλοιφή παρονομαστών, απαλοιφή παρενθέσεων, χωρισμός γνωστών από αγνώστους, αναγωγή ομοίων όρων. Στο τέλος έχεις:

$\alpha x + \beta = 0 \quad \text{ή ισοδύναμα} \quad \alpha x = -\beta$

Στη Γ΄ Γυμνασίου το ερώτημα γίνεται πιο ώριμο: τι λύσεις έχει αυτή η εξίσωση, ανάλογα με τις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ ; Η συστηματική απάντηση λέγεται διερεύνηση — και κρύβει τρεις εντελώς διαφορετικούς κόσμους.

Ήξερες ότι;

Η λέξη «άλγεβρα» βγαίνει από το αραβικό al-jabr στον τίτλο ενός βιβλίου που έγραψε γύρω στο $820$ μ.Χ., στη Βαγδάτη, ο μαθηματικός al-Khwarizmi. Al-jabr σημαίνει «αποκατάσταση»: η κίνηση με την οποία μεταφέρεις έναν αφαιρούμενο όρο στο άλλο μέλος. Και από το όνομα του al-Khwarizmi βγαίνει η λέξη αλγόριθμος.

Παράδειγμα (πλήρης αλγόριθμος): Να λυθεί η $\frac{x - 2}{3} - \frac{2x - 1}{4} = \frac{x}{6} - 1$ .

Απαλοιφή παρονομαστών με το ΕΚΠ $(3, 4, 6) = 12$ — και ο ακέραιος όρος $-1$ πολλαπλασιάζεται:

$4(x - 2) - 3(2x - 1) = 2x - 12$

Απαλοιφή παρενθέσεων: $4x - 8 - 6x + 3 = 2x - 12$ , δηλαδή $-2x - 5 = 2x - 12$ .

Γνωστοί–άγνωστοι: $-2x - 2x = -12 + 5 \Rightarrow -4x = -7$ .

Διαίρεση με $\alpha = -4 \neq 0$ : $x = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$ .

Επαλήθευση για $x = \frac{7}{4}$ : είναι $x - 2 = -\frac{1}{4}$ και $2x - 1 = \frac{5}{2}$ , άρα πρώτο μέλος $-\frac{1}{12} - \frac{5}{8} = -\frac{2}{24} - \frac{15}{24} = -\frac{17}{24}$ και δεύτερο μέλος $\frac{7}{24} - 1 = -\frac{17}{24}$ ✓

Η ζυγαριά αποκαλύπτει τις τρεις περιπτώσεις: όταν ο συντελεστής του x δεν είναι μηδέν, η ισορροπία δείχνει μοναδική λύση — όταν όμως ο άγνωστος εξαφανιστεί από τη ζυγαριά, μένει είτε μια αλήθεια για όλα τα x είτε ένα ψέμα για όλα.

Η διερεύνηση: τρεις περιπτώσεις

Περίπτωση 1 — $\alpha \neq 0$ : Διαιρούμε με το $\alpha$ και η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση:

$x = -\frac{\beta}{\alpha}$

Περίπτωση 2 — $\alpha = 0$ και $\beta \neq 0$ : Η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = -\beta$ . Όμως $0 \cdot x = 0$ για κάθε $x$ , και το $0$ δεν ισούται με το $-\beta \neq 0$ . Καμία τιμή του $x$ δεν την επαληθεύει: η εξίσωση είναι αδύνατη.

Περίπτωση 3 — $\alpha = 0$ και $\beta = 0$ : Η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = 0$ , που ισχύει για κάθε πραγματικό $x$ : η εξίσωση είναι ταυτότητα (λέμε και αόριστη — έχει άπειρες λύσεις).

Το κρίσιμο σημείο της διερεύνησης: απαγορεύεται να διαιρέσεις με το $\alpha$ πριν βεβαιωθείς ότι $\alpha \neq 0$ . Όταν ο συντελεστής περιέχει παράμετρο, η διαίρεση χωρίς έλεγχο «χάνει» ολόκληρες περιπτώσεις — και ολόκληρες μονάδες.

Κόλπο μνήμης

Διάβασε το $0x = \dots$ σαν πρόταση: «μηδέν φορές κάτι κάνει…». Το $0x = 5$ λέει «μηδέν φορές κάτι κάνει $5$ » — πάντα ψέμα, άρα αδύνατη. Το $0x = 0$ λέει «μηδέν φορές κάτι κάνει $0$ » — πάντα αλήθεια, άρα ταυτότητα.

Γρήγορος έλεγχος

Η εξίσωση $2x - 3 = 2(x - 1)$ είναι:

Παράδειγμα (διερεύνηση): Να λυθεί για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $\lambda$ η εξίσωση $\lambda(x - 1) = x + 2$ .

Φέρνουμε τη μορφή $\alpha x = -\beta$ :

$\lambda x - \lambda = x + 2 \Rightarrow \lambda x - x = \lambda + 2 \Rightarrow (\lambda - 1)x = \lambda + 2$

Εδώ $\alpha = \lambda - 1$ , και διερευνούμε:

Αν $\lambda \neq 1$ : ο συντελεστής $\lambda - 1$ δεν είναι μηδέν, οπότε διαιρούμε:

$x = \frac{\lambda + 2}{\lambda - 1}$

Αν $\lambda = 1$ : η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = 3$ , που είναι αδύνατη.

Έλεγχος για μια τιμή, π.χ. $\lambda = 4$ : η λύση δίνει $x = \frac{6}{3} = 2$ , και πράγματι $4(2 - 1) = 4 = 2 + 2$ ✓

Παράδειγμα 2 (διερεύνηση με τρεις περιπτώσεις): Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του $\lambda$ η εξίσωση $(\lambda^2 - 4)x = \lambda + 2$ .

Ο συντελεστής $\lambda^2 - 4 = (\lambda - 2)(\lambda + 2)$ μηδενίζεται για $\lambda = 2$ ή $\lambda = -2$ .

Αν $\lambda \neq 2$ και $\lambda \neq -2$ : μοναδική λύση

$x = \frac{\lambda + 2}{(\lambda - 2)(\lambda + 2)} = \frac{1}{\lambda - 2}$

Αν $\lambda = 2$ : $0 \cdot x = 4$ , αδύνατη.

Αν $\lambda = -2$ : $0 \cdot x = 0$ , ταυτότητα (κάθε $x$ είναι λύση).

Προσοχή: η απλοποίηση του $\lambda + 2$ επιτρέπεται μόνο επειδή στην περίπτωση αυτή $\lambda \neq -2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για ποια τιμή του $\lambda$ η εξίσωση $(\lambda - 2)x = 5$ είναι αδύνατη;

Γρήγορος έλεγχος

Για $\lambda = 1$ , η εξίσωση $(\lambda^2 - 1)x = \lambda - 1$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Για ποιες τιμές του $\lambda$ η εξίσωση $(\lambda - 3)x = \lambda - 3$ έχει μοναδική λύση, και ποια είναι αυτή;

Γρήγορος έλεγχος

Η εξίσωση $(\alpha - 2)x = \beta$ έχει άπειρες λύσεις όταν:

Στις παραμετρικές εξισώσεις, η «συνταγή» της διερεύνησης είναι σταθερή: 1) φέρε τη μορφή $\alpha x = -\beta$ με αναγωγές, 2) βρες πότε μηδενίζεται ο συντελεστής του $x$ , 3) γράψε χωριστά την περίπτωση $\alpha \neq 0$ (λύση $x = -\frac{\beta}{\alpha}$ ) και χωριστά κάθε τιμή που μηδενίζει το $\alpha$ (αδύνατη ή ταυτότητα, ανάλογα με το $\beta$ ). Η ίδια προσοχή στον συντελεστή θα σου χρειαστεί και στις ανισώσεις, όπου το πρόσημό του αποφασίζει αν αλλάζει η φορά.

Πρόκληση

Ο Νίκος είναι $12$ ετών και η μητέρα του $40$ . (α) Σε πόσα χρόνια η μητέρα θα έχει διπλάσια ηλικία από τον Νίκο; (β) Θα έρθει ποτέ μέρα που θα έχουν την ίδια ηλικία; (γ) Γενικά, σε $x$ χρόνια η μητέρα θα έχει $\lambda$ φορές την ηλικία του Νίκου ( $\lambda > 0$ ). Να γίνει διερεύνηση.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Σε $x$ χρόνια: $40 + x = 2(12 + x) \Rightarrow 40 + x = 24 + 2x \Rightarrow x = 16$ . Έλεγχος: $56 = 2 \cdot 28$ ✓.

(β) $40 + x = 12 + x \Rightarrow 0x = -28$ : αδύνατη. Η διαφορά ηλικίας μένει πάντα $28$ χρόνια — λογικό!

(γ) $40 + x = \lambda(12 + x) \Rightarrow x - \lambda x = 12\lambda - 40 \Rightarrow (1 - \lambda)x = 12\lambda - 40$ .

Αν $\lambda \neq 1$ : μοναδική λύση $x = \frac{12\lambda - 40}{1 - \lambda} = \frac{40 - 12\lambda}{\lambda - 1}$ . Για $\lambda = 2$ δίνει $x = 16$ ✓, για $\lambda = 3$ δίνει $x = 2$ (τότε $42 = 3 \cdot 14$ ✓).
Αν $\lambda = 1$ : $0x = -28$ , αδύνατη — είναι το ερώτημα (β).

Μπόνους: για $\lambda = 4$ βγαίνει $x = -\frac{8}{3}$ . Το αρνητικό $x$ σημαίνει ότι η μητέρα ήταν τετραπλάσια σε ηλικία πριν από $2$ χρόνια και $8$ μήνες.

Συνηθισμένα λάθη

Μισή αντικατάσταση: όταν εξετάζεις $\lambda = 2$ , βάζεις την τιμή και στον σταθερό όρο — μόνο έτσι ξέρεις αν έχεις $0 \cdot x = 0$ ή $0 \cdot x = \kappa \neq 0$ .
« $x = 0$ » για ταυτότητα: το $0 \cdot x = 0$ σημαίνει ότι λύση είναι κάθε αριθμός, όχι μόνο το $0$ .
Απλοποίηση χωρίς εξαίρεση: στο $\frac{\lambda + 2}{\lambda^2 - 4}$ διαγράφεις το $\lambda + 2$ μόνο αφού έχεις εξαιρέσει την τιμή $\lambda = -2$ .
Χωρίς τελική απάντηση: κλείσε τη διερεύνηση με σύνοψη ανά περίπτωση — «για $\lambda \neq \ldots$ μοναδική λύση …, για $\lambda = \ldots$ αδύνατη …».

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κάθε πρωτοβάθμια καταλήγει στη μορφή $\alpha x = -\beta$ (ή $\alpha x + \beta = 0$ ).
$\alpha \neq 0$ : μοναδική λύση $x = -\frac{\beta}{\alpha}$ .
$\alpha = 0$ , $\beta \neq 0$ : αδύνατη · $\alpha = 0$ , $\beta = 0$ : ταυτότητα (αόριστη).
Με παράμετρο: βρες πότε μηδενίζεται ο συντελεστής και εξέτασε χωριστά κάθε τέτοια τιμή.
Ποτέ διαίρεση με παράσταση που μπορεί να είναι μηδέν.

Όλες οι πρωτοβάθμιες σε μία μορφή

\alpha x + \beta = 0 \quad \text{ή ισοδύναμα} \quad \alpha x = -\beta

Η διερεύνηση: τρεις περιπτώσεις

Περίπτωση 1 — $\alpha \neq 0$ : Διαιρούμε με το

\alpha

και η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση:

x = -\frac{\beta}{\alpha}

Περίπτωση 2 — $\alpha = 0$ και $\beta \neq 0$ : Η εξίσωση γίνεται

0 \cdot x = -\beta

. Όμως

0 \cdot x = 0

για κάθε

x

, και το

0

δεν ισούται με το

-\beta \neq 0

. Καμία τιμή του

x

δεν την επαληθεύει: η εξίσωση είναι αδύνατη.

Περίπτωση 3 — $\alpha = 0$ και $\beta = 0$ : Η εξίσωση γίνεται

0 \cdot x = 0

, που ισχύει για κάθε πραγματικό

x

: η εξίσωση είναι ταυτότητα (λέμε και αόριστη — έχει άπειρες λύσεις).